4 часть (1081361), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Математическая статистика 230 а Для нахождения оценок параметров а и 6 по методу моментов воспользуемся начальным моментом первого порядка (математическим ожиданием) и центральным моментом второго порядка (дисперсией): а а1(о,6) =т= —, 6' (10) дт(а, 6) = п~ = —. По выборке хм ..,, х„из генеральной совокупности, имеющей Г-распределение, находим значения соответствующих выборочных моментов: а, =х= — ~ х„ 1 (12) и *, 1 д1 = В'„= — у (х; — х) . (13) а а — =х, — = 0' 62 К~ — 2 решая которую, находим й = — „, 6 = —, с 0„".
' В„" 19.131. В я независимых испытаниях событие А произошла х раз. Методом моментов найти оценку вероятности р появления события А в одном испытании. В задачах 19.132-19.135 по выборке хм хт, ..., х„объема я найти оценки параметров указанных распределений, используя метод моментов. 19.132.
Пуассоновское распределение с параметром Л. 19.133. Нормальное распределение Ж (т, сг). 19.134. Показательное распределение Ех (Л). 19.135. Распределение Х~()с). 19.139. Используя таблицу случайных чисел (таблица П4), либо метод моделирования, получить 50 равномерно распределенных чисел из интервала (О, 10]. Методом моментов найти оценки параметров равномерного распределения., используя зти данные.
19.137*. Рассмотрим п систем с временами работы до первого отказа соответственно Хм ..., Х„. Предположим, что Хы ... ..., Х„ — независимые в совокупности и одинаково распределенные случайные величины с показательным распределением Ех (Л). Приравнивая (10) и (12), (11) и (13) соответственно, получаем следующую систему уравнений: з 2. Статистическое оцениваяие распределения по выборке 231 Пусть, наконец, х;, 4 = 1, 2, ..., п, — измеренные значения времени отказа г-й системы (в часах). Используя метод моментов, найти оценку вероятности Р [Х~ > 1] того, что первая система будет работать бесперебойно в течение часа. 4.
Распределения Хэ, Стьюдента и Фишера. Распределения основных статистик, вычисляемых по выборке из нормально распределенной генеральной совокупности, связаны с распределениями 5С~(А), Стьюдента Т(к) и Фишера Р()сы йэ). Квантили этих распределений приведены в Приложении (таблицы Пб, Пб, П7). Приведем определения и некоторые свойства этих распределений. Распределением тэ с (с сгяепенями свободы называется распределение случайной величины С~()с), равной сумме квалратов Й независимых нормально распределенных по закону Л(0, 1) случайных величин Ц, 1 = 1, 2, ..., 1, т.е.
распределение случайной величины тэ(й) = (уэ + Распределение Сэ с й степенями свободы там, где это не вызывает недоразумений, будет обозначаться также Хэ(й). Плотность распределения у г(х) определяется формулой х<0, О, Ух'(х) = (ь-эрз -*р > 0 2ь/эГ График функции У а(х) приведен на рис. 31. Среднее и дисперсия распределения тэ()г) равны соответственно: М [,"~э(й)) = й, 0 (хэ()с)] = 2(с.
0,2 О,! О 5 Ю $5 20 Рис. 31 Распределение 1Сэ часто используется в статистических вычислениях, в частности, в связи со следующей теоремой. 232 Гл. 19. Математическая статистика Теорема 2. Пусть хы хз, ..., х„— выборка из нормально распре- 1 деленной генеральной совокупности 20'(т, о), а х = — ~~ х; и дд = — 2 (х; — х) — соответственно выборочное среднее и вь(бои — 1 Е рочпал дисперсия. Тогда статистики Х и оз — независимые слуи — 1 чайные величины, причем статистика — Я имеет распределение 2 2 Х (и 1). Заметим, что если Х2(к() и Х2(кз) — независимые случайные величины, имеющие распределение Х2 с йз и )02 степенями свободы соответственно, то сумма этих случайных величин имеет распределение Х2 с к) + йз степенями свободьс Х'А)+Х'%) =Х'Ж+йз) Распределение Х2(к) при больших значениях 10 (й > 30) с достаточной для практических расчетов точностью аппроксимируется нормальным распределением.
Это свойство используется для приближенного выражения квантилей Х2(к) распределения Х2(к) через квантили ир нормального распределения Ю(0, 1). Обычно используют следующие две формулы: Х (ь) ((5р + ~/ 2/~ 1 ) 2 (14) з Х(й)=й~1 +и ~— И '~1М (15) Формула (14), применяемая при к > 30 и р > 0,5, дает относительную погрешность в пределах 1(У0, а формула (15) применяется для вычисления квантилей малого порядка. Пример 6. Вычислить квантили Хзд ш(10), Хо ддь(40), Хддви(40). З Из таблицы П5 находим Хоззи(10) = 2,56. Длн вычислениЯ кван- хили Ход дь(40) воспользуемся формулой (14). Так как ио,дь —— 1,645 ( . 0 151), 5 (40)- — (1645'- '2 40 — 1) 5541. 2 По формуле (15), используя значение иол! — ио 99 — — 2,326, полуз 2 Г2 чаем Х2 (40) 40 1 — — 2,326~( — ж 22,14.
С о,о) ~ 9 40 У 9 40/ Распределением Стьюдента с к степеилми свободь4 называется распределение случайной величины Т (ь), равной отношению двух неза- 0 6 * 0 02'(5))5, т® = 3 2. Статистическое оценнванне распределения по выборке 233 где У имеет нормальное распределение 11'(О, 1). Распределение Стьюдента с й степенями свободы будет также обозначаться Т (й). Распреде- -4 -3 -2 -! О ! 2 3 4 Рис. 32 ление Стьюдента с й степенями свободы имеет плотность у,(х) (рис. 32): -оо < х < +со, й среднее М'!Т(й)] = 0 и дисперсию 13[Т(й)) = —, й > 2. Плот- й — 2' ность распределении Стьюдента симметрична относительно оси ординат, следовательно, для квантилей гр(й) имеет место соотношение гр(й) = — р(й). При больших й (й > 30) для квантилей !р(й) распределении Стьюдента выполнено приближенное равенство 2р(й) а ир.
Более точная формула имеет вид 2 2 — 1/2 ! (й)ви 1 —— (16) Пример 7. Найти квантили 2о оь(8) и го 9О(40). По таблице Пб находим !о,аь(8) = 1,86; го,оь(8) = — года(8) = — 1,86. Квантиль го до(40) определим, используя формулу (16). Так как ио,ао = = 1,28 по таблице П1, то — 172 ° г !о,ао(40) 1,28 1 — ) — — 1,307 4 40) 2 40) Точное значение квантили годе(40) по таблице Пб равно 1,303, гр Гл.
19. Математическая статистика 234 Распределением Фишера с )с1 и яз степенями свобода~ называется распределение случайной величины Е(км Йт), равной отношению двух независимых случайных величин Х (Й1)/Й1 и Х (йз)/йз, т.е. Распределение Фишера с )с~ и кз степенями свободы будет также обозна- о,в О,е о ! 2 3 х Рис. ЗЗ О, х<0, среднее М (Р] =, )сг ) 2. 1сг йз -г' Квантили распределения Фишера порядка р и 1 — р связаны следуюшей формулой: 1 Р1 р(й1 ьт) (17) Между случайными величинами, имеющими нормальное распределение, распределения Хз, Стьюдента н Фишера, имеют место соотношения Тз(й) = Р(1, л), (18) х'(й) /с (19) Х (1) = (7~. (20) чаться Р (йм яз). Распределение Фишера с я1 и из степенями свободы имеет плотность ур(х) (рис.
ЗЗ): 2. Статистическое оценивание распределения по выборке 235 Йг 2 (1сг + 92 — 2) Йг ср(к1 кг) ир + —. (21) кг — 2 гсг(кг — 4) йг — 2 П р и мер 8. Вычислить квантили Го,ог(3,5), Рд,до(4,100) н Ро,од(60, 120). < Используя соотношение (17) и таблицу П7, получаем 1 1 Гд,ог(3,5) = р (5 3) 28 24 0,035. Далее, используя соотношение (19) и таблицу П5, находим Ро,до(4,100) — ' = — = 1,945 Хд,д(4) 7,78 4 4 Наконец, по формуле (21), используя значение ио,од — — — иоан = -1,645, получаем 2 (60+ 120 — 2) 120 120 — 2 Ео,дд(60,120) а 120 По таблице П7 значение квантили Ео,од(60, 120) равно 1 1 Ед,дд(60, 120) = = — 0,699 Г> Используя таблицы квантилей и свойства распределений, определить квантили: 19.138.
Хо,оа(8) и Хо,дд(130). 19.139. 1о,ог(7) и 1о да(110). 19 140 Ро,оь(2; 3), Го,дд(100, 5) и Ро о1(60, 90). 19.141~. Используя свойства распределений Хг, Стьюдента и Фишера, доказать соотношение (18). В задачах 19.142 — 19.145 изучаются свойства статистик, вычисляемых по выборке хм хг, ..., х„из генеральной совокупности, имеюшей нормальное распределение М(т, и). — 1 19.142. Показать, что выборочное среднее Х = — ~~~ Х; имеет нормальное распределение Ж(т, и/~/л ). При йг » 1 и 12 » 1 квантили распределения Фишера можно вычислить, используя приблиаденную формулу Гл.19. Математическая статистика 236 19.143. Найти распределение статистики ЯΠ—— — р (Х; — т) .
п 19.144*. Найти математическое ожидание и дисперсию статистики В2 =, ~ (Х; - Х)'. Показать, что статистика Я~ является асимптогически эффективной оценкой дисперсии о . Х вЂ” т 19.145. Показать, что статистика Т (и — 1) = имеет распределение Стьюдента с и — 1 степенью свободы. Йайти математическое ожидание и дисперсию Т (и — 1). В задачах 19.146-19.149 рассматриваются две независимые выборки объемов и( и и2 из генеральных совокупностей с распределениями М(тп (г() и М(т2, с(2). Х( и Х2 — выборочные средние, а Я( и Я2 — выборочные дисперсии, вычисляемые по зтим 2 2 выборкам.
~2((22 19.146. Показать, что статистика Г(и( — 1, п2 — 1) = ~2/ 2 имеет распределение Фишера с и( — 1 и п2 — 1 степенями свободы. 19.147. Показать, что если математические ожидания т( и т2 генеральных совокупностей известны, а оценками дисперсий (г 2 2 2 2 2 Ч~ ~2 1 и с(2 являются статистики ЯО( и 502, где ЯΠ— — — Р~(Х; — т;), и; ЯО! /0( 1 = 1, 2, то статистика Р(ии и2) = 2 2 имеет распределение ~02 Й2 Фишера с и( и и2 степенями свободы. 19.148.
Показать, что если дисперсии генеральных совокупностей известны и равны (г2( — — с(22 — — (22, то статистика Х( — Х2 — (т( — т2) имеет распределение 1(((0, 1), 19.149. Предположим, что дисперсии обеих генеральных совокупностей равны о21 — — п22 = п2,но значение о2 неизвестно и оце(п~ — 1) я2 + (и2 — 1) я2 нивается при помоши статистики Я2— п(+ и2 — 2 Найти распределение статистики Я2 и вычислить ее дисперсию. 3. Интервальные оценки 237 Показать, что оценка неизвестной дисперсии с помощью статистики Яг более эффективна, чем оценка, вычисляемал по одной из выборок.
— и~Х1+ игХг 19.150. Найти распределение статистики Х = и|+ иг 19.151. В условиях задачи 19.149 показать, что статистика Х1 — Хг — (т~ — тг) имеет распределение Стьюдента с и1 + иг — 2 степенями свободы. 19.152. Методом моделирования получить 25 выборок объема 15 из генеральной совокупности с нормальным распределением Ф(3, 3). Для каждой выборки найти выборочное среднее х. Полученные данные представляют 25 выборочных значений статистики Х. Выполнить следующие задания: 1) Найти распределение рассматриваемой статистики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
