4 часть (1081361), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Найти 90%-ный доверительный интервал для дисперсии и среднего квадратического отклонении. 19.174. Оценка величины сопротивления для большой партии однотипных резисторов, определенная по результатам намерений 100 случайно отобранных экземпляров, равна х = 10 кОм. а) Считая, что дисперсия намерений известна: <г~ = 1кОмг, найти вероятность того, что для резисторов всей партии величина сопротивления лежит в пределах 10*0,1кОм.
в) Сколы<о измерений нужно произвести, чтобы с вероятностью 0,95 утверждать, что для всей партии резисторов величина сопротивления лежит в пределах 10 х 0,1кОму 19.175. Дли определения вертикального угла ориентира используют среднее арифметическое нескольких замеров угла при помощи секстанта. Длн углов, измеряемых секстантом, с.
к. о. принимается равным <г = 1,5'. Найти количество замеров, которое нужно произвести, чтобы: а) погрешность результата с вероятностью 0,99 не превосходила 1', б) погрешность результата с вероятностью 0,95 не превосходила 1,5'. В задачах 19.176-19.182 рассматриваются две независимые выборки объемов и, и пг из генеральных совокупностей с распределениями Ж(т1, <г1) и Ф(тг, ог). х1 и хг — выборочные средние, а я1 и аг — выборочные дисперсии, вычисляемые по этим выбор- 2 2 вам.
19.176*. Показать, что если дисперсии обеих совокупностей известны, то доверительный интервал для разности средних т1 — тг определяется формулой: сг <гг (Х1 — Хг) — и1 е12 — + — < т1 — тг < п1 п2 <Г1 г г < (Х1 — Х2) + Ю1-а/2 + пг 19.177*. Пусть <г~~ = <тг~ = <тя, величина ог неизвестна, а в качестве оценки <гг используется статистика (п< — 1) я, + (пг — 1) аг п1+ пг — 2 з 3. Интервальные оценки 243 Показать, что доверительный интервал для разности средних т1 — тг определяется формулой 1 1 (х1 — х2) — 11 „/2(т11 + т12 — 2)а — + — < О1 Яг 1 1 < гп1 — тяг < (Х1 — хг) + 11- /г(я1 + яг — 2) а — +— п1 пг 19.178. Рассматривается случайная величина Я = Х вЂ” У, где Х и У вЂ” независимые случайные величины.
Выборочные оценки для Х и У определялись по результатам п1 = 16 и иг = 36 наблюдений соответственно. Найти 95%-ный доверительный интервал длн математического ожидания Я, если х = 10, у = 4, ог. и о~~ известны и таковы: и = 1, ог = 4. 19.179. Амплитуда колебаний определялась двумя лаборантами. Первый лаборант по 10 наблюдениям получил среднее значение амплитуды Х1 — — 81мм, а второй по 15 наблюдениям — среднее значение хг = 84мм. В предположении, что дисперсии измерений известны и равны 111 = 64мм и 1тг~ = 81мм для первого и второго лаборанта соответственно, найти 99%-ный доверительный интервал для разности средних Х1 и Хг.
Можно ли считать, что результаты лаборантов действительно различаются? 19.180. Из большой партии диодов были взяты две выборки с интервалом в один меснц. Результаты измерения времени восстановления у диодов первой выборки (нс): 51, 62, 53, 52, 63. Выборочное среднее и дисперсия времени восстановления для 7 диодов второй выборки: хг = 60,3, аг г— — 36,06. а) Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего по паиным первой выборки. б) Найти 99%-ный доверительный интервал для изменения среднего в течение месяца в предположении, что дисперсия времени восстановления диодов за этот период времени не изменилась. Можно ли считать, что среднее времени восстановления не изменилось? 19.181*.
Показать, что доверительный интервал для отношения дисперсий определяется формулой г 2 2 2 ~е/2(~2 11 ~1 1) < 2 < 2 ~1 — а/2(я2 11 111 1)~ а2 '12 а2 где Гр(пг — 1, я1 — 1) — квантиль распределения Фишера с пг — 1 и и1 — 1 степенями свободы порядка р. 19.182. Найти 90%-ный доверительный интервал для отношения дисперсий по данным задачи 19.180. Гл. 19. Математическая статистика 244 2. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли и параметра Л распределения Пуассона. Если распределение генеральной совокупности не является нормальным, то в отдельных случаях по выборкам большого объема можно построить доверительные интервалы для неизвестных параметров приближенно, используя прн атом предельные теоремы теории вероятностей (см.
главу 18, 3 5) и вытекающие нз них асимптотическне распределения и оценки. Пример 2. Пусть в и независимых испытаниях успех наступил х раз. Найти доверительный интервал для вероятности р успеха в одном испытании. < Эффективной оценкой вероятности успеха р в одном испытании является относительная частота р = Ь = х/Ь (см. задачу 19.115). По теореме Муавра — Лапласа (гл. 18, 35, п.2) относительная частота Ь имеет асимптотически нормальное распределение М(р, ь/щ/и), где д = 1 — р.
Рассмотрим статистику ГГ = (6-р)/~/щ/п, которая, следовательно, имеет асимптотически нормальное распределение М(0, 1) независимо от значения р. При больших и тогда имеем 6 †Р<и! уг в1 — гг. / рд/а Отсюда получаем, что с вероятностью 1 — гг выполняется неравенство Ь вЂ” и1 а(г)~ — „< Р < 6+и, а~г)) —. /рч (3) Заменяя значения р и д в левой и правой частях неравенства (3) их оценками р = Ь н д = 1 — Ь, получаем, что доверительный интервал для вероятности успеха в схеме Бернулли приближенно имеет вид Ь (1 — 6) Ь (1 — 6) Ь вЂ” и1-агг < р< 6+иг-агг . 1> (4) П р и м е р 3. При проверке 100 деталей из большой партии обнаружено 10 бракованных деталей. а) Найти 95 %-ный приближенный доверительный интервал для доли бракованных деталей во всей партии.
б) Какой минимальный объем выборки следует взять для того, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что доля бракованных деталей по всей партии отличаетсл от частоты появления бракованных деталей в выборке не более чем на 1%2 < а) Оценка доли бракованных деталей в партии по выборке равна р = = Ь = 10/100 = 0,1. По таблице П1 находим ввантиль иг агг — — ио ага = = 1,95. По формуле (4) 95%-ный доверительный интервал для доли бракованных деталей в партии приближенно имеет вид 0,041 < р < < 0,159. 9 3. Интервальные оценки 245 б) Представим доверительный интервал (4) в виде неравенства Ь (1 — 5) Р| < о2-а/2 которое выполняется с вероятностью 1 — 57 = 0,95.
Так как по условию задачи ) Ь вЂ” р ! < 0,01, то для определения п получим неравенство 5 (1 — Ь) О9,975 < 0,01. я Отсюда следует, что 1,96 ' ' < 0,01 н я > (0,3 196)2 = 3457,44. Значит, минимальный объем выборки я = 3458. ~> 19.183. Из большой партии транзисторов одного типа были случайным образом отобраны и проверены 100 штук. У 36 транзисторов козффициент усиления оказался меньше 10. Найти '95%-ный доверительный интервал для доли таких транзисторов во всей партии.
19.184. С автоматической линии, производящей подшипники, было отобрано 400 штук, причем 10 оказалось бракованными. Найти 90%-ный доверительный интервал для вероятности появления бракованного подшипника. Сколько подшипников надо проверить, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было утверждать, что вероятность появления бракованного подшипника не отличается от частоты более чем на 5%? 19.185. В 10000 сеансах игры с автоматом выигрыш появился 4000 раз. Найти 95%-ный доверительный интервал для вероятности выигрыша. Сколько сеансов игры следует провести, чтобы с вероятностью 0,99 вероятность выигрыша отличалась от частоты не более чем на 1%? 19.186. При осмотре 60 ящиков обнаружено 10 поврежденных. Найти 90%-ный доверительный интервал для доли поврежденных ящиков во всей партии.
19.187. Из урны, содержащей неотличимые на ощупь черные и белые шары в неизвестной пропорции, случайным образом извлекается 100 шаров (с возвращением). Найти: а) 90%-ный и 6) 95%-ный доверительные интервалы для доли черных шаров, если среди вынутых шаров оказалось 30 черных.
Гл. 19. Математическая статистика 19.188. Для проверки утверждения о том, что вероятность от- каза прибора р равна 0,01, было проведено испытание 100 при- боров, при этом один из приборов отказал. Построить 95%-ную верхнюю границу одностороннего доверительного интервала для р по этим данным. 19.189*, Пусть х1, ..., х„— выборка из генеральной совокуп- ности с конечным математическим ожиданием т и дисперсией а~. Показать, что если пэ известна, то доверительный интервал для т при достаточно больших я приближенно имеет вид сг 0' х — и ~/2 — < т < х+ и1 ,/и 1/ О 19.190о.
Пусть х1, ..., х„ — выборка из генеральной совокуп- ности, имеющей распределение Пуассона с неизвестным параме- тром Л. Показать, что при достаточно больших я доверительный интервал для параметра Л приближенно имеет вид /х и1-а/2 ~/ < Л < х+ и1-а/2 )/ \/я я 19.191. На каждой из 38 АТС города в период с двух до трех часов было зафиксировано в среднем 2 вызова. Считая, что число вызовов для каждой АТС имеет распределение Пуассона с одним и тем же параметром Л, приближенно найти доверительный интер- вал для Л с доверительной вероятностью 0,9.
19.192. Среднее число сбоев в сутки для 100 ЭВМ одного типа равно 2,3. В предположении, что число сбоев имеет распределение Пуассона с параметром Л, приближенно найти 95%-ный довери- тельный интервал для Л. 3. Доверительные интервалы для коэффициента корреляции р. Пусть выборка (х„р1), ю' = 1,2,..., я, получена из генеральной совокупности, имеющей двумерное нормальное распределение, и т — выборочный ко- эффициент корреляции, вычисляемый по формуле (12) э 1. При доста- точно больших я статистика 1 1+т Я = — !и — = АггЬт 2 1 — т имеет приближенно нормальное распределение Х Аггй т, Доверительный интервал для Аг1Ь р имеет вид АггЬ т — < АгсЬ р < АгсЬ т+ (5) ч/я — 3 с/ т1 — 3 Доверительный интервал для р вычисляется с помощью таблиц гипербо- лического тангенса р = 1Ь э (см. таблицу П8). з 4.
Проверка статистических гипотеэ 247 П р и м е р 4. Выборочный коэффициент корреляции, вычисленный по выборке объема 10, г = — 0,64. Найти 90%-ный доверительный интервал для коэффициента корреляции р. э Из таблицы П8 находим АгсЬ ( — 0,64) = — АггЬ 0,64 = — 0,76. Так как ио,эь = 1,645, то доверительный интервал для АгтЬ р по формуле (5) имеет вид — 0,76 — ' < Аггй р < — 0,76+ 1,645 1,645 ч~ТΠ— 3 /10 — 3 — 1,38 < АгСц р < — 0,14.
Снова обращаясь к таблице П8, получим 90%-ный доверительный ин- тервал для коэффициента корреляции: — 0,881 < р < — 0,139. ~> Построить доверительные интервалы для коэффициентов корреляции двумерной нормально распределенной совокупности по следующим данным: 19.193. т = 0,687, и = 50, 1 — сг = 0,95. 19.194. т = 0,71, и = 28, 1 — сг = 0,95. 19.195. т = -0,65, и = 12, 1 — сг = 0,99 и 1 — сг = 0,95.
19.196. т = 0,14,п = 300, 1 — сг = 0,99 и 1 — гг = 0,95. 19.197. г = -0,36, и = 28, 1 — сг = 0,99 и 1 — сг = 0,95. 19.198. Построить доверительный интервал для коэффициента корреляции по выборке, полученной в задаче 19.79 при 1 — сг = 0,9. 3 4. Проверка статистических гипотез 1. Основные понятия. Проверка гипотез о параметрах нормально распределенной генералъной совокупности. Во многих случаях результаты наблюдений используются для проверки предположений (гипотез) относительно тех или иных свойств распределения генеральной совакупности. В частности, такого рода задачи возникают при сравнении различных технологических процессов или методов обработки по определенным измеряемым признакам, например, по точности, производительности н т.д.
Пусть Х вЂ” наблюдаемая дискретная или непрерывная случайная величина. Статистической гипотезой Н называется предположение относительно параметров или вида распределения случайной величины Х. Статистическая гипотеза Н называется простой, если она однозначно определяет распределение случайной величины Х; в противном случае гипотеза Н называется сложной. Например, простой гипотезой является предположение о том, что случайная величина Х распределена по нормальному закону Аг(0, 1), если же высказывается предположение, что случайная величина Х имеет нормальное распределение Ф(т, 1), где 248 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
