4 часть (1081361), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Показать, что р >— и — 1 18.468*. Пусть Х и У вЂ” две стандартизованные случайные величины с коэффициентом корреляции р„г = р. Доказать, что 1 < М [шах(Х~, У~)] < 1+ ~/1 — рэ. 18.469*. Опыт состоит в том, что точка Х~ наудачу выбирается из отрезка (О, 1), затем точка Хэ наудачу выбирается из отрезка (Хы 1), ..., точка Х„наудачу выбирается из отрезка (Х„м 1). Найти М [Хв] 18.470.
Два равносильных шахматиста договорились сыграть между собой матч на следующих условиях. Общее число партий не ограничивается, за каждую выигранную партию победитель получает одно очко, за ничьи очки не присуждаются. Выигравшим матч считается тот, кто первый наберет б очков. Определить среднее число партий, сыгранных в данном матче, если вероятность выиграть очередную партию любому из игроков равна р (р < 1/2), а вероятность ничейного исхода равна 1 — 2р. < Обозначим Х числа партий, сыгранных в матче, Хь (1г = 1, 2, ..., 11) — число партий, сыгранных от (й — 1)-й победы кого-либо из участников до Й-й победы кого-либо из участников (последпее — включительно), Я (т = 1, 2, ..., 11) — число партий, сыгранных до достижения т-й результативной партии включительно.
Очевидна, Я = ~ Хы Так как вероятность результативной партии равна 2р, то Хв в=1 (при любом й) подчиняется геометрическому распределению (см. задачу 1 18.330) с параметром 2р, поэтому М[Хь] = —. Согласно свойству 1) 2р 3 4. Функции случайных величин 113 т атематического ожидания М[Яы] = ~ М[Хь] = —. Обозначим У а=1 2 р ~ело результативных партий, сыгранных в матче.
Множество возможсх значений случайной величины У: (6, 7,..., 11). Очевидно, собыие (У = 6+ )с) ()е = О, 1,..., 5) означает, что один из участников пгграл матч, набрав 6 очков при общем числе результативных парий б+ к. Таким образом, Р(У = 6+ Ц = Р (матч выиграл первый частник при общем числе результативных партий 6+ Ц + Р (матч выиграл второй участник при общем числе результативных партий 6+Ц = м 2Р (составить наудачу (б+ й)-буквенное слово из алфавита с двумя буквами (П, В) (П вЂ” выиграл первый,  — выиграл второй), причем ь Сье„ адово должно содержать 6 букв П и оканчиваться буквой П) =— 25 ее (» = О, 1, ..., 5). Найдем условное математическое ожидание М [Х/У = 6+ й] = М [Я ! = — . 6+ )с 2р йо формуле (8) з 3 полного математического ожидания М [Х) = М [М [Х/У]] = = ~ Р (Р = б+ Ц М [Х(Р = 6+ й] = ~ -1т-" Со „6+ )с 4,6465 2"+ь 2р р а=о а=о Поскольку воаможные значения Х вЂ” натуральные числа, то в качестве М [Х] нужно взять ближайшее натуральное число, не меньшее чем 4,6465 1 .
Например, при р = — имеем М [Х] = 19. > р 4 18.471а. В я почтовых ящиков, установленных в данном районе города, случайно и независимо опускают по одному письму в течение длительного времени. а) Найти математическое ожидание М [Х„] общего числа писем, опущенных до момента, пока не останется пустых ящиков. 6) Получить числовые значения при п = 2; 5; 10; 100. 2 Характеристические фунвции елуча1пгых величин. Если Я = Х + 1У вЂ” комплекснозначная случайная величина, где Х и У вЂ” действительные случайные величины, то М Д = М [Х] + г М [У].
Характеристической фуккиией Е„(1) случайной величины Х наывается комплекснозначная неслучайная функция действительного ар- Гл. 18. Теория ве оятиостей 114 гумента 1, определяемая равенством ~ е"*' Р (Х = хь], если Х вЂ” С. В. Д. Т., енл ух(х) Ых, если Х вЂ” С. В. Н. Т. Е»(1) = М(епх] = Свойства характеристической функции: 1. Е (О) = 1, !Е (1)] < 1. 2.
Если Е» (1) — характеристическая функция случайной величины Л и У = аХ + Ь, то йьЕ (1) =1 сел, где аь=М(Х], )с=1,2,...,т. ь ~=о и 4. Если У = ~~~ Хы причем (Хь) (к = 1, 2, ..., я) независимы «=1 в совокупности, то Е«(1) = Е«(г) Е, (г) ... Е» (1). 5. Е»(1) = Е«( — 1) = Е «(1), где черта означает операцию комплексного сопряжения.
В частности, отсюда следует, что если Е»(1) — действительная функция, то она обязательно четная. 6. По характеристической функции Е„(1) однозначно восстанавливается функция распределения Е»(х). Если же Х вЂ” С. В. Н. Т.(т.е. длв нее существует плотность) и функция Е (1) абсолютно интегрируема, то У (х) = — ( е н*Е«(1) а1. 2я у Характеристической функцией случайного вектора Х„Хг, ..., Х„называется комплекснозначная неслучайная функция и действительных переменных 1м 1г,..., 1„, определяемая равенством Е, », „„(Еы1г,...,с )=М ехр~1~ ~1ьХь 1 ь=~ П ример 3. Случайная величина Х подчиняется закону распределения г( (О, 1).
Найти ее характеристическую функцию. Е»(1) еаьЕ (ае) 3. Если существует т-й абсолютный момент М []Х]™], то существуют производные характеристической функции Е» (г) до гп-го порядка включительно, причем З 4. Функции случайных величин 115 з По определению характеристической функции у„(С) = М [ехр(ССХЦ = — / ехр(ССх) ехр ~ — — ~ ох = л(2т ехр — пх = ехр — — с(х = ОР -оо-и ехр ехр — — ох = ехр Переход от интегрирования по контуру Е = ( — оо — СС, +ос — СС) к интегрированию по вещественной оси оправдывается аналитичностью подмнтегральной функции в части нижней полуплоскости, ограниченной ддйствительной осью и прямой С., и возможностью деформировать контур интегрирования в области аналитичности согласно теореме Коши. С> Пример 4. Указать, какие из нижеприведенных функций действительной переменной С не являются характеристическими функциями и почему.
Е1 (С) = —, Ет(С) = —, Ез(С) = агнЬС, 1 1 1+С 1+Се ' Е4(С) = соаЬС, Еа(С) = 1 — СС. сл Не нвляются характеристическими функциями Е1(С), Ез(С) (не выполняется свойство 5) и Еь(С) (не выполняется свойство 1). С> Пример 5. Найти характеристическую функпик случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона с параметром Л, и с ее помощью вычислить т» и В». з По определению характеристической функции нь Л" -л -л ~- Лен " ~г Ц Л~ Ц л=е а=о Пв свойству 3 имеем = Е'„(С)/ = елС' 1~ЛСе"!, = Лг, следовательно —, =л. Гл. 18. Теория вероятностей 116 Далее, по тому же свойству 1~ое — — Е" (1)/, =1Л(1+ Л1ео) ен~~~' '~/, = г~Л(1+ Л), т.е.
ае = Л11+ Л), Таким образом, Р, = ае — тов» = Л + Л вЂ” Л = Л. 1> 18.472. Случайная величина Х дискретного типа может принимать только два возможных значения: — 1 или 1, с равными вероятностями. Вычислить характеристическую функцию данного распределения. 18.473. Случайная величина Х дискретного типа распределена по закону, определяемому таблицей Найти характеристическую функцию и с ее помощью вычислить дисперсию ох.
18.474. Проводятся последовательные независимые испытания с двумя исходами. Случайные величины: Хь — индикатор успеха в й-м испытании, Х вЂ” число успехов в н испытаниях. Построить характеристическую функцию для Ть и, используя ее свойства, найти характеристическую функцию случайной величины Х, если вероятность успеха от испытания к испытанию не меняется и равна р. 18.475 (продолжение). Найти характеристическую функцию случайной величины Х из предыдущей задачи, если вероятность успеха в Й-м испытании равна рь. 18.478.
Случайная величина Х распределена по биномиальному закону с параметрами я и р. Найти ее характеристическую функцию. 18.477 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти тх и Р», используя характеристическую функцию. 18.478. Случайная величина Х распределена по геометрическому закону с параметром р ) 0 (см. задачу 18.330). Найти характеристическую функцию и с ее помощью вычислить математическое ожидание тя. 18.479.
Случайные величины Х и У' независимы и одинаково распределены с характеристической функцией Е11). Пусть Я = = Х вЂ” У. Найти Ев (с). З 4. Функции случайных величин 117 18.480. Пусть для случайной величины Х непрерывного типа сугдествует М ОХО. Показать, что дЕхЯ <М(Х,) 18.481. Пусть Х вЂ” случайная величина непрерывного типа с ащественной характеристической функцией. Показать, что Ьх(6) = сов бх~х(х) г(х.
18.482 (продолжение). В условиях предыдущей задачи показать, что тх = О. 18 483* (продолжение). В условиях задачи 18.481 известно, что дисперсия случайной величины существует и равна о~. Показать, 62 „2 что Ех(г) > 1 — —. 18.484. Случайная величина Х подчиняется показательному распределению с параметром Л. Найти ее характеристическую функцию. 16.485 (продолжение). Используя найденную в предыдущей задаче характеристическую функцию показательного распределения, вычислить основные его характеристики: т», Ю» и а„. 18.486.
Случайная величина Х подчиняется равномерному закону распределения на отрезке (а, 6] (закону В (а, 6)). Найти характеристическую функцию. 16,487*. Случайная величина Х подчиняется закону Коши с параметрами с е И и а > О с плотностью распределения вероятностей У-(х) = -' ,)г+аг ' Найти ее характеристическую функцию. Семейство законов распределения, описываемых функциями распре/х — а~ деленияР ( ), где Г(х) — фиксированная функция распределения, а Е И, 6 > О, называется видом распределения. При этом параметр а называется параметром сдвига, 6 — масштабным множитеИз этого определения вытекают два простых следствия: Следствие 1.
Семейство законов распределениц описываемых 1 /х — а~ плотностями — у" ~ — ), где г'(х) — уиксированная плотность 6 (,6)' 3 аспределения вероятностей, а Е И, 6 > О, лвллетсл видом распрееления. Гл. 18. Теория вероятностей 118 Следствие 2. Семейство законов распределения, онисьлваемьст характеристическими функциями ео Е (66), еде а й К, 6 > О, Е (1)— фиксированная характеристическая функция, является видом распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
