4 часть (1081361), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Случайная функция Х (2) называется стационарной о широком смысле, если ее математическое ожидание и дисперсия не зависят от С а автоковариацнонная функция Кх(С 2+ т) зависит лишь от разности аргументов К (С 2+ т) = Кх(т). Для нормальных случайных процессов оба понятия стационарности совпадают. Автоковариационная функция стационарной в широком смысле случайной функции обладает следующими свойствами (следствия общих свойств автоковариационной функции): 1) Кх(т) = К„( — т), Кх(0) > О. 2) ) Кх(т) ! < К (0) = В„.
3) Функция Кх (21 — 22) неотрицательно определенная. Если Х (2)— стационарная в широком смысле дифференцируемая случайная функция 12Х (1) и У(1) = —, то У(1) — также стационарная в широком смысле 111 случайная функция, причем 42 тт = О, Кт(т) = — — Кх(т) 1тг з 6. Случайные функции (корреляционная теория) 165 Длн дифференцируемости стационарной в широком смысле случайной функции необходимо и достаточно существование второй производной автоковариационной функции при т = О. Так как для стационарной в широком смысле случайной функции Х (г) имеем )э = Ку(0) = — К (T) (дХ (г)) дг М 1 дгг то условие дифференцируемостн фактически равносильно условию конечности дисперсии производной от стационарной случайной функции.
Средним по конечному промежутку времени от реализации стационарного случайного процесса Х (г) называется число (вообще говоря, случайное), определяемое соотношением Стационарный случайный процесс Х (1) называется эргодическим относительно математического ожидания, если выполняется условие !цп (х(ь))о = т, = х/1(х/1) Йх, Т-~ ьь где предел в левой части понимается в обычном смысле (т.е, если среднее по бесконечному промежутку времени от одной реализации (любой) равно среднему по множеству реализаций (среднему по ансамблю)). Аналогично определяется зргодичность относительно автоковариационной функции.
Стационарный случайный процесс называется эргодическим отпноСительно автпоковариаиионной функции, если выполняется условие 1пп (х(1)х(1+т)) = К„(т) = — / (х1 тх) (хг — тх) /т(х1, хг/г с + т) НХ1 два ° Две стационарные случайные функции Х (г) и У (г) называются стационарно связанными, если их взаимная ковариационная функция зависит лишь от разности аргументов. П р имер 6. Случайный процесс Х (г) представляет собой случайное гармоническое колебание Х (1) = А сов (ы1+ Ф), Гл.
18. Теория вероятностей 166 где А ) Π— сдучайная амплитуда с плотностью распределения вероятностей ~л(а) (равна нулю при а ( 0) такая, что существует второй начальный момент М[Ат], Ф вЂ” независимая от А случайная фаза колебания, равномерно распределенная на отрезке [ — я, я]. Найти автоковариационную функцию процесса и дать ответы на следуюшие вопросы: 1) Является ли данный процесс стационарным в широком смысле? 2) Дифференцируем ли данный процесс один раз? 3) Является ли он эргодическим относительно математического ожиданин? а 1) Запишем Х (С) следуюшим образом: Х(а) = Асовф совая — Аебпф апоя' = 1г соаиМ вЂ” $'тейпы~. (14) Учитывая независимость А и Ф, имеем н 1 / М [1 '1] = М [А соа Ф] = М [А] М [соа Ф] = тя — / соа ~р <йр = О, 2я,/ где тл = а,ул(а) да.
Аналогично устанавливается, что и М [*гт] = О. Найдем ковариацию случайных величин $'г и $'т.. Кьт = М[Р11э] = М[А совф з!пф] = М[А~] — М[сйп2Ф] = О. 2 Поэтому выражение (14) является каноническим разложением. Следова- тельно, по формуле (4) Кх (С1 ~ 1т) — Р [1 г] сов ь>йг созывах + Р [) т] сйп ыгг з1п багз. Применяя свойство 7) дисперсии произведения независимых величин. можем написать Р[Г1] = Р[Асоаф] = Р[А]Р[совф]+т~~Р[соаф]+ Мт[созф]Р[А] = = Р[совф](Р[А]+т~д) = М[Аз]Р[соаф]. Но к Р[созф] = М [сов Ф] = — у соа ~рйр =— 2 1 2 2я „I 2 -~.со М [А ] = абдул(а) йа. Эб.
Сл чайные функции корреляционная теория 167 Таким образом, ОЯ] = — М[А ]. Аналогично получается 0[гг] г 2 г -М[А ). Поэтому автоковариационная функция Кк(См Сг) 2 г = -М[А ] совы(~г — ~~) зависит лишь от разности моментов времени. 2 Кроме того, М[Х (г)] = О в силу доказанной центрированности случайных величин Ъ~ и Ъг. Отсюда следует, что процесс Х (~) стационарный в широком смысле.
2) Проверим достаточные условия днфференцируемости: М[А ], М[А'] К" (т), е = — — мгсоэ~ет) = — аР— конечная величина, поэтому процесс дифференцируем. 3) Вычислим среднее по конечному промежутку времени от одной реализации: т 1 Г аг (х (х)Ц = — / аг соэ (ьа + чгг ) й = — (гбп (ьгТ + чг~) + гбп <рд). т~ '' ' т е Отсюда !пп (х (х))е~ = О = го~, т — ~оэ поэтому процесс Х (г) эргодический относительно математического ожи- дания.
18.635. Является ли пуассоновский процесс Х (~) с параметром Л стационарным в широком смысле? 18.636*. Случайный процесс Х (~) задан следующим образом: Х (С) = $'~ соэ оЛ + $'г э(п ш1, ы ) О, 1 Е К, где р~ и у~ — независимые случайные величины, принимающие с равной вероятностью лишь два возможных значения +1 и — 1. Найти автоковариационную функцию процесса и убедиться, что Х (г) стационарен в широком смысле, но не является стационарным в узком смысле. 18.637*.
Найти математическое ожидание и ковариационную функцию процесса У (1) = Х (~ + 1) — Х (~), если Х (1) — пуассоновский процесс с параметром Л. Является ли У (г) стационарным в широком смысле? 18.638. Задана автоковариационная функция Кт (т) стационарного случайного процесса Х (1). Вычислить среднее значение квадрата приращения процесса за время т.
Гл. 18. Теория вероятностей 168 18.639. Случайный процесс Х (1) задан следующим каноническим разложением: Х (г) = тх + ~~> Уь созшьГ+ Ъьз1пыьГ, в=о где Уь и Ъь — центрированные некоррелированные случайные величины, причем М [У;Уу] = М [)ср'] = В;бб, М[У,$'] = О для всех 1, 1 = О, 1, ..., о. Показать, что данный процесс является стационарным в широком смысле, и найти автоковариационную функцию и дисперсию процесса. 18.640. Случайный процесс Х (г) представляет собой суперпозицию гармонических колебаний вида Х (1) = ~~~ Аь соз (ыь1+ Фь), я=о где (Аь), )с = О, 1, 2,...,я, — центрированные некоррелированные случайные амплитуды (М[А;Ау] = Ю;б; ), (Фь) — независимые от любой из случайных величин А; случайные фазы, распределенные по одному и тому же закону с четной плотностью уф(~р) и некоррелированные между собой. Вычислить дисперсии процес- дХ (г) сов Х (1) и ~Й 18.641 (продолжение).
В условиях предыдущей задачи вычислить дисперсию процесса Х (з) г(з. о 18.642. Показать, что два случайных гармонических колебания Х (1) = Асов(~Л + Ф) и У($) = Всоз(ы1+ Ф), где А н В— две случайные амплитуды с ковариацией К, а Ф вЂ” независимая от А и В случайная фаза, равномерно распределенная на отрезке [ — х, х], являются стационарно связанными. 18.643. Стационарный случайный процесс Х (1) представляет собой случайное гармоническое колебание Х (1) = Асов (о>1+ Ф), описанное в примере 6. Является ли данный процесс эргодическим относительно автоковариационной функции? 18.644.
Является ли случайное гармоническое колебание Х(г) = асов(ы1+ Ф), где а — постоянная амплитуда, а Ф— равномерно распределенная на отрезке [-х, х] случайная величина, эргодическим процессом относительно автоковариационной функции? э 6. Случайные функции (корреляционная теория) 169 18.645. Х (1) представляет собой случайный импульсный сизнол, реализации которого строятся следующим образом.
В некоторый случайный момент времени Т, появляется прямоугольный импульс длительностью 1о со случайной амплитудой А1, распределенной независимо от Т, с характеристиками тл, = О, цл, = и. В момент времени Т1 + 1о данный импульс заканчивается, и появляется следующий импульс длительностью 1о со случайной амплитудой Аэ, распределенной одинаково с А1, но независимо от А1 и Т,, и т.д. Одна из реализаций данного пропесса изображена на рис.
17 (при этом считаем, что начало процесса (момент Т1) в идеальной модели импульсного сигнала находитсн в минус бесконечности). 0 (а-21й /1~И-11ь ~, '/ао 6~1э+1К, Рис 17 Найти характеристики процесса: тх (1) и Кх(1м 17). Явлнется ли данный процесс стационарным в широком смысле? а Зафинснруем момент времени наблюдения 1. Пусть 1 Е (1ю 1ь+1о), где гь — момент начала й-го импульса.
При этих значениях 1 наблюдается случайнаа величина Аы которан по условию центрирована для любых й б М. Поэтому М(Х(1)) = О. Пусть гэ — — 1+ т (т > 0). В силу произвольности момента наблюдения 1 и случайности моментов времени 1ь можно считать, что промежуток времени Т от момента 1 до момента окончания Й-го импульса (гь + 1о) нвлнетсн случайной величиной, распределенной по закону Л (О, 1о). Поэтому М(Х (1) Х (1 + т)) = оэР(т < Т) + 0 Р(г > Т), 0 < т < 1о, О, т >го.
В силу равномерности распределенин Т получаем 11 т1 ( )) и (1 — — ), 0(т<1о, О, т > 1э. Тот факт, что ковариационнан функция зависит лишь от разности моментов времени наблюленин, свидетельствует о стационарности процесса Х (1) в широком смысле, 1> Гл. 18. Теория вероятностей 170 18.646*. Телеграфным сигналом называется случайный процесс Х (с), который с равной вероятностью может принимать лишь два значения +1 и — 1, причем число перемен знака за время т = 1г — 11 не зависит от предыстории процесса до момента 11 и представляет собой пуассоновский процесс М (т) с параметром Л.
Одна из реализаций телеграфного сигнала изображена на рис. 18. Вычислить автоковариационную функцию телеграфного сигнала. Рис. 18 18.647». Фототелеграфнсчм сигналом называется случайный процесс, реализации которого строятся следующим образом. Значения сигнала изменяются скачком в случайные моменты времени гь,?с = О, 1, 2, ... Число скачков за время т > О представляет собой пуассоновский процесс с параметром Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
