3 (1084738), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

уточнить пропускную способность транспортных путей и др.

Метод Монте-Карло, называемый методом статистического моде­лирования или статистических испытаний, представляет собой чис­ленный метод решения сложных задач. Он основан на использовании случайных чисел, моделирующих вероятностные процессы. Резуль­таты решения метода позволяют установить эмпирические зависи­мости исследуемых процессов. Математической основой метода является закон больших чисел, разработанный П. Л. Чебышевым, который формулируется так: при большом числе статистических испытаний вероятность того. что среднеарифметическое значение

79

случайной величины стремится к ее математическому ожиданию, равна 1:

(3.62)

где е — любое малое положительное число.

Из формулы (3.62) видно, что по мере увеличения числа испытан ий n среднеарифметическое неограниченно

(асимптотически)

приближается к математическому ожиданию.

Последовательность решения задач методом Монте-Карло сво­дится к следующему:

сбору, обработке и анализу статистических наблюдений исследуе­мого процесса;

отбору главных и отбрасыванию второстепенных факторов и со­ставлению адекватной математической модели (уравнения), графи­ков, циклограмм и т. д.;

составлению алгоритмов и решению задачи на ЭВМ.

Для решения задач методом Монте-Карло необходимо иметь ста­тистический ряд, знать закон его распределения, среднее значение х, и математическое ожидание m(х), среднеквадратичное отклоне­ние. С помощью метода можно получить сколько угодно заданную точность решения, т. е. х -> m(х). При нормальном законе распреде­ления оценить точность результатов, полученных методом Монте-Карло, можно по формуле

(3.63)

Пусть по условию задачи задана допустимая ошибка e д. Если при имеющемся числе ряда n1 и б1 ошибка е д1 окажется больше, чем е д, то увеличивают число испытаний до п2 и вычисляют новое зна­чение ошибки е д2 и т. д., пока не будет соблюдаться условие е дi =< в. Решение задач методом Монте-Карло эффективно лишь с использо­ванием быстродействующих ЭВМ.

§ 6. Методы системного анализа

Под системным анализом понимают совокупность приемов и ме­тодов для изучения сложных объектов—систем, представляющих собой сложную совокупность взаимодействующих между собой эле­ментов. Взаимодействие элементов системы характеризуется пря­мыми и обратными связями. Сущность системного анализа состоит в том, чтобы выявить эти связи и установить их влияние на поведе­ние всей системы в целом.

Системный анализ используется для исследования движения таких сложных систем, как солнечная, экономика отдельной отрас­ли, промышленное предприятие, строительная организация и др.

80

Наиболее часто рассматривается развитие этих систем во времени. Эффективно методы системного анализа могут быть использованы при планировании и организации технологии комплексных строи­тельных процессов, выполняемых несколькими строительными орга­низациями.

Системный анализ складывается из четырех этапов.

Первый этап заключается в постановке задачи: определяют объект, цели и задачи исследования, а также критерии для изучения объекта и управления им. Это важный этап системного анализа, поэтому его выполняет наиболее опытный исследователь. Неправиль­ная, неполная постановка целей может свести на нет результаты всего последующего анализа.

Во время второго этапа очерчивают границы изучаемой системы и определяют ее структуру. Прежде всего, все объекты и процессы, имеющие отношение к поставленной цели, разбивают на два класса— собственно изучаемую систему и внешнюю среду. При этом разли­чают замкнутые и открытые системы. При исследовании замкнутых систем" влиянием внешней среды на их поведение пренебрегают. Затем выделяют отдельные составные части системы — ее элементы, устанавливают взаимодействие между ними и внешней средой.

Следует отметить, что в последнее время все большее внимание в технике привлекают замкнутые системы, которые описывают за­крытые технологические циклы, например так называемую «без­отходную технологию». Такие технологические процессы перспек­тивны не только с позиций экономики, они также обусловлены тре­бованиями экологии. В настоящее время утверждается принцип — «чем больше отходов, тем ниже уровень производства». Это вполне согласуется с постановлениями ЦК КПСС и Советского правитель­ства о повышении эффективности производства и рациональном ис­пользовании природных ресурсов, охране природы.

Третий, важнейший этап системного анализа заключается в со­ставлении математической модели исследуемой системы. Вначале производят параметризацию системы, описывают выделенные эле­менты системы и элементарные воздействия на нее с помощью тех или иных параметров. При этом различают параметры, характери­зующие непрерывные и дискретные, детерминированные и вероят­ностные процессы. В зависимости от особенностей процессов исполь­зуют тот или иной математический аппарат.

Аналитические методы используют лишь для описания неболь­ших систем вследствие их громоздкости или невозможности соста­вить и решить системы уравнений. Для описания больших систем, все чаще исследуемых в настоящее время, используют дискретные параметры, например переменные, принимающие целочисленные значения. С их помощью можно изучить процессы и объекты, кото­рые характеризуют не только качественно, но и количественно, используя для этой цели бальную систему. Например, твердость материалов оценивают баллами по шкале Мооса, морозостойкость бетонов — баллами по С. В. Шестоперову и др. Методы операций

81

с дискретными параметрами излагаются в теории множеств и, преж­де всего, в ее важнейших разделах — алгебре множеств и алгебре высказываний (математической логике). Эти разделы получили большое развитие в послевоенное время, они составляют основу математического обеспечения современных ЭВМ.

Теория множеств — наука об общих свойствах множеств, пре­имущественно бесконечных. В ней рассматриваются такие вопросы, как количественные сравнения, упорядоченные множества и др. В алгебре множеств и высказываний наряду с изучением операций над произвольным алгебраическим множеством а, (3, у рассматри­вается формализация «законов мысли». Это обеспечивает формули­рование правил логики на языке математики, который используется современными ЭВМ. Далее устанавливают количественные зависи­мости между выбранными параметрами, которые могут быть пред­ставлены в виде уравнений, графиков, таблиц и т. д. Наиболее часто зависимости в сложных системах характеризуются алгорит­мами с использованием количественных и качественных параметров.

Если исследуются сложные системы (именуемые как обобщен­ные динамические системы), характеризуемые большим количе­ством параметров различной природы, то в целях упрощения мате­матического описания их расчленяют на подсистемы, выделяют ти­повые системы, производят стандартизацию связей для различных уровней иерархии однотипных систем. В результате третьего этапа системного анализа формируются законченные математические мо­дели системы, описанные на формальном, например, алгоритмиче­ском языке.

В последнее время для обобщенных динамических систем все чаще используют булевые модели, которые получили такое наимено­вание в честь выдающегося математика Д. Буля (1815—1864) — основоположника алгебры множеств и алгебры высказываний (ал­гебра Буля). В булевых моделях связи описываются дискретными параметрами преимущественно в двоичной системе исчисления. Та­кие модели исследуются, как правило, с помощью ЭВМ.

Различают булевые модели с односторонними и двусторонними переходами. В первых моделях вначале все параметры имеют зна­чение «О», затем в какие-то моменты изменяется это значение на «I», после чего их обратный переход уже невозможен. Примером моде­лей с односторонним переходом являются сетевые графики, при составлении и исследовании которых, наряду с алгеброй мно­жеств, широко используют теорию графов.

Графом G(x, v) называют множество точек (вершины графа) и линий (дуги графа), соединяющих некоторые из этих вершин (рис. 3.16). Теория графов рассматривает операции над ними— сложение, умножение, объединение графов.

В расчетах и исследовании сетевых графиков часто используют ориентированные графы (рис. 3.16, в, г, е) с одним истоком, без цик­лов. Вершинами ориентированного графа служат события сетевого графика (например, начало выполнения какой-либо строительной

82

операции), а дугами — работы, описываемые сетевым графиком. Расчет сетевых графиков состоит, главным образом, в том, чтобы отыскать наилучшие пути с целью обеспечить сокращение сроков выполнения работ и снижение материальных затрат. Примером может служить расчет сетевого графика планирования и организа­ции строительных работ.

В булевых моделях с двухсторонним переходом параметры могут любое число раз менять свои значения с 0 на 1 и обратно. Эти модели

Рис. 3.16. Виды графов: а—обычный граф {х1 х2—вершины графов, у — дуга графов); б — нуль-граф; в — симметричный граф;

г — граф-дерево; d — полный граф; е — несимметричный граф.

используют при исследовании, например, социальных процессов. Наряду с аппаратом алгебры множеств и алгебры высказываний при исследовании булевых моделей широко используют вероятно­стные методы, поскольку в сложных системах преобладают стохас­тические процессы. Поэтому наиболее часто исследуют развитие процессов с некоторой вероятностью или же определяют вероятность протекания изучаемых процессов.

В технических науках системный анализ в большинстве случаев производят в целях оптимизации процессов и управления системами, заключающихся в выборе такого варианта управления, при котором достигается минимальное или максимальное значение заданной (вы­бранной) величины — критерия оптимизации. Сложность выбора надлежащего критерия состоит в том, что на практике в задачах оптимизации и управления имеют дело со многими критериями, ко­торые часто бывают взаимно противоречивыми. Математически

83

правильная постановка задачи оптимизации предполагает наличие лишь одного критерия. Наиболее часто выбирают какой-либо один критерий, а для других устанавливают пороговые (предельно-до­пустимые) значения. Иногда применяют смешанные критерии, пред­ставляющие собой функцию от первичных параметров. Во многих случаях критерии оптимизации называют целевыми функциями.

Оптимизация процессов и системы аналитическими методами состоит в том, что необходимо найти экспериментальное (минимальное или максимальное) значение некоторой функции ф(х1 ,х2, ...Хп) в определенной области s значений параметров x1, x2....Xn. Однако классические аналитические методы используют редко для оптимиза­ции сложных реальных процессов. Сложные экстремальные процессы обычно решают другими методами, основой которых является посте­пенное приближение к экстремуму. Для этой цели часто применяют метод наискорейшего (градиентно­го) спуска и подъема.

Суть метода поясним на следую­щем примере. Допустим, что необ­ходимо найти экстремум целевой функции /(X1, x2), описывающей некоторую поверхность (рис. 3.17). Нахождение экстремума начинают с любой точки поверхности Aо(x01, x02). Из этой точки определяют направление подъема или спуска, которое является наиболее

Характеристики

Список файлов лекций