4 часть (1081361), страница 44
Текст из файла (страница 44)
2) Представить выборочные значения в виде гистограммы частот. 3) Найти оценки математического ожидания и дисперсии данной статистики и сравнить их с теоретическими значениями. 19.153 (продолжение). Для каждой из выборок предыдущей за- 2 дачи найти выборочную дисперсию по формуле Я = — 7 (х;— и3=1 — т), где и = 15, а т = 3.
Используя выборочные значения 2 статистики оог, выполнить задания к задаче 19.152. 19.154 (продолжение). Решить задачу 19.153 для выборочной у — г дисперсии эг = — г (х; — х) . и — 1 19.155 (продолжение). Решить задачу 19.153 для статистики Х вЂ” т 87;/и 3 3. Интервальные оценки 1. Доверительные интервалы и доверительная вероятность. Доверительные интервалы для параметров нормально распределенной генеральной совокупности. Прн статистической обработке результатов наблюдений часто необходимо це только найти оценку д неизвестного параметра д, но и охарактеризовать точность этой оценки. С этой целью вво,дится понятие доверительного интервала. Гл.
19. Математическая статистика 238 Доверительным интервалом для параметра д назьтается интервал (дм дг), содержащий (накрывающий) истинное значение д с заданной вероятностью р = 1 — о, т.е. Р [дг < д < 02] = 1 — сг, Число 1 — сг называется доверительной вероятностью, а значение а — уровнем значимости. Статистики 01 — — дг(хы ..., х„) и 02 = 02(хм ..., х„), опРеделнемые по выбоРке хм ..., х„из генеРальной совокупности с неизвестным параметром О, называются соответственно нижней и верхней границами доверительного интервала. Условие (1) означает, что в большой серии независимых зкспериментов, в каждом из которых получена выборка объема и, в среднем (1 — о) 100% из общего числа построенных доверительных интервалов содержат истинное значение параметра д. Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервального оценивания, зависит от объема выборки п и доверительной вероятности 1 — сс при увеличении объема выборки длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением доверительной вероятности к единице — увеличивается.
Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями. Обычно используются значения 1 — сг, равные 0,90; 0,95; 0,99. При решении некоторых задач применяются односторонние доверительные интервалы, границы которых определяются из условий Р[0 < 02] = 1 — О или Р[дг < 0] = 1 — сг. Эти интервалы называются соответственно левосторонними и иравосторонними доверительными интервалами. Чтобы найти доверительный интервал для параметра д, необходимо знать закон распределения статистики д = 0(хы ..., х„), значение которой является оценкой параметра д.
При атом для получения доверительного интервала наименьшей длины при данном объеме выборки и и заданной доверительной вероятности 1 — сг в качестве оценки д параметра д следует брать эффективную либо асимптотически аффективную оценку. Один из методов построения доверительных интервалов состоит в следующем.
Предположим, что существует статистика У = У (О, 0) такая, что: а) закон распределения У известен и не зависит от д; б) функция У (д, О) непрерывна и строго монотонна по д. Пусть, далее, (1 — сг) — заданная доверительная вероятность, а у /г и уг /г — квантили распределения статистики 1' порядков сг/2 и 1 — сг/2 соответственно. Тогда с вероятностью 1 — сг выполняется неравенство (2) Уа/г < У (д, О) < У1-а/2 Решая неравенство (2) относительно д, найдем границы 01 и 02 доверительного интервала для д. Если плотность распределения статистики У 3 3. Интервальные оценки 239 симметрична относительно оси 09, то доверительный интервал имеет наименьшую длину, а если это распределение несимметрично, то длину, близкую к наименьшей.
Пример 1. Пусть хм хэ, ..., х„— выборка из нормально распределенной генеральной совокупности. Найти доверительный интервал для математического ожидания т при условии, что дисперсия генеральной совокупности известна и равна оэ, а доверительная вероятность равна 1 — о. а В качестве оценки математического ожидания т возьмем выбо- 1 речное среднее х = — 7 х,. Для нормально распределенной генеральи ной совокупности выборочное среднее является эффективной оценкой т (см. пример 3 из ~2). Выборочное среднее Х в данном случае имеет нормальное распределение М(т, а/,/и). Х вЂ” т Рассмотрим статистику У =, нмеюшую нормальное распрео),/т~ деление дг(0, 1) неаависимо от значения параметра т.
Кроме того, У как функция т непрерывна и строго монотонна. Следовательно, Р [и ~ < И < и 7~] = 1— где и„уэ и и~ ~э — квантили нормального распределения М(0, 1). Решая неравенство Х вЂ” т иауэ < ~ — ( и1 — а/2 относительно т, получим, что с вероятностью 1 — а выполняется следу- юшее условие; о и Х вЂ” — и) уг <т<Х вЂ” — и ~э. ~/и,/п Так как квантилн нормального распределения связаны соотношением и Гэ — — — и~ „7э, полученный доверительный интервал для т можно ааписать следуюшим образом: и и Х вЂ” — иг ~г ( т ( Х+ — и, 1э. ~/ и ~/ и В задачах 19.156-19.175 предполагается, что выборка объема и получена из генеральной совокупности, имеюшей либо нормальное распределение ру(т, сг), либо распределение, достаточно близкое к нормальному. 19.156. Показать, что если дисперсия генеральной совокупности п~ неизвестна, а в качестве оценки дисперсии используется 240 Гл.19.
Математическая статистика 1 статистика я = ~у (х, — х), то при доверительной верояти — 1 ности 1 — сг доверительный интервал для математического ожидания т имеет вид я я х — — 1, 72(и — 1) < т < х+ — 1~ 72(и — 1), ~/и ,/п где 1, „72(п — 1) — квантиль распределения Стьюдента с п — 1 степенью свободы. Выборочные оценки в задачах 19.157-19.160 определялись по результатам и наблюдений. Используя эти данные, а также результаты примера 1 и задачи 19.156, найти 90% и 99%-ные доверительные интервалы для математического ожидания (среднего) следующих характеристик: 19.157. Емкость конденсатора, если х = 20 мкФ, п = 16, среднеквадратичное отклонение известно и равно 4мкФ.
19.158. Время безотказной работы электронной лампы, если х = 500, п = 100, среднеквадратичное отклонение известно и равно 10 ч. 19.159. Диаметр вала, если х = 30 мм, и = 9, е~ = 9 мм~. 19.160. Содержание углерода в единице продукта, если х = 18 г, и = 25, е~ = 16 г~ 19,161. Методом моделирования получить 10 выборок объема 25 из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение Ф(5, 1). Для каждой выборки найти доверительный интервал для математического ожидания т, считая, что дисперсия генеральной совокупности известна и равна 1. Доверительную вероятность принять равной 0,9. Какая часть из полученных интервалов накроет параметр т = 5? 19.162 (продолжение).
Решить предыдущую задачу, считая, что дисперсия о~ генеральной совокупности неизвестна. 19.163 (продолжение). Решить задачи 19.161 и 19.162 при доверительной вероятности 0,99. 19,164~. Пусть из одной генеральной совокупности получены две выборки объемов п, и пэ соответственно. Выборочные оценки средних и дисперсий по этим выборкам равны Хи Хэ, я~э, ф Объединенные оценки среднего и дисперсии по выборке объема и~ + пг вычисляются по формулам — п~Х~ + пзХг 2 (п~ — 1) Я~ + (пэ — 1) Я п~+пг ' п~+пэ — 2 Показать,что если дисперсия генеральной совокупности известна и равна оз, то доверительный интервал для среднего определяется 'з 3. Интервальные оценки 241 следующим образом: н н Х— <'1-а/г < гп < Х + "11 — а/2 ! и! +нг н1+ нг если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, ог = Я~, то доверительный интервал для среднего определяется так: Я Х вЂ” ~, 1) + — 2)< < щ .~.
Я < Х+ а/2(и) + иг — 2). Н! + Нг Для уточнения характеристик, приведенных взадачах 19.157 — 19.160 проделаны повторные эксперименты и получены новые выборочные оценки. Используя объединенные выборочные оценки (см. задачу 19.164), найти 90% и 99%-ные доверительные интервалы для среднего (задачи 19.165-19.168). 19.165. Емкость конденсатора, если п = 9, х = 18 мкФ. 19.166. Время безотказной работы электронной лампы, если и = 64, х = 480 ч. 19.167. Диаметр вала, если и = 16, х = 29 мм, вг = 4,5 ммг. 19.168. Содержание углерода в единице продукта, если и = 9, х = 18,8г, вг = 20гг.
19.169*. Показать, что если т известно, а оценка дисперсии Равна )г = во —— — 2 (х; — т), то довеРительный интеРвал длЯ дисперсии при доверительной вероятности 1 — с!имеет вид нво 2 2 Пво 2 < О Х1-а/2( ) Ха/2( где Хвг(п) — квантиль РаспРеделениа Хг с н степенЯми свободы. 19.170. Показать, что если т неизвестно, т = х, а дг = вг = (х1 — х), то доверительный интервал для дисперсии — 2 1 и — 1 при доверительной вероятности 1 — сл имеет вид (и — 1) ег (н — 1) вг 2 2 Х! — а/2( ) Ха/2(~ 1) При решении задач 19.171-19.173 используются доверительные интервалы для дисперсии, полученные в задачах 19.169 и 19.170. 19.171.
По данным задачи 19.167 найти 90% и 95%-ный доверительные интервалы для дисперсии. 242 Гл. 19. Математическая статистика 19.172. По данным задачи 19.168 найти 90% и 99%-ный доверительные интервалы для дисперсии. 19.173. Результаты 10 измерений емкости конденсатора прибором, не имеющим систематической ошибки, дали такие отклонения от номинала (пкФ): 5,4; -13,9; -11; 7,2; — 15,6; 29,2; 1,4; — 0,3; 6,6; -9,9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
