Главная » Просмотр файлов » XIX Белоусов А.И., Ткачев СБ. Дискретная математика

XIX Белоусов А.И., Ткачев СБ. Дискретная математика (1081422), страница 63

Файл №1081422 XIX Белоусов А.И., Ткачев СБ. Дискретная математика (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска) 63 страницаXIX Белоусов А.И., Ткачев СБ. Дискретная математика (1081422) страница 632018-01-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 63)

ф Пусть дано некоторое множество булевых функций Р. Тогда формулой над множестпеом Р мы считаем любую константу из Р (если она там есть) и любое булево переменное. Далее, если известно, что Фы ..., Ф„(п > 1) — формулы над множеством г', а у — функция из Г от и переменных, то выра- 396 б.

БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ жение ~(Фм...,Ф„) есть формула над множеством Р. Никаких других формул над множеством Р, кроме определенных выше, не существует. Замечание 6.5. 1. Строго говоря, в формуле У'(Фм...,ф„) фигурирует не сама булева функция из множества Р, а ее обозначение, т.е. индивидная консшанша с областью значений Ръ Но мы, чтобы не усложнять терминологию, будем отождествлять обозначения базисных функций, т.е. функций из заданного множества Р, с самими базисными функциями. 2. Обычно предполагают, что рассматриваются переменные из некоторого заранее фиксированного (и не более чем счетного) множества переменных Х. Пример 6.6.

а. Пусть Р = (Ч,, ). Это множество, состоящее из функций диэъюнкиии, конъюнкции и отприианиа называют сгпандартвнььк баэисоле. Формулами над стандартным базисом будет любое переменное: х, у, ..., хм ..., х„и т.д. Далее, из переменных х, у как формул и функции Ч можно построить новую формулу, например Ч(х,у) или (х,у). Эти формулы, однако, естественно записывать несколько иначе. Поскольку каждая булева функция от двух переменных (каковы, в частности, днзъюнкция и конъюнкция) является одновременно бинарной операцией на множестве В = (О, Ц, то формулы с такими функциями обычно записывают в „инфиксной форме", т.е.

как (х Чу), (х у) и т.п. Аналогично для отрицания используют запись х, а не (х). Кроме того, в формулах над стандартным базисом, вопервых, опускают скобки, используя ассоииативносшь булевых операций Ч и, т.е. вместо ((хЧу) Чх) пишут (хЧуЧе); во-вторых, опускают, как правило, внешние скобки, записывая формулу, аналогичную последней, просто как х Ч у Ч я; в-третьих, используют соглашение о „старшинстве" (или о приоритете) операций, полагая, что самый высокий приоритет имеет операция отрицания (т.е.

она всегда выполняется перед конъюнкцией 397 В.4. Формулы и еуперпоэпппп и диэъюнкцией), затем идет конъюнкция и после нее — дизьюнкция. С учетом сказанного формула ((хЧу) Ч((у «) и)) может быть переписана так: (хЧу) Чу «и. (6.6) Рне. 6.3 Согласно определению формулы, можно представить процесс построения формулы (6.6) следующим образом. Из переменных х, у и функции Ч строим формулу Ф1 = (х Ч у), затем из нее и функции отрицания получаем формулу Фз = Фм т.е. формулу (х Ч у).

Далее иэ переменных у, «и функции строим формулу (у «), а из нее, переменного и и опять функции — формулу Фз = (у «) 'и, которую записываем как у «и. И наконец, из формул Фз, Фз и функции Ч строим формулу Ф«Ч Фз, т.е. формулу (6.6). Описанный процесс можно наглядно изобразить в виде ориентированного дерева (рис. 6.3). Листья этого дерева помечены переменными или константами формулы, а каждый узел, не являющийся листом, — одной иэ функций из множества г' (на рисунке эти узлы изображены в виде кружочков, внутри которых указано имя функции). 398 б.

ВУЛЕВЫ ФУНКЦИИ б. Рассмотрим множество булевых функций (9,, Ц, которое называют базисом Л1егалкина. При записи формул над базисом Жегалкина используют те же принципы, что и при записи формул над стандартным базисом. Приоритет операции конъюнкции считается выше приоритета операции слохсения по модулю 2, Так как последняя ассоциативна, то при записи формул с этой операцией соответствующим образом опускают скобки. Так, формулами над базисом Жегалкина будут: ху9х9у, х91, хр»9ху9хя9у»9х9у9»91. Процесс построения первых двух формул юображен в виде деревьев на рис. 6.4. х 1 Рис.

6.4 в. Пусть множество базисных функций Р состоит ю единственной функции ~ (ииирвх Же~фере). Как бинарная операция, эта функция не ассоциативна, т.е. булеза функция (х~р) ~» не равна булевой функции х)(у~я). Поэтому при записи формул над множеством Щ следует заботиться о расстановке скобок.

Примеры формул над множеством Щ: (х)х) !(у!у), (х)у) /(х~у), (х~х) ~(х~х). Внешние скобки мы опускаем и в этом случае. Дерево, показывающее процесс построения первой из записанных выше формул, изображено на рис. 6.5. о.4. Формулы и суперпозиции 399 Мы будем использовать запись Ф(хм...,хи), указывая тем самым, ! что формула Ф содержит переменные эм..., х„, и только их. Множа. ство переменных формулы Ф будем ! обозначать через Уаг(Ф). Нам понадобится также понятие подЯорлау пы. Из определения и рассмотрен- Х и ных примеров следует, что процесс Рие. а.о построения формулы есть процесс определения некоторой сложной булевой функции, т.е. супер- позиции. Формула „собирается" из „элементарных формул", т.е.

переменных и базисных функций, так, что на каждом шаге из уже полученных формул строится новая, более сложнал формула. Естественно назвать эти „промежуточные" формулы подформулами рассматриваемой формулы. Так, в примере 6.6.а формулы Фм Фз, Фз (и, конечно, переменные и базисные функции) — это подформулы формулы (6.6). Строго понятие подформулы может быть введено следующим образом. Пусть Ф вЂ” формула над Р. Если Ф Е Р или Ф есть переменное, то ее единственной подформулой является она сама. Если Ф имеет вид ~(Фм..., Ф„), где у' — функция из Р от и переменных, а Ф;, 1 = 1, и, суть формулы над Р, то подформулами формулы Ф будут: 1) все формулы Ф;; 2) для каждого 1 = 1, п все подформулы формулы Ф;.

В дереве, изображающем процесс построения формулы, каждое поддерево, все листья которого являются также и листьями всего дерева, определяет некоторую подформулу. Каждому набору значений переменных, входящих в заданную формулу, можно определенным образом сопоставить эпачеппе этой форлеулы. Вычисление этого значения в точности соответствует процессу построения формулы из подформул (в конечном счете из переменных и базисных функций). 400 6. ВУЛЕВЫ ФУНКЦИИ Пример 6.Т. Полагая в формуле (6.6) х = 1, у = О, г = и = 1, получим значение формулы (6.6), равное (1ЧО) Ч0.1 1=0.

Таким образом, по каждому набору значений переменных формулы можно по определенному алгоритму вычислить значение формулы. Это значит, что каждая формула определяет (или представляет) некоторую булеву функцию. Введем понятие функции, предспэавллемоб формулоб над множеспэвом Р. Мы полагаем, что: 1) любая константа из Р представляет саму себя; 2) любое переменное х из Х представляет проектпируюи4ую функцию х (точнее, любую иэ множества равных между собой проектирующих функций существенного переменного х, см. замечание 6.3); 3) если формулы Фм ..., Ф„над множеством Р представляют соответственно функции дм ..., д„, а у — функция из Р от и переменных (и ) 1), то формула ~(Фм...,Ф„) представляет суперпозицию функций Ддм...,д„); 4) других булевых функций, представляемых формулами над множеством Р, кроме тех, которые могут быть получены согласно пп.

1-3 данного определения,не существует. Функцию, представляемую некоторой формулой над множеством Р, называют суперпоэицией над множестпвом Р. Таким образом, суперпозиция над множеством Р— это любал суперпозиция функций вида Ддм...,д„), где У Е Р, а каждая из функций дм ..., д„есть либо элемент Р, либо переменное (точнее, проектирующая функция), либо некоторая суперпозиция над Р. Множество всех суперпозиций над Р будем обозначать Щ и называть эамынанием множеспэва Р булевых функций. Понятия формулы и суперпозиции взаимно предполагают друг друга.

суперпозиция над множеством Р есть некоторая сложная функция, которая определенным образом построена вэ о.4. Формулы и суперпозиция 401 бээисных функций — функций фиксированного множества Р (и проектирующих функций). Само „строение" суперпозиции, т.е. то, из каких именно базисных функций и в какой последовательности образуется результирующая сложная функция (суперпозиция), и есть формула. Если булева функция у(х1,..., х„) представляется формулой Ф(х1,...,х„), то будем писать у(х1,...,х„) = Ф(х1,...,х„), или, короче, у = Ф(хм...,х„). Определение 6.3. Множество булевых функций Р называют: 1) эамккрпаым, если любая формула над Р представляет некоторую функцию иэ Р; 2) полкым, если любая булева функция может быть представлена некоторой формулой над Р.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,42 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Зарубин В.С., Крищенко А.П
Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее