4 часть (1081361), страница 44

Файл №1081361 4 часть (Ефимов А.В., Поспелов А.С. - Сборник задач по математике для втузов) 44 страница4 часть (1081361) страница 442018-01-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

2) Представить выборочные значения в виде гистограммы частот. 3) Найти оценки математического ожидания и дисперсии данной статистики и сравнить их с теоретическими значениями. 19.153 (продолжение). Для каждой из выборок предыдущей за- 2 дачи найти выборочную дисперсию по формуле Я = — 7 (х;— и3=1 — т), где и = 15, а т = 3.

Используя выборочные значения 2 статистики оог, выполнить задания к задаче 19.152. 19.154 (продолжение). Решить задачу 19.153 для выборочной у — г дисперсии эг = — г (х; — х) . и — 1 19.155 (продолжение). Решить задачу 19.153 для статистики Х вЂ” т 87;/и 3 3. Интервальные оценки 1. Доверительные интервалы и доверительная вероятность. Доверительные интервалы для параметров нормально распределенной генеральной совокупности. Прн статистической обработке результатов наблюдений часто необходимо це только найти оценку д неизвестного параметра д, но и охарактеризовать точность этой оценки. С этой целью вво,дится понятие доверительного интервала. Гл.

19. Математическая статистика 238 Доверительным интервалом для параметра д назьтается интервал (дм дг), содержащий (накрывающий) истинное значение д с заданной вероятностью р = 1 — о, т.е. Р [дг < д < 02] = 1 — сг, Число 1 — сг называется доверительной вероятностью, а значение а — уровнем значимости. Статистики 01 — — дг(хы ..., х„) и 02 = 02(хм ..., х„), опРеделнемые по выбоРке хм ..., х„из генеРальной совокупности с неизвестным параметром О, называются соответственно нижней и верхней границами доверительного интервала. Условие (1) означает, что в большой серии независимых зкспериментов, в каждом из которых получена выборка объема и, в среднем (1 — о) 100% из общего числа построенных доверительных интервалов содержат истинное значение параметра д. Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервального оценивания, зависит от объема выборки п и доверительной вероятности 1 — сс при увеличении объема выборки длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением доверительной вероятности к единице — увеличивается.

Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями. Обычно используются значения 1 — сг, равные 0,90; 0,95; 0,99. При решении некоторых задач применяются односторонние доверительные интервалы, границы которых определяются из условий Р[0 < 02] = 1 — О или Р[дг < 0] = 1 — сг. Эти интервалы называются соответственно левосторонними и иравосторонними доверительными интервалами. Чтобы найти доверительный интервал для параметра д, необходимо знать закон распределения статистики д = 0(хы ..., х„), значение которой является оценкой параметра д.

При атом для получения доверительного интервала наименьшей длины при данном объеме выборки и и заданной доверительной вероятности 1 — сг в качестве оценки д параметра д следует брать эффективную либо асимптотически аффективную оценку. Один из методов построения доверительных интервалов состоит в следующем.

Предположим, что существует статистика У = У (О, 0) такая, что: а) закон распределения У известен и не зависит от д; б) функция У (д, О) непрерывна и строго монотонна по д. Пусть, далее, (1 — сг) — заданная доверительная вероятность, а у /г и уг /г — квантили распределения статистики 1' порядков сг/2 и 1 — сг/2 соответственно. Тогда с вероятностью 1 — сг выполняется неравенство (2) Уа/г < У (д, О) < У1-а/2 Решая неравенство (2) относительно д, найдем границы 01 и 02 доверительного интервала для д. Если плотность распределения статистики У 3 3. Интервальные оценки 239 симметрична относительно оси 09, то доверительный интервал имеет наименьшую длину, а если это распределение несимметрично, то длину, близкую к наименьшей.

Пример 1. Пусть хм хэ, ..., х„— выборка из нормально распределенной генеральной совокупности. Найти доверительный интервал для математического ожидания т при условии, что дисперсия генеральной совокупности известна и равна оэ, а доверительная вероятность равна 1 — о. а В качестве оценки математического ожидания т возьмем выбо- 1 речное среднее х = — 7 х,. Для нормально распределенной генеральи ной совокупности выборочное среднее является эффективной оценкой т (см. пример 3 из ~2). Выборочное среднее Х в данном случае имеет нормальное распределение М(т, а/,/и). Х вЂ” т Рассмотрим статистику У =, нмеюшую нормальное распрео),/т~ деление дг(0, 1) неаависимо от значения параметра т.

Кроме того, У как функция т непрерывна и строго монотонна. Следовательно, Р [и ~ < И < и 7~] = 1— где и„уэ и и~ ~э — квантили нормального распределения М(0, 1). Решая неравенство Х вЂ” т иауэ < ~ — ( и1 — а/2 относительно т, получим, что с вероятностью 1 — а выполняется следу- юшее условие; о и Х вЂ” — и) уг <т<Х вЂ” — и ~э. ~/и,/п Так как квантилн нормального распределения связаны соотношением и Гэ — — — и~ „7э, полученный доверительный интервал для т можно ааписать следуюшим образом: и и Х вЂ” — иг ~г ( т ( Х+ — и, 1э. ~/ и ~/ и В задачах 19.156-19.175 предполагается, что выборка объема и получена из генеральной совокупности, имеюшей либо нормальное распределение ру(т, сг), либо распределение, достаточно близкое к нормальному. 19.156. Показать, что если дисперсия генеральной совокупности п~ неизвестна, а в качестве оценки дисперсии используется 240 Гл.19.

Математическая статистика 1 статистика я = ~у (х, — х), то при доверительной верояти — 1 ности 1 — сг доверительный интервал для математического ожидания т имеет вид я я х — — 1, 72(и — 1) < т < х+ — 1~ 72(и — 1), ~/и ,/п где 1, „72(п — 1) — квантиль распределения Стьюдента с п — 1 степенью свободы. Выборочные оценки в задачах 19.157-19.160 определялись по результатам и наблюдений. Используя эти данные, а также результаты примера 1 и задачи 19.156, найти 90% и 99%-ные доверительные интервалы для математического ожидания (среднего) следующих характеристик: 19.157. Емкость конденсатора, если х = 20 мкФ, п = 16, среднеквадратичное отклонение известно и равно 4мкФ.

19.158. Время безотказной работы электронной лампы, если х = 500, п = 100, среднеквадратичное отклонение известно и равно 10 ч. 19.159. Диаметр вала, если х = 30 мм, и = 9, е~ = 9 мм~. 19.160. Содержание углерода в единице продукта, если х = 18 г, и = 25, е~ = 16 г~ 19,161. Методом моделирования получить 10 выборок объема 25 из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение Ф(5, 1). Для каждой выборки найти доверительный интервал для математического ожидания т, считая, что дисперсия генеральной совокупности известна и равна 1. Доверительную вероятность принять равной 0,9. Какая часть из полученных интервалов накроет параметр т = 5? 19.162 (продолжение).

Решить предыдущую задачу, считая, что дисперсия о~ генеральной совокупности неизвестна. 19.163 (продолжение). Решить задачи 19.161 и 19.162 при доверительной вероятности 0,99. 19,164~. Пусть из одной генеральной совокупности получены две выборки объемов п, и пэ соответственно. Выборочные оценки средних и дисперсий по этим выборкам равны Хи Хэ, я~э, ф Объединенные оценки среднего и дисперсии по выборке объема и~ + пг вычисляются по формулам — п~Х~ + пзХг 2 (п~ — 1) Я~ + (пэ — 1) Я п~+пг ' п~+пэ — 2 Показать,что если дисперсия генеральной совокупности известна и равна оз, то доверительный интервал для среднего определяется 'з 3. Интервальные оценки 241 следующим образом: н н Х— <'1-а/г < гп < Х + "11 — а/2 ! и! +нг н1+ нг если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, ог = Я~, то доверительный интервал для среднего определяется так: Я Х вЂ” ~, 1) + — 2)< < щ .~.

Я < Х+ а/2(и) + иг — 2). Н! + Нг Для уточнения характеристик, приведенных взадачах 19.157 — 19.160 проделаны повторные эксперименты и получены новые выборочные оценки. Используя объединенные выборочные оценки (см. задачу 19.164), найти 90% и 99%-ные доверительные интервалы для среднего (задачи 19.165-19.168). 19.165. Емкость конденсатора, если п = 9, х = 18 мкФ. 19.166. Время безотказной работы электронной лампы, если и = 64, х = 480 ч. 19.167. Диаметр вала, если и = 16, х = 29 мм, вг = 4,5 ммг. 19.168. Содержание углерода в единице продукта, если и = 9, х = 18,8г, вг = 20гг.

19.169*. Показать, что если т известно, а оценка дисперсии Равна )г = во —— — 2 (х; — т), то довеРительный интеРвал длЯ дисперсии при доверительной вероятности 1 — с!имеет вид нво 2 2 Пво 2 < О Х1-а/2( ) Ха/2( где Хвг(п) — квантиль РаспРеделениа Хг с н степенЯми свободы. 19.170. Показать, что если т неизвестно, т = х, а дг = вг = (х1 — х), то доверительный интервал для дисперсии — 2 1 и — 1 при доверительной вероятности 1 — сл имеет вид (и — 1) ег (н — 1) вг 2 2 Х! — а/2( ) Ха/2(~ 1) При решении задач 19.171-19.173 используются доверительные интервалы для дисперсии, полученные в задачах 19.169 и 19.170. 19.171.

По данным задачи 19.167 найти 90% и 95%-ный доверительные интервалы для дисперсии. 242 Гл. 19. Математическая статистика 19.172. По данным задачи 19.168 найти 90% и 99%-ный доверительные интервалы для дисперсии. 19.173. Результаты 10 измерений емкости конденсатора прибором, не имеющим систематической ошибки, дали такие отклонения от номинала (пкФ): 5,4; -13,9; -11; 7,2; — 15,6; 29,2; 1,4; — 0,3; 6,6; -9,9.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
14,2 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6499
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее