4 часть (1081361), страница 27
Текст из файла (страница 27)
18.533*. Решить задачу композиции двух равномерных распределений на отрезке [-1, Ц. Найти плотность распределения вероятностей суммы и указать, какому закону она соответствует. 18.534. Известно, что Х вЂ” случайная величина непрерывного типа с функцией распределения Рх(т), У вЂ” независимая от Х случайнан величина, подчиняющаяся закону распределения В(а, 6). Найти плотность распределения веронтностей случайной н г=Х+У. 18.535*. Измеряетсн некоторая физическан величина Х, равномерно распределенная на отрезке [ — 3, 3[. Процесс измерения проводится в условиях воздействия аддитивной независимой от Х помехи У, распределенной по нормальному закону с параметрами тг — — О, ог = 2.
Написать плотность распределения вероятностей фактически измеряемой величины Я = Х + У. 18.536. Решить задачу композиции двух показательных рас,пределений с параметрами, равными соответственно Л1 и Лт. Найти плотность распределения веронтностей суммы х' = Х+ У непосредственно, вычислив сначала функцию распределении, а затем плотность. 18.537 (продолжение). В условинх предыдущей задачи найти плотность распределения вероятностей я, используя аппарат хаРактеристических функций. Гл.
18. Теория вероятностей 130 18.538* (продолжение). В условиях задачи 18.536 найти плотность распределения вероятностей Е в частном случае Л1 = Лг = Л (композиция двух одинаковых показательных распределений). Случайная величина Х непрерывного типа распределена по закону Эрланеа и-ев порядка (и б И) с параметром Л > О, если ее плотность распределения вероятностей описывается формулой О, если х(0, и! Из решения задачи 18.538 вытекает, что композиция двух одинаковых показательных распределений с параметром Л есть распределение Эрланга первого порядка. 18.539*.
Показать, что композиция и одинаковых показательных распределений с параметром Л есть распределение Эрланга (и — 1)-го порядка с параметром Л. 18.540*. Доказать композиционную устойчивость распределения Хг(и). В частности, показать, что сумма двух независимых распределений Х соответственно с и1 и иг степенями свободы есть г снова распределение Х с и1 + иг степенями свободы.
у г 18.541о. Случайная величина Я представима в виде Я = ~> Хы ь=1 где Хь — попарно независимые случайные величины, одинаково распределенные по показательному закону с параметром Л, а У подчиняется геометрическому закону распределения с параметром р. Указать закон распределения случайной величины Я.
35. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей 1. Закон больших чисел. Следующие утверждения и теоремы составляют содержание группы законов, объединенных общим названием закон больших чисел. Если случайная величина Х имеет конечный первый абсолютный момент М [[Х[], то яе > 0 Р ([Х) > с) (( В частности, если Х > 0 и существует тп„, то Р(Х >в) ( — ~ в (первое неравенство Чебышева).
у 5. Закон больших чисел и предельные теоремы 131 Если существует М [Хз], то при любом е > О справедливы второе неравенство Чебышева в нецентрированной форме; Р (Х > е] ( з М [Хз] и второе неравенство Чебышева в центрированной форме: РЦХ вЂ” ~~~ >е) < —. 1)х Последовательность случайных величин Хе, Хз, ..., Х„,... называется сходя1цейся по вероятности при п -ь оо н случайной величине Х (краткое обозначение: Х„хь Х при п -+ оо), если че > О 1пп Р([Մ— Х[ > е) = О. Теорема Чебышева (закон больших чисел). Если случайные величины в последовательности Хы Хз,..., Х„,...
попарно независимы, а их дисперсии удовлетворяют условию 1пп — У 0 [Хь] = О, 1 то 'ве > О !пп Р— ~ Хь — — ~~~ М[Хь] > е =О. (1" и-~ОО и п я=1 ь=! (2) 1 !пп — 0 ~~ Хь = О, о — >оь пз ь=1 (3) то имеет место утверждение (2). мругими словами: при выполнении сформулированных условий последовательность средних арифметических и случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.
В частности, если дисперсии попарно независимых случайных величин Хь, !с = 1, 2,... равномерно ограничены (т.е. Р [Хь] ( оз для л = 1, 2,... ), то выполняется (1), а следовательно, и (2). Теорема Маркова (закон больших чисел в обшей формулировке). Если дисперсии произвольных случайных величин в последовательности Хм Хз ..., Хп, ... удовлетворяют условию 'з 5. Закон больших чисел и предельные теоремы 133 то согласно второму неравенству Чебышева в центрированной форме имеем Хь + Хь+1 гоь + гль~ы ) 0 [Хь + Хь+~! Р <— > о» +оьы < г 2 ) 4( +оьы)2 ( О [Хь! + О [Хь~.1! + 2рь ь„.1аьоь+, (оь + оь „1)~ 1 — с 4 (оь + оьь1 )' 4 (оь + ох+1)2 4 18.542.
Случайная величина Х имеет характеристики т„= 1, гг» = 0,2. Оценить снизу вероятности событий А = (0,5 < Х < <1,5), В= (0,75 <Х < 1,35), С=(Х < 2). 18.543. Измеряется скорость ветра в данном пункте Земли. Случайная величина Х вЂ” проекция вектора скорости ветра на фиксированное направление. Оценить вероятность события А = = (Х > 80км/ч), если путем многолетних измерений установлено, что М[[Х[! = 16км/ч. 18.544 (продолжение). В условиях предыдущей задачи оценить вероятность события А, если в результате проведения дополнительных измерений установлено, что о» = 4км/ч.
18.545 (продолжение). Оценить вероятность события А, если к данным задач 18.543 и 18.544 добавить условие, что закон распределения случайной величины Х симметричен относительно математического ожидания т». 18.546. Число Х солнечных дней в году для данной местности является случайной величиной со средним значением 100 дней и среднеквадратичным отклонением 20 дней. Оценить сверху вероятности событий А = (Х > 150), В = (Х > 200). 18.547.
С помощью неравенств Чебышева оценить вероятности Рь = Р([Х вЂ” гп»! < Йо») для й = 1, 2, 3, если Х подчиняется закону М (т», о»). Сравнить с точными значениями этих вероятностей, полученными в задаче 18.362. 18.548. Пусть р (х) — монотонно возрастающая и положительная функция, причем существует М [~р(Х)], где Х вЂ” некоторая неотрицательная случайная величина. Используя первое неравенство Чебышева, показать, что для всех е > 0 Р(Х>е) < м [р(х)! р (е) 18.549*. Показать, что если для некоторой случайной величины Х существует М ~ед~~[, где,9 > О, то Р (Х > е) < е ~'М [е~~[. Гл.
18. Теория вероятностей 134 В задачах 18.550 — 18.552 заданы законы распределения попарно независимых случайных величин, образующих случайную последовательность (Хп), и = 1, 2, ... Выяснить, применим ли к этим последовательностям закон больших чисел. 18.550. 18.551. 18.552. 18.552. 18,554. Для некоторого автопарка среднее число автобусов, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации на городских линиях, равно 5. Оценить вероятность события А = (по истечении месяца в данном автопарке будет отправлено в ремонт меньше 15 автобусов), если информация о дисперсии отсутствует. 18.555 (продолжение). Оценить вероятность события А из предыдушей задачи, если дисперсия равна 4. 2.
Предельные теоремы теории вероятностей. Теорема Бернулли. Относительная частота успехов в и неэависимых испььтанилх по схеме Берну ли сходится по вероятности при и -ь оо к вероятности успеха в одном испытании. Пентральвая предельнан теорема (в упрощенной формулировке Ляпунова). Если случайные величины в последовательности (Х„) (и = 1,2,...) независимы, одинаково распределены и имеют конечные математическое ожидание т и дисперсию ояг, то для любого действительного х Е„„(х) — + ср(х) = / ехр~- — ) й, и-+оо ~l 2к З 5. Закон больших чисел и предельные теоремы 136 1 — Хь — тх ь=) где У„ = о — стандартизованное среднее арифмегличе- СРХ 8/П скос и случабнь«х вели «ин в последовательности. Следствиями центральной предельной теоремы являются следующие две предельные теоремы, относящиеся к схеме Бернулли: Пусть Մ— число успехов в и независимых испытанилх по схеме Бернулли.
Тогда при достаточно больших значениях пр)у Р(т) ( Х„< тз) = Ф вЂ” Ф + О (интегральная теорема Муавра — Лапласа) и, кроме того, Р(Х„=т) = ехр — — +О гп — ИР где х = (локальнал теорема Муавра-Лапласа). /пру Пример 2. В одном из зкспериментов Пирсона по моделированию на вычислительной машине опытов с подбрасыванием правильной монеты из общего числа 24000 «подбрасываний» герб выпал 12012 раз. а) Какова априорная вероятность получить данный результат? б) Сколь вероятно при повторении зксперимента получить такое же или еще большее отклонение относительной частоты успехов от вероятности успеха в одном опыте? а Пусть Մ— число выпадений герба при и подбрасываниях правильной монеты.
По условию задачи и = 24000, р = )у = 1/2. Так как пр)у = 6000 » 1, то применимы обе теоремы Муавра-Лапласа. а) По локальной теореме Муавра — Лапласа Р (Х„= 12012) р — ( ) 8,088 10 1 ( 1/ 12 2 8060 ( 2 ) '6»ОО ) 1 б) Случайная величина — Х„имеет смысл относительной частоты и (1 [ ру успехов в и опытах, причем 1) ~ — Х„~ = †. Так как в опыте Пирсона (и ~ и было получено отклонение относительной частоты успехов от вероятности успеха в одном опыте, равное 12012 1 24000 2 Гл. 18. Теория вероятностей 136 то согласно интегральной теореме Муавра — Лапласа 1 1 1 ((1 1 Р ~ — Хя — — > 0,0005) = 1 — Р ) — Մ— — < 0,0005 в 2 ' ) ( и 0,0005 2 — 2Ф рл — — 2 — 2Ф (0,1549) 0,8668.
~> 18.556. Проводятся последовательные испытания по схеме Бернулли. Вероятность осуществления события А в одном испытании р = 0,6. Считая применимыми предельные теоремы Муавра- Лапласа, вычислить вероятности следующих событий: В = (событие А произойдет в большинстве из 60 испытаний), С = (число успешных осуществлений события А в 60 испытаниях будет заключено между 30 и 42).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
