4 часть (1081361), страница 42
Текст из файла (страница 42)
19.114. Показать, что выборочное среднее является аффективной оценкой параметра Л распределения Пуассона. 19.115. Показать, что относительная частота появления сабытия А в 24 независимых испытаниях является аффективной оценкой вероятности р появления события А в одном испытании. 19.116. Пусть хм ..., х„— выборка из нормально распределенной генеральной совокупности М(т, сг).
Найти информацию Фишера у„(н2). 19.117 (продолжение). В условияк предыдущей задачи при известном математическом ожидании т оценивается дисперсия оз. Показать, что статистика ее — — — ~~ (х4 — т) 2 является аффективной оценкой н2. 19.118*. Пусть х4, ....,х„ — выборка нз генеральной совокупности, имеющей равномерное распределение 44(0, 1). Показать, 2. Статистическое оценяваппе распределения по выборке 225 я , „(х, "., *., В) = П 1, (х;, В). ьы (6) П сть, наконец, хм ..., х„— выборка наблюдений случайной величины , по которой находится оценка неизвестного параметра.
Функцией правдоподобия Е (В) выборки объема и называется плотность выборочного вектора (6), рассматриваемая при фиксированных значениях переменных хм ..., х,. Функция правдоподобия является, таким образом, функцией только неизвестного параметра В, т.е. я Т,(В) = П,(.,(х„В). (7) Аналогично определяется функция правдоподобия выборки дискретной случайной величины Х. Пусть Х вЂ” дискретная случайная величина, причем вероятность Р[Х = х[ = р(х, В) есть функция неизвестного параметра В.
Предположим, что для оценки параметра В получена конкретная выборка наблюдений случайной величины Х объема я: хы ...,х„. Функция правдоподобия Е (В) выборки объема я равна вероятности того, что компоненты выборочного вектора Хм ..., Х„ примут фиксированные значения хы ...,х„, т.е. и я Т, (В) = П Р [Х, = х,[ = П р(,, В). (8) Метод максимального правдоподобия состоит в том, что в качестве оценки неизвестного параметра В принимается значение В, доставляюгцее максимум функции правдоподобия.
Такую оценку называют МП-оценкой. В случае дискретного распределения наблюдаемой случайной величины Х МП-оценка неизвестного параметра В есть такое значение В, при котором вероятность появления данной конкретной выборки максимальна. Аналогичную интерпретацию МП-оценки можно дать и в случае оценки параметра распределения непрерывной случайной ВЕличины. Для упрощения вычислений, связанных с получением МП-оценок, В некоторых случаях удобно использовать логарифмическую функцию цРавдоподобия, т.е.
!и Ь (В). что статистика т = — (х! + х( )) является более эффективной 2 оценкой математического ожидания, чем выборочное среднее. 2. Метод максимального правдоподобия. Метод максимального правдоподобия является одним из наиболее распространенных методов нахождения оценок неизвестных параметров распределения генеральной совокупности. Пусть Х вЂ” непрерывная случайная величина с плотностью распределения („(х, В), зависящей от неизвестного параметра В, значение которого требуется оценить по выборке объема п. Плотность распределения выборочного вектора (Хы ..., Х„) можно записать в виде Гл. 19. Математическая статистика 226 < х = — ! е г пс = Ф(х).
~(2к ! я(2к ! 1пп Р где Ф(х) — функция распределения нормального закона Ж(0, 1). Если для параметра д существует аффективная оценка, то метод максимального правдоподобия дает именно зту оценку и другой МП-оценки не существует. Пример 3. Найти МП-оценки математического ожидания гп и дисперсии аг нормально распределенной генеральной совокупности. < Пусть хы хг, ..., х„— выборка наблюдений случайной величины Х с плотностью распределения г 1 ( (х — т)г) уя(х, т, а ) = ехрс(— ~сг2т а ( 2аг Найдем функцию правдоподобия Е (т, аг).
По формуле (7) имеем и с (. т)гг Ь(т,а )=П ехр( — ' ) = ~(2т а 2аг 1 ) ~ (х; — т) (2т)ь/гагг 2аг Логарифмическая функция правдоподобия отсюда равна , ~(*- )' !пав(т, аг) = — — !п2т — — 1паг— 2 2 2аг Используя необходимые условия максимума 1и( (т, аг), получим си- стему уравнений для нахождения МП-оценок: д1пс,(т, сгг) 1 дт аг 2.~ (9) д!пЬ(гп, сгг) и 1 = — — + — 7 (х; — т) =О. дсгг 2сгг 2ав " При выполнении некоторых достаточно общих условий МП-оценки состоятельны, осимпгпотически эффективны и осимпгпогпически нормально распределены.
Последнее означает, что при увеличении объема выборки и для МП-оценки д„неизвестного параметра д выполняется условие З 2. Статистическое оценивание распределения по выборке 227 1 Из первого уравнения системы (9) находим т = — у х; = х. Подста- -2 вдяя это значение во второе уравнение, получаем б~ = — ) (х; — х) = Р*. Отметим, что выборочное среднее х нвляется несмещенной и состоятельной оценкой ги (см. пример 1), а также эффективной оценкой в случае нормально распределенной генеральной совокупности (см.
пример 2). Выборочная дисперсия Р„*является состоятельной и смещенной оценкой пэ (см. задачи 19.98 и 19.100). С При м ер 4. Найти МП-оценку параметра Л распределения Пуассона. <! Пусть хм ..., х„— выборка наблюдений случайной величины Х, имеющей распределение Пуассона с неизвестным параметром Л, т.е. Р!Х=х) = — е л* х! где х принимает неотрицательные целочисленные значения, х = О, 1, 2, ... Функция правдоподобия Р (Л) выборки объема и определяется по формуле (8): Л*, Л'* Ь(Л) = Д вЂ”,е =, е "". х,. ! х~! хэ! ...х„! 1=1 Найдем логарифмическую функцию правдоподобии: !пР(Л) = — !п(х~! х,!) + (~ х;) 1пЛ вЂ” Ли.
Используя необходимое условие экстремума, получим уравнение длн опре- деления МП-оценки: — 0 дЛ Л 1ч Отсюда следует, что Л = — у х, = х. и Полученная МП-оценка являетсн несмещенной и состоятельной оценкой Л (пример 1), а также эффективной оценкой этого параметра (задача 19.114), !> 19.119*. Найти МП-оценку параметра сг по выборке объема и из йормально распределенной генеральной совокупности с известным математическим ожиданием т. Показать, что полученная оценка нвляется смещенной. 228 Гл.
19. Математическая статистика 19.120. Пусть х -- наблюдаемое значение случайной величины, имекпцей биномиальное распределение В (я, р), или, другими словами, т — число «успехов«в и независимых испытаниях, причем р — вероятность «успеха«в одном испытании. Найти МП- оценку параметра р. Показать, что полученная оценка является несмещенной, состоятельной и эффективной.
19.121. Пусть ж -- число автолюбителей, заправившихся на данной станции в течение я часов. Предположим, что число автолюбителей, подъезжающих на заправку, есть случайная величина Х, имеющая распределение Пуассона с параметром яЛ, где Л вЂ” ожидаемое число заправляющихся автолюбителей в течение одного часа. Найти МП-оценку параметра Л. Показать, что полученная оценка является несмещенной, состоятельной и эффективной. В задачах 19.122 и 19.123 по выборке жм жэ, ..., х„объема и найти МП-оценки параметров указанных распределений. Показать, что полученные оценки являются несмегценными н состоятельными. 19.122. Показательное распределение Ех (1/Л). 19.123. Нормальное распределение У«' (т, 1).
19.124. Независимые случайные величины Хм Хэ, ..., Хг имеют биномиальные распределения соответственно В(я«, р), В (««э, р), ..., В (пы р). Пусть хм хэ, ..., хь — значения, которые приняли эти случайные величины в некотором эксперименте. Найти МП-оценку параметра р. Показать, что полученная оценка является несмещенной, и вычислить ее дисперсию. 19.125*. Пусть тм ..., тя — выборка нз генеральной совокупности, имеющей равномерное распределение В(а, б). Найти МП- оценки параметров а н б по выборке.
19.126. Случайная величина Х имеет плотность распределения э х(ж) йт при т Е [О, /2/Й ), эл(ж) = 0 при т ф (О, ~/2ф ]. Найти МП-оценку математического ожидания Х по выборке объема я. 19.127. При помощи я различных приборов получены я измерений случайной величины Х. В предположении, что Х имеет нормальное распределение, а дисперсия «-го измерения известна и равна «гэ, « = 1, 2, ..., и, найти МП-оценку математического ожидания т случайной величины Х.
Показать, что полученная оценка является несмещенной, и вычислить ее дисперсию. 19.128. Длина ( объекта измерялась независимо друг от друга двумя приборами. Оба прибора дают при измерении случайные З 2. Статистическое оцениваиие распределения по выборке 229 ошибки, имеюшие нормальное распределение со средним, равным нулю, и дисперсиями сг~! и !г~~. Найти МП-оценку (, если первым прибором сделано и! измерений, а вторым — пт измерений. 19.129. Отказ прибора произошел при !с-м испытании. Найти МП-оценку вероятности отказа р при одном испытании и вычислить ее математическое ожидание. 19.130в.
Для тога чтобы событие А произошло ровно х раз, было проведено гг испытаний (гг > х). Найти МП-оценку вероятности р появления события А в одном испытании, 3. Метод моментов. Для получения оценок неизвестных параметров В!, Вю ..., О, распределения генеральной совокупности Х часто используется метод моментов, состоящий в следующем. Пусть у„(х, О!, Вю..., В,) — плотность распределения случайной величины Х. Определим с помашью атой плотности в каких-либо моментов случайной величины Х, например первые в начальных моментов, по формулам „(0,,0,) =М[Х") = х~Ух(х, 0!,..., В,) Вх, т = 1, 2, ..., в. По выборке наблюдений случайной величины найдем значения соответствуюших выборочных моментов: Попарно приравнивая теоретические моменты о случайной нели- чины Х их выборочным значениям о', получаем систему в уравнений с неизвестными Вг, ..., О,: о !(0!, ..., О,) = о"„, гп = 1, 2, ..., в.
Решая полученную систему относительно неизвестных Вг, ..., В„находим оценки 0!, ..., О, неизвестных параметров. Аналогично находятся оценки неизвестных параметров по выборке наблюдений дискретной случайной величины. Пример 5. Методом моментов найти опенки неизнестных параметров о и 5 для Г-распределения с плотностью х<0 О, -! -ь* — х' е *, х>0. Г (а) Гл, 19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
