4 часть (1081361), страница 38

Файл №1081361 4 часть (Ефимов А.В., Поспелов А.С. - Сборник задач по математике для втузов) 38 страница4 часть (1081361) страница 382018-01-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Алгоритм (2) получения выборки из генеральной совокупности с законом распределения Е»(х) поясняется на рис. 27. Случайные числа р1, ут,..., у„можно получить, выбрав случайным образом гг чисел из таблицы П12 и разделив каждое выбранное число на 100. При наличии любого вычислительного устройства случайные числа ры рги ..., у„генерируются с помошью формулы р„, = (тр,), у ~ Р), (3) где (а) — дробная часть числа а, а Рис. 27 тп — простое число, большее десяти. В качестве начального значения д в формуле (3) можно выбрать произвольное число из интервала (0,1~ с ненулевыми разрядами в десятичной системе счисления.

От удачного выбора начального значения у1 зависит качество последовательности уы 92 . рп. 19.12. Шкала вольтметра имеет цену делений 1 В. При измерении напряжения отсчет делается с точностью до ближайшего целого деления. Считая, что ошибка округления имеет равномерное распределение, получить методом моделирования выборку объемом и = 20. Построить вариационный ряд и гистограмму частот полученной выборки. 19.13. Методом моделирования получить выборки объемом и = = 10 из генеральной совокупности с показательным законом распределения Ех(Л) с Л1 = 1, Лз = 2, Лз = 3.

8 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 193 19.13. Методом моделирования получить выборки объемом п = = 10 из генеральной совокупности с показательным законом распределения Ех (Л) с Л1 = 1, Л2 = 2, Лз = 3. 19.14. Автомобили подъезжают к автозаправочной станции последовательно, причем время между прибытием двух автомобилей имеет показательное распределение с параметром Л1 = 1. Если очереди нет, автомобиль заправляется сразу, в противном случае он становится в очередь. Время заправки автомобиля имеет показательное распределение с параметром Л2 = 2. Используя выборки, полученные в задаче 19,13, составить таблицу, содержащую время подъезда для каждого из пяти последовательно прибывших автомобилей, время начала и конца заправки, продолжительность ожидания в очереди, общее время на ожидание и обслуживание. 19.15.

Пусть 2, — время наработки на отказ г-го элемента схемы. Известно, что 1, распределено по закону Ех (Л1), г = 1, 2, 3. Используя выборки, полученные в задаче 19.13, построить эмпирическую функцию распределения времени наработки на отказ для схемы на рис. 28. Рнс. 28 Рнс. 29 19.16 (продолжение).

В условиях предыдущей задачи построить функцию распределения времени наработки на отказ для схемы на рис. 29. 19.1Т. Время безотказной работы (в месяцах) телевизионной трубки имеет нормальное распределение АГ(24, 3). Магазин продал 15 телевизоров. Методом моделирования получить выборку времени безотказной работы трубок у проданных телевизоров. Построить гистограмму и оценить наиболее вероятное число трубок, потребуюших замены в течение 10 лет. Длн получения выборки из генеральной совокупности, распределенной по закону Ж(О, 1), можно воспользоваться алгоритмом, основанным иа любом нз следующих соотношений: у =уУ-22 уг, ° 2 у„ (4) у = 2, 3,..., н, У -увуг-, 2 ° 2 у, (5) тле, как и выше, уы уу, ..., у„— выборка из генеральной совокупности с равномерным распределением 11 (О, 1).

194 Гл. 19. Математическая статистика 19.18. Случайные величины Х на У независимы и имеют нормальные распределения )!!'(10, 2) и )т'(9, 1) соответственно. Используя соотношения (4) и (5), получить выборки объема и = 20 и оценить вероятность того, что ш!п(Х, У) < 10. 19.19. Пусть Х и У вЂ” независимые случайные величины, распределенные соответственно по законам Х(0, 1) и Ж(0, 3). Используя соотношения (4) и (5), получить выборки объема п = 50 для Х и У.

19.20. Используя результат предыдущей задачи, получить выборку объема и = 50 для случайной величины Е = ! Х (+ ! У ! и построить гистограмму частот. 19.21. Используя результат задачи 19.19, получить выборку объема и = 50 для случайной величины У = ~ Х вЂ” У ~ и построить гистограмму частот.

19.22. Пусть 1 — индикаторная случайная величина события А= ЦХ/ <1), т.е. 1 , !Х) <1, О, !Х/>1, где Х вЂ” случайная нормально распределенная величина из задачи 19.19. Используя выборку, полученную в этой задаче, найти частоту события <1 = 1) и сравнить полученный результат с точным значением вероятности этого события. 19.23**. Доказать теорему Гливенко.

2. Числовые характеристики выборочного распределения. Пусть х!, хэ, ..., х„— выборка объема п из генеральной совокупности с функцией распределения гх(х). Рассмотрим выборочное распределение, т.е. распределение дискретной случайной величины, прннимаюшей значения х!, хэ,..., х„с вероятностями, равными 1/п. Числовые характеристики этого выборочного распределения называются выбврочиылси (элспирическими) числовыми характеристиками. Следует отметить, что выборочные числовые характеристики являются характеристиками данной выборки, но не являются характеристиками распредедения генеральной совокупности. Чтобы подчеркнуть это различие, выборочные характеристики в дальнейшем будем обозначать теми же символами, что и в главе 18, но со значком * наверху.

Некоторые выборочные характеристики имеют традиционные обозначения, например, х — выборочное среднее. П р и м ер 4. Получить формулы, определяющие выборочные математическое ожидание и дисперсию для негруппированной выборки объема и. < Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется по формуле (см.

главу 18, э 2, формулу (4)) З 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 195 Так как для выборочного распределения р. = 1/я, то 1 1' Аналогично и и 0„' = С(ху — х) ру = — ~! (ху — х) 1=! з=! Выборочной модой а!' унимодального (олновершинного) распределения называется элемент выборки, встречающийся с наибольшей частотой. Выборочной медианой называется число Ь*„, которое делит вариапионный ряд на две части, содержащие равное число элементов. Если объем выборки я — нечетное число (т.е, я = 21 + 1), то Ь; = х!!+!!, т.е. является элементом вариационного ряда со средним номером. Если же и = 21, то Ь; = — (хр! +хй+'!).

1 я П р и м ер 5. Определить среднее, моду и медиану для выборки 5, 6, 8, 2, 3, 1, 1, 4. < Представим данные в виде вариапиониого ряда: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 1 6, 8. Выборочное среднее х = — (1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8) = 3,75. 8 Все элементы входят в выборку по одному разу, кроме 1, слеловательно, 1 мода Н„= 1. Так как т! = 8, то медиана Ь„= — (3+ 4) = 3,5, с 2 Вычислить моду, медиану, среднее и дисперсию следующих выборок: 19.24.

7, 3, 3, 6, 4, 5, 1, 2, 1, 3. 19.25.3,1;3,0;1,5;1,8;2,5;3,1;2,4;2,8;1,3. 19.26.а)1,2,3,4,5,5,9;б)1,2,3,4,5,5,12. Сравнить полученные числовые результаты для выборок а) и б). 19.27. Доказать, что выборочные начальные и центральные моменты порядка э, э = 1, 2, ..., для негруппированной выборки объема и определяются следующими формулами: Гл.19. Математическая статистика 196 19.28. Доказать, что выборочные начальные и центральные моменты порядка з, я = 1, 2, ..., для группированной выборки обьема п определяются следующими формулами: и а,= — ~ пмя;, 1=1 19.29. Доказать, что для выборочной дисперсии справедлива следующая формула: — 2 .~~я а2 19.30. Доказать справедливость следующих соотношений: Рз = аз 3агаг + 2аг ря = а4 — 4аза~ + базаг~ — Заг~. В задачах 19.31 — 19.33 определить среднее, моду, медиану к дисперсию группированных выборок.

19.31. 19.3 19.34. Доказать следующие свойства выборочного среднего: а) ,'> (х,— х)=0; б)* ,'~ (х, — х) < ,'~ (х; — а), где а Е 1С, о ф х. 19.35*~. Доказать следующее свойство выборочной медианы: (х; — 6'„(<~» )х; — о(, где аЕК, афЬ;,. 19,36.

Предположим, что в результатах наблюдений случайной величины Х присутствует одна и та же систематическая погрешность а. Какое влияние оказывает эта систематическая погрешность на величины выборочных среднего, моды, медианы и дисперсии? 3 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 197 1 и; = — (гн — Ы*„) (3) 1=1, 2,...,)с, где Н' — выборочная мода, а Ь вЂ” длина интервала группировки. Соотношения (3) показывают, что в выборку хм хэ, ..., хь внесена систематическая ошибка Ы', а результат подвергнут преобразованию масштаба с коэффициентом Ь = 1/Ь. Полученный в результате набор чисел иы иэ, ..., иь можно рассматривать как выборку из генеральной сово- 1 купности У = — (х — д'). Тогда выборочные среднее х н дисперсия Х)"„ исходных данных связаны со средним П н дисперсией П' преобразованных данных следующими соотношениями: (4) х = 6и+4', 12„'= 6211'.

(5) Пример 6. Вычислить среднее и дисперсию группированной вы- борки Границы интервалов 134-138 138-142 142-146 146-150 150-154 154-158 Частоты 1 3 15 18 14 2 3 Длина интервала группировки 6 = 4, значение середины интер вала, встречающегося с наибольшей частотой, д" = 148. Таким образом, преобразование последовательности середин интервалов выполняется по формуле (3): гн — 148 4 Таблица 1.2 19.37. Как изменятся выборочные среднее, мода, медиана и дисперсия, если результаты наблюдения подвергнуть преобразованию масштаба, т.е.

увеличить или уменьшить одновременно в Й раз? Результаты задач 19.36 и 19.37 используются для упрощении вычислений выборочных среднего и дисперсии группированной выборки. Для этого группированную выборку преобразуют следующим образом: 198 Гл. 19. Математическая статистика Вычисления удобно свести в таблицу (см. таблицу 1.2). Последний столбец таблицы 1.2 служит для контроля вычислений при помощи тождества п,(си+1) г— е ~~~ п,иг+2 Сп;и,+ у яо Подставляя в тождество данные последней строки таблицы 1.2, получим 58+ 2 (-6) + 53 = 99. Следовательно, вычисления выполнены правильно. По формулам (1) и (2) находим -6 й = — -0,113, 53 58 ( б)гУ53 53 По формулам (4) и (5) окончательно вычисляем х ( — 0,113) 4 + 148 147,548, Юх 4 1,103 - 17,728.

с Для приведенных в задачах 19.38-19.40 выборок выполнить следующие задания: 1) вычислить среднее и дисперсию, предварительно проведя группировку выборки с заданной длиной интервала; для упрощения вычислений преобразовать данные по формуле (3); 2) вычислить среднее и дисперсию негруппированной выборки, используя заданные значения.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
14,2 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6501
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее