4 часть (1081361), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Н. Т. если (Х, У) — С. В. Д. Т., (4) у Оь у)<т гаспределение Стьюдента играет важную роль в математической статистике в связи со следующим утверждением, сформулированным в задаче 18.512. 18.512а. Пусть случайная величина Х распределена по закону й1 (О, 1), а независимая от нее случайная величина У распределена по закону Хз(н).
Тогда случайная величина Т = Х распределена по закону Яг(н). Доказать это. 18.513. Случайная величина Т подчиняется закону распределения Бт(п). Определить наибольшее натуральное значение т, для которого существует момент М [~Т['"). Если (Х, У) — случайный вектор с заданным законом распределения и х = у(Х, У), где ~р(х, р) — произвольная неслучайная функция, то Гл. 18. Теория ве оятностей 124 Найдя функцию распределения г,(х), далее по известным правилам можно найти закон распределения случайной величины Е. В частности, плотность вероятности у,(я) для случая непрерывного вектора (Х, У) находится дифференцированием г',(х) по х, если в точке х функция Р,(х) дифференцируема.
Пример 10. Случайный вектор (Х, У) дискретного типа распределен по закону, определяемому таблицей Описать закон распределения случайной величины Я = (У) — (Х!. а Лля каждой пары возможных значений (х„у ) вычислим соответствующее значение х (х;, уу) = )у ( — (х;! и результат оформим в виде таблицы. Из анализа таблицы заключаем, что множеством возможных значений случайной величины Я является множество 1 — 1, О, 1, 2, 3). Вероятности реализации соответствуюцгих значений получаем по правилу сложения вероятностей. Например, Р1Я= — 1) =Р1Х= — 1, У=О) +Р1Х=1, У=О)=0 08+ 0 09 = 0 18. Окончательный результат оформляем в виде таблицы распределения 3 4.
Функции случайных величин 125 Пример 11. Случайный вектор (Х, 1') распределен равномерно в круге радиуса а с центром в начале координат. Найти плотность распределении веронтностей случайной величины Я = 1'/Х. »1 Согласно условию плотность распределения вероятностей случайного вектора (Х, У) имеет вид 1 — если (х, у) Е Ра, ,(», т (х~ у) = О, если (х, у) (с Р„ где Р, = ((х, у)~ х~ + у < ат). Найдем сначала функцию распределения случайной величины Е.
По определению, учитывая формулу (4), находим Е»(х) = Р(Я < х) = Р~ — < з = у»»(х, у)с(хау, (5) ( 1' '.( х с. где 6, = ((х, у) ~ у/х < х) — область на плоскости, зависнщан от значений действительной переменной з. Для фиксированного значения з вта область показана на рис. 12 и 13 штриховкой. Рис. 12 Рис. 13 Учитывая, что (»» (х, у) отлична от нули только в круге Р„из (5) находим Е,( ) = — И~Му = — Мха = — Я(К,), с, г~о. где К, — один из секторов, составляющий область С, П Р„выделенную иа рис, 12 и 13 двойной штриховкой. Так как в случае х > О площадь сектора Я (К,) = — ~ — + а) а = — ~ — + агссдх~ а, 2~2 ) 2~2 Гл. 18.
Теория вероятностей 126 то получаем 1 7Г т Г,(я) = — ~агсгбя+ — ) при я > О. 2) Аналогично, при я ( О, как видно из рис. 13, 1 гя Гя(Я) = — ~ — + агссбв) . я ~2 Дифференцируя функцию распределения по я, получаем независимо от знака я отв (я) 1 1 Яя) = т 1+я2' что соответствует закону распределения Коши.
~> 18.514. Случайный вектор (Х, У) дискретного типа распределен по закону, определяемому таблицей Описать законы распределения случайных величин (у = (У вЂ” Х! и У = Уз — Хз, 18.515. Случайные величины Х и У независимы и подчиняются одному и тому же индикаторному распределению В(1, р). Описать законы распределения случайных величин Я = Х + У и У =ХУ. 18.516. Вычислить функцию распределения случайной величины Я = ХУ, если случайный вектор (Х, У) распределен по закону, определяемому таблицей З 4. Функции случайных величин 127 18.517.
Случайные величины Х и У независимы и одинаково распределены по закону Л (О, 1). Найти плотность распределения сдучайной величины Я = У/Хг. 18.518. Случайный вектор (Х, У) распределен по закону, определяемому плотностью распределения вероятностей (х+ у) при О < ж < 1, О < д < 1, /х, (* ь') О в остальных случаях. Найти плотности распределения вероятностей функций Е = = Х + У, 1У = ХУ. 18.519 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти Плотность РаспРеделениЯ веРонтностей де к(и, и), где У = Хг, Уг 18.520. В круг радиуса т наудачу ставится точка. Описать закон распределения расстояния от этой точки до центра круга. 18.521.
Случайные величины Х и У независимы и одинаково распределены по закону М(О, и). Установить, по какому закону р р ь в ° - ° л=,х.~~. 18.522. Случайные величины Х и У являются стандартизованными и независимыми нормальными величинами. По какому закону распределена случайная величина Я = Х/У? 18.523. Случайная точка (Х, У) распределена по нормальному закону с параметрами тх —— тг = О, ох > О~ ог > О, рхг = = О. Написать плотность совместного распределения вероятностей полярных координат точки (Л, Ф).
18.524*. Пусть Х и У вЂ” две независимые случайные величины непрерывного типа. Доказать, что случайные величины Х" и У" (1$ Е ГЭ) также независимы. 18.525*. Случайные величины Х и У независимы и одина- йово распределены с функцией распределения Р (х). Найти функции распределения случайных величин У = гшп(Х, У) и У = с шах (Х, У). 18.526 (продолжение).
В условиях предыдущей задачи найти совместную функцию распределения Ге и (и, о). 18.527в. Случайные величины Х и У независимы и распределены каждая по закону Л(а, б). Найти плотность /е к (и, о) совместного распределения вероятностей случайных величин су = ~ гшп (Х, У), 1' = шах (Х, У1. Гл.18. Теория вероятностей 128 4. Задача композиции.
В одном из важных частных случаев функциональной зависимости Я = ~о(Х, У) = Х + У возникает задача определения закона распределения суммы компонент случайного вектора по известному закону совместного распределения его компонент. Если, например, (Л, У) — С. В. Н. Т.
с известной плотностью совместного распределения компонент ух» (х, р) и л = Х + У, то Ух(х) = Ух» (х, 3 — х) дх = Ух» (а — Р, Р) Йц. (6) Если (Х, 1') — С.В Д.Т., то закон распределения С.В.Д.Т. х, = = Х + 1' записывается в виле Р(г = зь) = '> ~ Р(Х = т,, Р = „у), где суммирование распространяется на все значения индексов 1 и у, для которых выполняется условие х, + уу = гь. В частности, если (Х, У) — С.В.Д.Т, с независимыми компонентами, то Р(Я = зь) = ~~~ Р(Л = ац) Р(У = хь — ац). (7) Если (Х, У) — С. В. Н. Т. с независимыми компонентами, то формула (6) приводится к свертке двух плотностей: ух(х) = Ух (х) у (- х) пх = ух (х У) у»(У) яр. (8) Задача определения закона распределения суммы независимых случайных величин носит название задачи композиции.
Описанные выше формулы (7) и (8) дают непосредственное решение задачи композиции. Формулу (8) удобно применять в тех случаях, когда плотности распределения вероятностей компонент описываютя одной формулой на всей оси (что, например, справедливо для нормального закона, закона Коши и т.д.). Другой подход к решению задачи компоаиции основан на применении свойств 4 и 6 характеристической функции. Так как Ех(г) = = Ях(1) Е„(1), то, найдя Е,(1), можно по характеристической функции восстановить закон распределения случайной величины х (согласио свойству 6). Закон распределения И' определенного вида называется композиционно устойчивым, если из того, что две независимые случайные величины Х и У подчиняются закону распределения данного вида, следует. З 4.
Функции случайных величин 129 что их сумма Х+ У подчиняются закону распределения И~ того же вида (см, определение вида распределенин иа с. 117). 18.528. Х и У вЂ” независимые случайные величины, распределенные по одному и тому же закону, определяемому таблицей Описать закон распределенин суммы Я = Х + У.
18.529. Х и У вЂ” две независимые случайные величины, подчиняющиесн одному и тому же закону геометрического распределения (см. задачу 18.330) с параметром р. Найти закон распределения их суммы Я = Х + У. 18.530. Доказать композиционную устойчивость закона Пуассона и найти тх и Хуа, где Я = Х + У, Х и У вЂ” независимые пуассоновские случайные величины с параметрами соответственно Лд и Лг 18.531. Доказать композиционную устойчивость закона В (и, р) при фиксированном р. 18.532. Доказать композиционную устойчивость нормального закона Ф(т, о.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
