Толковый словарь понятий голономной (теоретической) механики (1079982), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Тогда q 0 = 0 — устойчивое поЛяпунову положение равновесия.Теорема Лиувилля о первых интегралах в инволюцииПусть для первых интегралов wi (t , q, p ) = α i ,i = 1, n, 2n-мернойгамильтоновой системы выполняется:а) ( wi , wk ) = 0, i, k = 1, n, — первые интегралы находятся в инволюции;б) уравнения wi (t , q, p ) = α i , i = 1, n, разрешимы относительно p:pi = ψ i (t , q,α ) .Тогда, не выходя за рамки алгебраических операций и квадратур, пофункциямwi (t , q, p ) , i = 1, n, вычисляются: полный интеграл S (t , q,α )уравнения Гамильтона-Якоби; дополнительные первые интегралыwn + i (t , q, p ) = α n + i , i = 1, n ; общее решение qi (t ,α ) , pi (t ,α ) , i = 1, n, уравненийГамильтона.Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёмаПусть правые части системы обыкновенных дифференциальных уравнений внормальномвидеx& = ϕ (t , x), x ∈ R n ,удовлетворяютусловиюn ∂ϕ (t , x )divϕ (t, x) = ∑ i= 0 (условие выполнено для гамильтоновых систем).∂xii =1Тогда при переносе фазового объёма решениями системы сохраняется еговеличина.Теорема Ли ХуачжунаСледующие два утверждения эквивалентны:nа) интеграл J = ∫ ∑ {Ai (t , q, p )δqi + Bi (t , q, p )δpi } аналогично интегральномуC i =1инварианту Пуанкареn∫ ∑ pi δ qi— интегральный инвариант;C i =1б) существует такое число с и такая функция F (t , q, p ) , что подынтегральныевыражения связаны соотношениемnni =1i =1∑ {Ai (t , q, p)δqi + Bi (t , q, p)δpi } = c ∑ piδqi − δF (t , q, p) ,гдеизохронный (t — фиксированный параметр) дифференциал.30δF (t , q, p)—Теорема Ляпунова об устойчивости нулевого решения системы внормальном видеПусть в ∆ -окрестности нулевого решения системы в нормальном видеx& = ϕ ( x), x ∈ R n , существует положительно определённая функция V (x)x& = ϕ ( x), x ∈ R n ,такая, что её производнаяV& (x) в силу системыотрицательно постоянная.
Тогда нулевое решение устойчиво по Ляпунову.Теорема Ляпунова о неустойчивости положения равновесияконсервативной системы (первая)Пусть для потенциальной энергииΠ (q ) ( Π (0) = 0 ) консервативнойсистемы в некотором положении q * выполняется Π 2 (q*) < 0 , где Π 2 —совокупность слагаемых в Π (q ) второго порядка (отсутствие приq0 = 0q0 = 0минимума, включая нестрогий). Тогда положение равновесиянеустойчиво по Ляпунову.Теорема Ляпунова о неустойчивости положения равновесияконсервативной системы (вторая)Пусть Π m — совокупность слагаемых в потенциальной энергии Π (q )( Π (0) = 0 ) консервативной системы наименьшей степени m ≥ 2 , и функцияΠ m (q ) отрицательно определена.
Тогда положение равновесия q 0 = 0неустойчиво по Ляпунову.Теорема Нётер) )Пусть однопараметрическая группа t = t (t , q,τ ) , q)i = q)i (t , q,τ ) , i = 1, n, —группа вариационных симметрий для лагранжевой системы, определённойфункцией Лагранжа L(t , q, q& ) . Тогда у системы есть первый интегралnw = ∑ piηi − ξH , где pii =1и H , связанные с функцией Лагранжа L(t , q, q& )обобщённый импульс и гамильтониан, функции ξ и ηi вычисляются по)∂q)i (t , q,τ )∂t (t , q,τ )уравнениям группы ξ (t , q ) =, ηi (t , q ) =.∂τ∂ττ =0τ =0Теорема об асимптотической устойчивости положения равновесиядиссипативной системыПусть q 0 = 0 — изолированное положение равновесия стационарнозаданной определённо-диссипативной системы.
Пусть потенциальнаяэнергия имеет при q 0 = 0 строгий минимум. Тогда q 0 = 0 —асимптотически устойчивое положение равновесия.Теорема об угловой скорости31В каждый момент времени t существует такой единственный вектор ω(угловая скорость), что скорости любых двух точек твёрдого тела B и Cсвязаны соотношением VB = VC + [ω, ρ] , где ρ = CB .Теорема об устойчивости нулевого решения линейной автономнойсистемыλk = µ k + iν k — корни характеристического уравнения линейнойавтономной системы x& = Dx , x ∈ R n , D = const .1.
{∀µ k = Reλk < 0} ⇔ {x ≡ 0 — асимптотически устойчивое решениесистемы x& = Dx };2. {∃µ k = Reλk > 0} ⇒ {x ≡ 0 — неустойчивое решение системы x& = Dx };3. {µ k = Reλk < 0, k = 1, r < n, µ k = Reλk = 0, k = r + 1, n} ⇒ {x ≡ 0—устойчивое по Ляпунову или неустойчивое решение системы x& = Dx }.Теорема об устойчивости по линейному приближению1.
Пусть для корней λk = µ k + iν k характеристического уравнениясистемы линейного приближения x& = Dx , x ∈ R n , D = const ,выполняется ∀µ k = Reλk < 0 . Тогда решение x ≡ 0 нелинейнойсистемы x& = ϕ ( x) = Dx + R ( x) ( R(x) — нелинейные слагаемые)асимптотически устойчиво.2. Пусть для корней λk = µ k + iν k характеристического уравнениясистемы линейного приближения x& = Dx , x ∈ R n , D = const ,выполняется ∃µ k = Reλk > 0 . Тогда решение x ≡ 0 нелинейной( R(x) — нелинейные слагаемые)системы x& = ϕ ( x) = Dx + R ( x)неустойчиво.Теорема о сложении скоростей в сложном движенииАбсолютная скорость Vабс точки в сложном движении есть суммапереносной и относительной скоростей: Vабс = Vабс + Vотн .Теорема о сложении ускорений в сложном движении (теоремаКориолиса)См.
Кориолиса теорема.Теорема Рауса-ГурвицаТо же, что критерий Рауса-Гурвица.Теорема РезаляСм. Резаля теорема.Теорема Четаева о неустойчивости нулевого решения системы внормальном видеПусть в ε -окрестности решения x(t ) = 0 системы в нормальном видеx& = ϕ ( x), x ∈ R n , существует область M ( ∂M — граница области M ), вкоторой при некотором числе k для функции V (x) выполняется:1. 0 < V ( x) ≤ k ;322.3.4.5.∂V ( x)W ( x) = V& ( x) = ∑ϕ i ( x) > 0 ;i =1 ∂xi{V ( x) ≥ V0 } ⇒ {∃l > 0, W ( x) ≥ l} ;{x = 0} ∈ ∂M ;{x ∈ ∂M , | x |< ε } ⇒ {V ( x) = 0} .nТогда решение x(t ) = 0 системы x& = ϕ ( x), x ∈ R n неустойчиво по Ляпунову.ТеоремаЧетаеваонеустойчивостиположенияравновесияконсервативной системыПусть потенциальная энергия Π (q ) ( Π (0) = 0 ) консервативной системы —однородная функция, и в положении q * системы выполняется Π (q*) < 0(отсутствие приq 0 = 0 минимума, включая нестрогий). Тогда положениеравновесия q 0 = 0 неустойчиво по Ляпунову.Теорема Эмми НётерТо же, что теорема Нётер.Теорема Якоби-ПуассонаСкобка Пуассона (ϕ ,ψ ) первых интегралов ϕ (t , q, p ) = c1 , ψ (t , q, p ) = c2гамильтоновой системы — первый интеграл той же гамильтоновойсистемы.Траектория материальной точкиГодограф радиус-вектора.Трансверсальное ускорениеВ плоском движении проекция ускорения материальной точки нанаправление, перпендикулярное радиус-вектору.
Величина в полярныхкоординатах равна Wϕ = ϕ&&r + 2ϕ& r& .Третий закон КеплераОтношение квадрата времени обращения планеты вокруг Солнца к кубубольшой полуоси траектории одинаково для всех планет одной и той жеСолнечной системы.Третий закон НьютонаСилы взаимодействия между двумя материальными точками представляютсобой векторный нуль.Трубка прямых путейВ расширенном фазовом пространстве рассматривается замкнутый контур,и через каждую его точку t 0 , q 0 , p 0 — как начальную — проводитсяпрямой путь — решение гамильтоновой системы.Угловая скорость твёрдого телаВектор, существование и единственность которого устанавливаетсятеоремой об угловой скорости.Угловая скорость прецессииПри регулярной прецессии твёрдого тела — угловая скорость подвижнойсистемы координат.33Угловая скорость собственного вращенияПри регулярной прецессии твёрдого тела — угловая скорость относительноподвижной системы координат.Угловое ускорение твёрдого тела&.Вычисляется через угловую скорость ω следующим образом: ε = dω / dt = ωУглы ЭйлераЗадают ориентацию базиса e1 , e 2 , e3 , связанного твёрдым телом,относительно базиса i1 , i 2 , i 3 , связанного с системой отсчёта: угол нутацииθ = i 3 , e3 ; угол прецессии ψ = i1 , n ; угол собственного вращения ϕ = n, e1 , гдеn — орт, расположенный на линии узлов: n ⊥ i 3 , n ⊥ e3 .Угол нутацииСм.
углы Эйлера.Угол прецессииСм. углы Эйлера.Угол собственного вращенияСм. углы Эйлера.Унивалентное каноническое преобразованиеДля валентности c выполняется c = 1 .Удерживающая связьОграничение f (t , ri , Vi ) = 0 типа равенства, наложенное на состояниямеханической системы.Уравнение БинеСм. Бине уравнение.Уравнение Гамильтона-ЯкобиСтроится по функцииГамильтона H (t , q, p ) следующим образом:⎛∂S∂S ⎞+ H ⎜⎜ t , q, ⎟⎟ = 0 .∂t∂q ⎠⎝Уравнение ЛяпуноваУравнение D T X + XD = C относительно квадратной числовой матрицы X ,C и D — квадратные числовые матрицы.Уравнение МещерскогоОпределяет поступательное движение твёрдого тела переменного состава:n dm ухr dm прdVвнешнухim=R−∑ui + ∑ k u прk , где m — переменная масса тела, Vdti =1 dtk =1 dtскорость тела, R внешн — главный вектор внешних сил, miух , mkпр — ушедшие ипришедшие к моменту времени t массы, uiух , u пр— скорости уходящих иkприходящих масс в подвижной поступательной системе, связанной с телом.Уравнение НьютонаТо же, что второй закон Ньютона.Уравнение частотТо же, что вековое уравнение.Уравнения Гамильтона34То же, что гамильтонова система.Уравнения ЛагранжаТо же, что лагранжева система.Уравнения УиттекераУравнение H (q, p ) = h , где H (q, p ) — функция Гамильтона обобщённоконсервативной системы, разрешается относительно одного из обобщённыхимпульсов, например, p1 : p1 = − K (q1 , q2 ,K, qn , p2 ,K, pn , h) .
Принимаяобобщённую координатуq1 за независимую, по функции УиттекераK (q1 , q2 ,K, qn , p2 ,K, pn , h)вычисляютсяуравненияУиттекераdq ∂Kdpi∂K,=−, i = 2, n .(гамильтонова система): i =dq1 ∂pidq1∂qiУравнения ЭйлераВ вариационном исчислении уравнения Лагранжа называются уравнениямиЭйлера.Уравнения Якобиd ∂P ∂PЛагранжева системы−= 0 , в основе которой лежит функцияdq1 ∂q 'i ∂qiЯкоби P(q1 , q, q ' ) , q1 — независимая переменная, штрих производная по ней.Ускорение материальной точки& = &&Определяется по формуле W = dV / dt = Vr , где V — скорость точки, r —радиус-вектор точки.Ускорение КориолисаСм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
