3 (1084738), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

§ 4. Аналитические методы исследований с использованием экспериментов

Физические процессы можно исследовать аналитическими или экспериментальными методами.

Аналитические зависимости позволяют изучать процессы в об­щем виде на основе функционального анализа уравнений и являются математической моделью класса процессов. Математическая модель может быть представлена в виде функции, уравнения, в виде системы уравнений, дифференциальных или интегральных уравнений. Та­кие модели обычно содержат большое количество информации. Ха­рактерной особенностью математических моделей является то, что они могут быть преобразованы с помощью математического аппа­рата. Так, например, функции можно исследовать на экстремум;

дифференциальные или интегральные уравнения можно решить. При этом исследователь получает новую информацию о функцио­нальных связях и свойствах моделей.

Использование математических моделей является одним из основ­ных методов современного научного исследования. Однако, ему свойственны существенные недостатки. Для того чтобы из всего клас­са найти частное решение, присущее лишь данному процессу, не­обходимо задать условия однозначности. Установление краевых условий требует проведения достоверного опыта и тщательного ана­лиза экспериментальных данных. Неправильное принятие краевых условий приводит к тому, что подвергается теоретическому анализу не тот процесс, который планируется, а видоизмененный.

Кроме указанного недостатка аналитических методов, во многих случаях отыскать аналитические выражения с учетом условий одно­значности, наиболее реально отображающими физическую сущность изучаемого процесса, или вообще невозможно или чрезвычайно затруднительно.

Иногда, исследуя сложный физический процесс при хорошо обо­снованных краевых условиях, упрощают исходные дифференциаль­ные уравнения из-за невозможности или чрезмерной громоздкости их решения, что искажает его физическую сущность. Таким образом, очень часто реализовать аналитические зависимости сложно.

Экспериментальные методы позволяют глубоко изучить процессы в пределах точности техники эксперимента и сконцентрировать вни­мание на тех параметрах процесса, которые представляют наиболь

60

ший интерес. Однако результаты конкретного эксперимента не могут быть распространены на другой процесс, даже близкий по физиче­ской сущности, потому что результаты любого эксперимента ото­бражают индивидуальные особенности лишь исследуемого процесса. Из опыта еще невозможно окончательно установить, какие из пара­метров оказывают решающее влияние на ход процесса и как будет протекать процесс, если изменять различные параметры одновре­менно. При экспериментальном методе каждый конкретный процесс должен быть исследован самостоятельно.

В конечном счете эксприментальные методы позволяют устано­вить частные зависимости между отдельными переменными в строго определенных интервалах их изменения. Анализ переменных харак­теристик за пределами этих интервалов может привести к искажению

зависимости, грубым ошибкам.

Таким образом, и аналитические, и экспериментальные методы имеют свои преимущества и недостатки, которые часто затрудняют эффективное решение практических задач. Поэтому чрезвычайно плодотворным является сочетание положительных сторон аналити­ческих и экспериментальных методов исследования.

Явления, процессы изучаются не, изолированно друг от друга, а комплексно. Различные объекты с их специфическими переменны­ми величинами объединяются в комплексы, характеризуемые еди­ными законами. Это позволяет распространить анализ одного явле­ния на другие или целый класс аналогичных явлений. При таком принципе исследований уменьшается число переменных величин, они заменяются обобщенными критериями. В результате, упрощает­ся искомое математическое выражение. На этом принципе основаны методы сочетания аналитических способов исследования с экспе­риментальными методами аналогии, подобия, размерностей, являю­щихся разновидностью методов моделирования.

Суть метода аналогии рассмотрим на примере. Тепловой поток зависит от температурного перепада (закон Фурье)

Здесь л — коэффициент теплопроводности.

Массоперенос или перенос вещества (газа, пара, влаги) опреде­ляется перепадом концентрации вещества с (закон Фика):

м — коэффициент массопереноса.

Перенос электричества по проводнику с погонным сопротивле­нием обусловливается перепадом напряжения (закон Ома):

где р — коэффициент электропроводности.

61

Все три рассматриваемые явления характеризуются различными физическими процессами, но имеют идентичные математические выражения, т. е. их можно исследовать методом аналогий.

В зависимости от того, что принимается за оригинал и модель, могут быть различные виды моделирования методом аналогии. Так, если тепловой поток qт изучают на модели с движением жидкости qэ то моделирование называют гидравлическим; если тепловой по­ток исследуют на электрической модели, моделирование называют электрическим. Моделирование может быть механическим, акусти­ческим и др.

Целесообразность выбора вида моделирования зависит от слож­ности изучаемого процесса и модели, ее стоимости и эксплуатации, возможности постановки различных экспериментов, точности ре­зультатов и др.

Идентичность математических выражений процессов оригинала и модели не означает, что эти процессы абсолютно аналогичны. Для того чтобы на модели максимально моделировать изучаемый процесс оригинала, необходимо соблюдать критерий аналогий. Так, сравнивать qт и qэ коэффициенты теплопроводности К и электро­проводности р, температуру t и напряжение и нет смысла. Для устра­нения этой несопоставимости оба уравнения необходимо представить в безразмерных величинах: каждую переменную величину П пред­ставить в виде произведения постоянной размерности Пп на пере­менную безразмерную Пб:

После простых преобразований имеем

Оба выражения записаны в безразмерном виде и их можно сравнивать.

Уравнения будут идентичны, если

Это равенство называют критерием аналогий. С его помощью устанавливают параметры модели по исходному уравнению объекта.

Количество критериев аналогии на единицу меньше числа членов изучаемого исходного выражения. Поскольку число неизвестных больше числа уравнений, то некоторыми параметрами модели зада­ются. Обычно это время наблюдения или протекания процесса на модели. Оно должно быть удобным для наблюдения оператору.

В настоящее время широко распространено электрическое моде­лирование. Рассмотрим пример его.

62

Необходимо изучить закономерности колебания массы т, под­вешенной параллельно упругой пружиной и демпфером к плоскости. Для этой системы дифференциальное уравнение имеет вид

(3.25)

где а — коэффициент демпфирования; s —механическое перемеще­ние; B — коэффициент, характеризующий упругость пружины (де­формация пружины при действии единицы силы); F(T) — сила, при­лагаемая к системе.

Чтобы определить параметры m, а, B, уравнение (3.25) можно

исследовать методом электрических аналогий. Для электрической модели цепи уравнение имеет вид

(3.26)

где c1—емкость конденсатора; f—магнитный поток; t1 время процесса в электросети; R, I — резистор, индуктивность; i — ток электросети.

После соответствующих преобразований (см. выше пример)

безразмерные уравнения запишем так:

Выбор критериев (3.27) представляет определенные трудности. Чтобы упростить построение модели, пользуются системой масштаб­ных уравнений.

Поскольку механический (оригинал) и электрический (модель)

процессы аналогичны, то переменные величины этих систем изменя­ются во времени закономерно в определенном соотношении — мас­штабе. Масштабный коэффициент той или иной переменной вели­чины представляет собой отношение переменных величин модели

и оригинала

где Mf, Mt, Мi—масштабы переменных величин.

С учетом масштабных переменных уравнения для модели

и оригинала следующие:

Эти уравнения тождественны, если

(3.28)

Масштабные системы (3.28) идентичны критериям аналогов (3.27), но в более простой форме.

63

С помощью системы масштабных уравнений (3.28) вычисляют па­раметры модели, а на основе предельных отклонений переменных величин оригинала и модели — масштабные коэффициенты. Зада­ваясь средними значениями параметров оригинала, по (3.28) вы­числяют средние значения параметров модели и проектируют элек­трическую цепь. Далее оригинал исследуют на модели. Варьируя /, R, с, на модели изучают параметры т, а, B оригинала.

С помощью электрического моделирования можно изучать, анализировать различные физические процессы, которые описы­ваются математическими зависимостями. Это моделирование уни­версально, простое в эксплуатации, не требует громоздкого обору­дования.

При электрическом моделировании применяют аналоговые вы­числительные машины (АВМ). Под АВМ понимают определенное сочетание различных электрических элементов, в которых проте­кают процессы, описывающиеся математическими зависимостями, аналогичными для изучаемого объекта (оригинала). При этом долж­ны соблюдаться масштабные коэффициенты независимых и перемен­ных величин аналога и оригинала.

АВМ применяют для исследования определенного класса задач. Решение задач производится так, что можно одновременно получить значение искомых величин в различных зонах (точках) системы. С помощью АВМ можно решать задачи в различном масштабном вре­мени, в том числе и ускоренном, что в ряде случаев представляет большой научный интерес. Простота решения задач, быстрая обра­ботка информации, возможность решения сложных задач обуслов­ливают широкое применение АВМ. Различают АВМ общего и спе­циального назначения. АВМ общего назначения решают дифферен­циальные уравнения высоких порядков (более 50) и предназначены для различных целей: расчета сетевых графиков, напряжений в осно­ваниях и т. д:

При решении задач с уравнениями до 10-го порядка используют машины малой мощности МН-7; МН-10; ЭМУ-6 и др.; до 20-го по­рядка — средней мощности МН-14, ЭМУ-10 и др.

Для простых задач применяют обычно метод сплошных сред с использованием электропроводящей бумаги (плоская задача) или электролитических ванн (объемная задача). Модель изготовляют из токопроводной бумаги одинаковой электропроводимости. Геометрию объекта моделируют в определенном масштабе. К концам фигуры присоединяют электроды, моделирующие краевые условия. При моделировании процессов с токопроводными жидкостями (электро­литами) ванны заполняют слабыми растворами солей, кислот, ще­лочей и др. Неоднородное поле моделируют с применением электро­лита разной концентрации. Метод сплошных сред предназначен для решения задач теплопроводности, распределения напряжений и др. Он прост, но ограничен решением краевых задач Лапласа.

В методе электрических сеток дифференциальные уравнения пре­образуют в систему линейных, решаемых способом конечных разностей. С помощью сеточных моделей на электроинтеграторах можно исследовать стационарные и нестационарные задачи.

64

Широко распространенным методом моделирования является электрогидродинамическая аналогия. Она основана на электриче­ском моделировании движении жидкости, пара или газа и широко применяется для исследования водного режима оснований зданий, сооружений, плотин и т. д.

Часто также пользуются методом гидравлического моделирова­ния на гидроинтеграторах. Гидроинтеграторы — это приборы, в которых вода передвигается по системе соединенных между собой

Рис. 3. 7. Схема гидроинтегратора (а) и изменение уровня жидкости в сосудах во времени (б): М. — сосуд с переменным сечением; 1, 2... k—сосуды, соединенные с сосудом М через узел т; Sim — се­чение сосуда М на высоте h1; рim — сопротивле­ние течения жидкости в сосуде i; gm — расход жидкости в сосуде mа.

Характеристики

Список файлов лекций