4 часть (1081361), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Сравнить результаты вычислений. 19,38. Положительные отклонения от номинального размера у партии деталей (в мм): 17 21 8 20 23 18 22 20 17 12 20 11 9 19 20 9 19 17 21 13 17 22 22 10 20 20 15 19 20 20 13 21 21 9 14 11 19 18 23 19 гг=40, Ь=2, ~~) х,=689, ) хг =12635. 19.39. Время восстановления диодов из одной партии (в наносекундах): 69 73 70 68 61 73 70 72 67 70 66 70 76 68 71 71 68 70 64 65 72 70 70 69 66 70 77 69 71 74 72 72 72 68 70 67 71 67 72 69 66 75 76 69 71 67 70 73 71 74 гг = 50, Ь = 3, ~~У х; = 3492, ~ хг = 244342.
3 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 199 19.40. Время реакции (в секундах): 8,5 7,1 8,2 6,9 7,7 6,8 7,4 6,7 6,7 6,2 6,5 6,1 6,5 6,1 6,4 6,1 2,9 4,4 3,8 6,0 4,2 4,7 4,5 6,0 6,0 5,8 5,4 6,0 5,6 5,3 5,6 5,4 5,3 5,8 5,6 5,1 Ь = 1, ~~ х, = 213,8, ~~~ х~ = 1316,82. и = 36, 19.41. В условиях задачи 19.12 найти размах выборки, а также выборочные медиану, среднее и дисперсию.
Сравнить полученные результаты с теоретическими значениями соответствующих характеристик. 19.42. Поезда метро идут строго по расписанию с интервалом в 3 минуты. Методом математического моделирования получить выборку времен ожидания поезда для 10 студентов, каждый из которых выходит на перрон в случайный момент времени. Найти размах выборки, выборочные медиану, среднее и дисперсию времени ожидания.
Сравнить полученные результаты со значениями соответствующих теоретических характеристик. 19.43. Для получения значения случайной величины Х, имеющей биномиальное распределение В (я, р), можно воспользоваться следУющим методом: полУчить и слУчайных чисел 9~, Уз, ..., ув и положить Х равным числу случаев, когда у; < р, г' = 1, 2, ..., я. Методом математического моделирования найти число выигрышей в игре с игральным автоматом в 10 сеансах, если вероятность выигрыша в каждом сеансе равна 1/2.
Получить выборку результатов для пяти серий игр по 10 сеансов. Найти выборочные моду, среднее и дисперсию числа выигрышей. Сравнить полученные результаты с теоретическими значениями соответствующих характеристик. 19.44. В условиях задачи 19.17 найти выборочные среднее и дисперсию и сравнить с соответствующими теоретическими значениями. 19.45.
Определить среднее и дисперсию выборочного распределения из задачи 19.19. 19.46. Определить среднее и дисперсию выборочного распределения из задачи 19.16. 19.47. Проводятся испытания 10 приборов одного типа. Время наработки на отказ приборов данного типа подчиняется распределению Ех (Л).
Методом математического моделирования найти выборочные среднее и медиану, а также минимальное и максимальное значения времени наработки на отказ при Л = 1. (Воспользоваться выборкой из задачи 19.13.) 3 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 201 Вычисления оформим в виде таблицы 1.3.
Таблица 1.3 Контроль вычислений по тождеству (10) дает 55+4 (-32)+ б 134+ 4 ( — 278) +1034 = 653. Наконец, воспользовавшись формулами (1), (2), (4), (5), (8) и (9), находим характеристики выборочного распределения: — 32 и = 19 + 2 — 17,8, 55 134 — — 32'з 255 а" = [ — 5,054 — 3 ( — 0,582) 2,436+ 2 ( — 0,582) ] м — 0,393, 2 10з!з е", = —,[18,8 — 4 ( — 0,582) (-5,054)+ 1 +6 ( — 0,582) . 2,436 — 3 ( — 0,582)~) — 3 — 0,303. с 19.48. Из формул (6) и (7) для выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса получить соотношения (8) и (9) для их вычисления.
Гл. 19. Математическая статистика 202 В задачах 19.49-19.54 вычислить среднее, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса для заданных выборок, предварительно преобразовав их по формуле (3). 19.49. Распределение скорости автомобилей на одном из участков шоссе (км/ч): 19.50. Суммарное число набранных баллов в соревнованиях: 19.51.
Распределение предела прочности образцов сварного шва (Н/ммз): 19.52. Распределение отклонений напряжения от номинала (мВ): 19.53. Время выполнения упражнения (с): $ 1, Методы статистического описания результатов наблюдений 203 19.54. Горизонтальное отклонение от цели (м) для 200 испытаний ракет: Пусть хй~, ..., хйй — вариационный ряд выборки объема и. Если пр — не целое число, то выборочной квантилью х* порядка р (О < р < < 1) называется к-й член вариационного ряда, где к = (пр) + 1. Если же пр — целое число, то соответствующая квантиль х* не определена (она р может принимать любое значение из интервала (х®, х~"~'~)).
19.55. Вычислить выборочные квантили порядков р = 0,1; 0,5; 0,9 по данным, приведенным в задаче 19.40. 19.56. Методом моделирования получить выборку объема и = = 55 нз генеральной совокупности с распределением И(0, 1). Определить выборочную медиану и выборочные квантили порядков р = = 0,1; 0,25; 0,75; 0,9. Сравнить полученные результаты с соответствующими теоретическими значениями. 19.57 (продолженне). Решить предыдущую задачу для распределения И(10, 2). 19.58 (продолжение). Решить задачу 19.5б для распределения Ех (2). 3. Статистическое описание и выборочные характеристики двумерного случайного вектора.
Пусть (х„у;), 1 = 1, 2, ..., и, — - выборка объема и из наблюдений случайного двумерного вектора (Х, У). Предварительное представление о двумерной генеральной совокупности можно получить, изображая элементы выборки точками на плоскости с выбранной декартовой прямоугольной системой координат. Это представление выборки называется диаграммой рассеивания. Распределением двумерной выборки называется распределение двумерного дискретного случайного вектора, принимающего значения (х„у,), 1 = 1,2,,п, с вероятностями, равными 1/и. Выборочные числовые характеристики вычисляются как соответствующие числовые характеристики двумерного случайного вектора дискретного типа (см. гл, 18, ~3, п.1).
Гл. 19. Математическая статистика 204 Пример 8. Вычислить выборочные средние, дисперсии и козффициент корреляции для выборки, приведенной в таблице 1.4. Построить диаграмму рассеивания. а Вычисление указанных выборочных характеристик удобно выполнять в следуюшей последовательности. Сначала вычисляют суммы х;, ~ у,, ~~ х,, ~ у;, ~ ~х;уо ~~ (х;+у;) .
Для контроля правильности вычислений используется тождество (х; + у;) = ~ х; + 2 ~~~ х,у; + ~ у,. Таблица 1.4 х у х у х у Выборочные средние отсюда находятся по формулам (см. также задачу 19.59) 1 х ю1,0 Ехо н 1 у = ""ол = у .у . (11) Затем вычисляются суммы квадратов отклонений от среднего и произ- ведений отклонений от средних: ~г я, = ~~~ (х; — х) = ~~~ хг— х,г (12) 8,35 3,50 8,74 1,49 9,25 6,40 9,50 4,50 9,75 5,00 10,24 7,00 13,65 9,50 15,25 12,50 14,51 9,50 10,50 6,00 10,75 2,50 10,76 5,74 11,00 8,50 11,00 5,26 11,25 8,00 14,50 10,00 14,23 8,40 16,25 12,00 11,35 9,50 11,50 6,00 11,50 9,00 11,62 8,50 11,75 10,00 12,00 9,00 13,75 8,51 16,00 11,50 12,15 6,00 12,25 8,05 12,35 5,01 12,50 7,03 12,76 7,53 12,85 6,01 14,75 12,00 14,26 10,00 12,85 9,50 13,15 9,02 13,25 6,49 13,26 10,50 13,40 7,51 13,50 10,00 14,00 11,00 16,00 13,00 1.
Методы статистического описания результатов наблюдений 205 Отсюда (15) Объем выборки и = 42. Предварительно вычислим ~~) ун = 336,41, ~ ~х~ = 6652,25, х; = 522,23, уу = 2987,80, хщ; = 4358,626. Тогда по формуле (11) х = 12,434, у = 8,011. По формулам (12) — (14) находим 522,23т Я, = 6652,25 — — ' в 158,8182, 42 336 41з Яг — — 2987,80 — ' 292,5958, 42 Я,я = 4358,626 — ' ' в 175,1912. Окончательно из соотношений (15) получаем 158,8182 . 292,5958 42 ' ' " 42 175,1912 Гл.
19. Математическая статистика 206 Диаграмма рассеивания приведена на рис. 30. !> !б !2 0 !О !2 !4 !6 !8 х Рис. 30 19.59. Показать, что выборочные начальные и центральные моменты порядка )с + а '!1с, а > О) по выборке (х4, у;), г = 1, ..., н, определяются формулами 1 Ь 4 рь 4 = —',! (х, — х) (у; — у)' и, в частности, 19.60. Показать, что для вычисления выборочной ковариации по двумерной выборке объема и можно использовать формулу 1 ~к у — — — х!У! — х У. н 19.61. Показать, что для элементов выборки системы двух случайных величин выполняется равенство х!(у! — У) = ,'! у!(х! — х).
1 4210 * ~ хб и 2 !42,0 =12 = —,Р (х *) х,Р 1 с!с,! =у= у! и — 2 !40,2 ~у,7 Ь! У) ) и 3 1. Методы статистического описания результатов наблюденнй 207 19.62. Показать, что выборочный коэффициент коррелнции по выборке (х;, у;), 1 = 1, ..., и, вычисляется по формуле Вычислить коэффициенты корреляции и построить диаграммы рассеивания для следующих выборок: 19.64. 19.63. 19.66. 19.66*. Известно, что для некоторой выборки О' = 16, В" = 9. Каково наибольшее значение ковариацииу 19.67.
Пусть над элементами выборки системы двух случайных величин (х;, у,), 1 = 1, 2, ..., я, выполнено линейное преобразование и; = ах; + 6, ое = су, + с(, г' = 1, 2, ..., я. Показать, что выборочные ковариацни и коэффициент корреляции связаны соотношениями й,*„, = асИ у (ас > О), твн = гну. Используя подходящее линейное преобразование, вычислить выборочный коэффициент корреляции для следующих выборок: 19.68. х 55 71 53 67 81 75 59 89 65 81 у 206 116 221 113 32 128 248 113 284 215 19.69. х 65,8 68,3 72,7 66,1 73,1 71,8 73,1 66,5 у 166,0 115,2 157,8 152,5 149,3 181,0 173,2 120,4 Выборочная линейная реерессия У на Х по выборке (х;, у,), 4 = = 1, ...,и, определяется уравнением .О у = Во + Д;х = у + т —" (х — х). ~х Гл.19.
Математическая статистика 208 Коэффициенты до и Д~ нааыванпся выборочными коэуяфициентами ре- грессии. Они вычисляются по формулам п~ х;у; — (~~ хл) (~ у,) (16) и ~~~ х; — ( у х;) до =у — д,"х (17) Аналогично определяется выборочная линейная регрессия Х на У: х = до" +~9,'"у = х+ г —" (у — у), ~( Юу коэффициенты )эоы и Д," которой находится по формулам п~ ~х;у; — () х;) (~~~ у,) (18) п~ у; — ~~~ у) (19) Для контроля правильности расчетов используют соотношение (20) Прямые У = 1)о + д;х, х = )Уо'+ д',"У пересекаются в тачке с координатами (х, у). Пример 9. Вычислить выборочные коэффициенты линейной регрессии Х на У и У на Х по выборке примера 8 (таблица 1.4). Нанести прямые регрессии на диаграмму рассеивания. < Воспользуемся результатами вычислений в примере 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
