4 часть (1081361), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Так как при г1 ~ сг сечения процесса независимы, то М[Х(С1) Х(Сг)] = М[Х(С1)]М[Х(Сг)] = жп11 жпЙг, откуда следуег, что К„(сы сг) = О при Сг уЕ сг. Если же сг — — сг = й, то по определению К,(г С) = Р (г) = *г/с(*/С) г)* — и г (г). Подставляя сюда выражение для плотности /г(х/г) и проводя замену переменных, получаем +сю г] 1 У г ( (х+з!пй) ) . г Р (г) = — хгехр — с)х — згп еос +сю ( иг) иг ехр ~ — — ) с4и — 2 сйп г ~ и ехр ~ — — ) сси+ с иг) +сйп с ехр~ — — ) Йи — сйп С = 1.
С. 2) 18.585. Двумерный закон распределения случайной функции Х (с) описывается плотностью сг(х, У/1ы тг) = 1 ) (™с) (У огг) 1, с,цГс-с1ПГссс с1 с(сс-сО с(сс-со!' где о > О. Найти основные хаРактеРистики: тх(1), Рх(1) и Кх (1ы гг). Гл. 18. Теория вероятностей 148 18.586.
Случайная величина является частным случаем такой случайной функции, у которой отсутствует зависимость от 1. Пусть Х (1) = Х для всех 1 Е К, причем Х вЂ” С.В.Н.Т., подчиняющаяся показательному распределению с параметром Л = 2. Найти гпх (1), Рх (1) и Йг (т~ у/11 ~ Сг) 18.587. Случайный процесс Х (1) имеет вид Х (1) = У1 (1 > 0), где У вЂ” случайная величина, равномерно распределенная на (О, 3). Найти одномерную функцию распределения и одномерную плот- ность этого процесса.
18.588. Случайная функция Х (1) задана в виде Х (1) = У1 + + Ь, где У вЂ” С. В. Н. Т., подчиняющаяся закону Ф(т, а), а 6— неслучайная константа. Найти одномерную плотность /1(т/1) и основные характеристики процесса: ш„(1), ох(1), Кх(11, 12). 18.589.
Случайная функция Х (1) задана в виде Х (1) = (У+ У1, где (У и У вЂ” независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же закону распределения М (т, о). Используя свой- ства математического ожидания и дисперсии, вычислить тх(с), Рх(1) и Кх(1м 12) 18.590 (продолжение). В условиях предыдущей задачи запи- сать одномерную плотность /1(х/1).
18.591. Заданы плотности /е(и) и /и(о) независимых случай- ных величин 11 и У. Записать одномерную плотность /1 (т/1) про- цесса Х (1) = (У + У1 при 1 > О. 18.591(1). Случайная функция Х (1) задана в виде Х(1) = И'ехр( — Уг), где случайный вектор (И', У) подчиняется кру- говому нормальному распределению с центром в точке (О, 0) и 12 0~ ковариационной матрицей К = (О 2). Найти тх(1) Рх(1) и Кх(11, 12). 18.592. Заданы ковариационные функции Кх (11, 12) н Кг (11, 1г) и математические ожидания т„(1) и тг(1) двух независимых слу- чайных процессов Х (1) и У (1). Найти ковариационную функцию процесса Я(1) = Х (1) У(1).
18.593. Показать, что если две случайные функции Х (1) и У (1) независимы при любом фиксированном г и имеют нулевые мате- матические ожидания, то автоковариационная функция их про- изведения равна произведению автоковариационных функций от- дельных сомножителей, З 6. Случайные функции (корреляционная теория 149 18.594. Доказать следующее свойство автоковариационной функции: если У(1) = !р(1) Х (1)+ср(г), где ср(1) и !р(1) — неслучайные функпии, то Кг(11, 12) = Ф(1!) Ф (12) Кх(11, 12) (Отсюда, в частности, следует, что прибавление к случайному процессу неслучайной функции не изменяет автоковарнационной функции.) 18.595.
Дана ковариационная функция случайного процесса Х (1): 1 1 + (1! — 12) Найти ковариационную функцию и дисперсию процесса У (1) = е ' Х (1) + ейп 2г. 18.596. Случайный процесс Я (1) задан в виде г (1) = Х (1) + а (1) + 12, где Х (г) и У (г) — некоррелированные случайные процессы с ха- рактеристиками тх(1) = 4 Кх(г! 12) = 9е 2 ~" "~, т (1) = 1, К„(1„12) = 4е-2Вг-'! ~, Найти те(1) и Рх(1). 18.597 (продолжение). В условиях предыдущей задачи процессы Х (1) и У (1) коррелированы, причем Кхг (11 12) Найти корреляционную функцию ре(г1, 12). 18.598.
Заданы случайные функции Х (1) = -с!'З1п1+ Усов!, У (1) = У сов 1+ У вйп 3, где гу и У вЂ” некоррелированные стандартизованные случайные величины. Найти автокорреляционные функции рх(11, 12) и Рг(11, 12) процессов Х (1) и У (1), а также корреляционную функцию связи рх! (11~ 12) Гл, 18. Теория вероятностей 150 18.599. Случайный процесс Х (1) задан в виде Х (1) = <р (т, У), где у(1, у) — произвольная неслучайная функция двух действительных аргументов, 1 — действительный параметр (время), а У вЂ” С. В.
Н. Т, с известной плотностью распределения ~г (у). Записать выражения для основных характеристик процесса: т„(с), РкЯ, Кх(11 1т). 18.600. Реализации случайного процесса Х(т) формируются следующим образом. В начальный момент времени значение функ- ции с равной вероятностью равх(о но либо +1, либо — 1. Смена значений функции может происходить лишь в фиксировано ные моменты времени гь = Й ~з 4 5 Ф ~т ~з о ~ ()с=1,2,...),вкаждыйизко- торых независимо от предыду— — щих значений происходит очередной розыгрыш одного из двух равновероятных значений: +1 или -1, которое и сохраняется до следующего момента времени 1ь+г —— )с + 1. Одна из возможных реализаций процесса изображена на рис.
14. Определить основные характеристики: тх(1), Р,. (1) и Кх(1, 1+ т). 18.601. Случайный процесс Х(1) представляет собой случайную стпупеньку Х (1) = Ап (1 — Т), где 1, и > О, 0(и) = О, и < О, — единичная функция Хевисайда, А — случайная амплитуда с хаРактеРистиками т„> О, стхх; Т вЂ” слУчайное, независимое от А время начала ступеньки, распределенное по закону с плотностью ут(т). Найти пт„(с) и К„(1, 1+ т) при т > О.
Случайный процесс Х (с) называется нормальным (нли гауссовским) процессом, если одномерные н двумерные законы распределения любых его сечений нормальны. 18.602. Случайное гармоническое колебание задано в виде Х (1) = А сов ьЛ+В в1п юг, где ьх — неслучайная частота, а случайные амплитуды А и В независимы и подчиняются каждая закону распределения Ф (О, о). Найти одномерную и двумерную плотности процесса.
18.603. Случайный процесс Е(1) задан в виде Я(1) = аХ(1) + З б. Случайные функции (корреляционная теория) 151 ками тх(С) = С псг(С) = 1+ С, 4 -2(С -С )2 К (Сы Ст) = 2( )з, Кг(Сы Ст) = 9е 1 + (С1 С2) а ковариационная функция связи процессов Х (С) и 1' (С) имеет вид Кхх(Сы Сз) = 4соеас(Сг — Сс). Написать одномерную плотность процесса Я (С). 18.604 (продолжение), В условиях предыдущей задачи найти автокорреляционную функцию рз(СО Сз).
18.605*. Угол крена корабля Х (С) представляет собой нормальный случайный процесс с характеристиками псх = О, Кх(С, С + +т) = о~рх(т). Известно, что в момент времени Сс угол крена корабля составлял Х (Сс) = сс градусов. Какова вероятность того, что в момент Сз = Сс+ т угол крена будет больше, чем С3 градусов? Процесс Х (С), определенный при С 6 С~ — — [а, 5[, называется процессом с независимыми прираиСенилми, если для любых Со, Сы ..., С„ таких, что а < Со < Сс « ... С„< Ь, случайные величины Х(Со), Х (Сс) — Х (Со), ..., Х (С„) — Х (С„~) независимы. Случайный процесс с независимыми приращениями называется однородным, если закон распределения случайной величины Л' (С) — Х (Се) не зависит от Со, а определяется лишь длиной интервала (Со, С).
и р и м е р 2 (пуассонввский процесс). случайный процесс Ус (с) удовлетворяет следующим условиям: 1) 5С (С) определен при всех С > О, причем Р (гС (О) = О) = 1. 2) М (С) — однородный по времени. 3) Д' (С) — процесс с независимыми приращениями. 4) В случайный момент времени происходит приращение значения функции СУ (С) на единицу, причем лля любого момента времени С > О Р (дс (С + ЬС) — Лс(С) = 1) = ЛЛИУС + о (С5С), Р(Ю(С+ ЬС) — РС(С) = О) = 1 — Лс5С+ о(Ы), Р(рС(С+ ~И) — сЛс(С) > 2) = о(ЬС), где Л вЂ” постоянное для данного процесса число.
На рис. 15 показана одна из реализаций пуассоновского процесса. Найти одномерный закон распределения случайной функции М (С). З Обозначим С5йс(С) = сУ(С+Ы) — Д'(С) случайное приращение процесса за время с5С и положим р„(С) = Р(гС (С) = п), и = О, 1, 2, ... Задача состоит в отыскании значений вероятностей р„(С) для и = 1, 2, ... и всех С > О. Гл.18. Теория вероятностей 152 Для данного процесса событие (Ж(1) = п) означает «число единичных приращений за время 1 равно н«. Выразим сложное событие (Х (1+ «ьг) = и) в алгебре событий следующим образом: (Г«' (1+ Ь«) = и) = ~~(Л (1) = п — Ц(ЬУ«' (1) = Ц. а=о По условию 3) М (1) — процесс с независимыми приращениями.
Полагая 1о —— О, 1« — — 8, «э — — 1+ «««(Ы ) 0), получаем по определению, о !3 б б «4 б «« б Рис. 15 что случайные величины М (С«) — Ф («о) = М (1) и Ф (1э) — Х (1«) = — ЬМ(1) независимы. Поэтому пары событий (Ф(1) = и — Ц и («ЛМ (1) = Ц независимы при ЧЛ = О, 1, ... Применяя формулы сложения и умножения вероятностей и используя условия 4), получим р,(1+ Ы) = Я р, ьЯР(ЬЯ(1) = Л) = р„(1) (1 — Л«Л1+ о(Ь1)) + «=о +Р„«(Ф) (ЛЬ«+ о(«ЛС)) + «Рв ь(«)Р (««««««г(«) = й).
Учитывая, что 0 < ря ь(С) < 1, й = О, 1, ..., и, оценим последнюю сумму: о <'~ р„„(с)Р(ли(1) =Ц < п СО < ~~ Р(ЬИ(1) — Ц < ~~~ Р(ЬФ(1) — й) — Р(ЬХ(С) ) 2) — о(Ы) ь=-а ь=г в силу последнего из условий 4). После элементарных преобразований окончательно получаем р„(с+ Ьс) — р„(1) = -ЛЬг(р„(с) -р„,(с)) + о(Ь1).
З 6. Случайные функции (корреляционная теория) 163 Деля обе части на Ы и переходя к пределу при с1с — > О, получим диф- ференциальное уравнение для искомых вероятностей — = — Лри(Г) + Лри-с(1), и = 1, 2, ..., йр„(с) (2) с начальными условиями р„(0)=0, и=1,2,..., р,(О) = 1.
Уравнение (2) решаем рекуррентно, считая, что на и-м шаге значение р„с(с) уже известно. При и = 0 решением задачи ро'(1) = -Лро(1), ро(0) = 1 является функция ро(с) = е "'. При и ф 0 согласно интегралу Дюамеля (см. ч. 3, гл. 14, з 1, и. 1) р„(с) = Л е "1с '1ри с(т)с)т, о откуда по индукции получаем р(1)= е "', 1)0, и=01,. (Л~) -лс и! Параметр Л трактуется как среднее число единичных приращений в единицу времени.с> К пуассоновским процессам относятся процесс радиоактивного распада (сс' (1) — число атомов, распавшихся за время С Лс — среднее число атомов, распадающихся за время с), поток заявок на АТС (Ас (с) — число вызовов на АТС за время 1, Л вЂ” число вызовов в единицу времени), сбои радиоэлектронной аппаратуры (Ас (с) — число элементов аппаратуры, вышедших из строя за время й Л вЂ” среднее число отказов в единицу времени) и т.д.
18.606. Пусть Х (1) процесс с независимыми приращениями, удовлетворяющий условию Х (1) = 0 при 1 < О. Доказать, что ДнспеРсиЯ с".1х(1) Явлнетса неУбывающей фУнкцией 1. 18.607. Процесс М (1) представляет собой простейший пуассоновский поток отказов радиотехнической системы с интенсивностью 0,002 отказа в час.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
