Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике (1079968), страница 39
Текст из файла (страница 39)
= — Ф13 ~Р г р, = 0.5ргасов1о, р,р = Лргяп р/совг 1о, р о, —— — 0.бра вш р, (13) Ркх —— — |Ра в177оо, р. =рассад. кр— Заметим, что скорость рвр можно получить координатным методом, дифференцируя по времени выражение у,(1) (рис. 166): е1ув Йул + Л/ сов рг), яп ро рв — Лро вр е17' Рг 3. Вычисляем кинетическую энергию системы кэк сумму кинетических энергий диска и стержня: Т = Т7 + Тг.
Однородный диск 1 совершает плоское движение, поэтому г гй, Рв 2 2 Момент инерции диска —,7', = 7й, Л~,12. С учетом (13) получаем 7П1 1о Л г г 4 (2 ош р соо рр Я 13 <р). р / (3 — сор р)еш 1о Т= — ~А+В 2 саво р Кинетическая энергия вращения стержня 2 равна Т = 1 1о~,72, где Х, = ш аг,'3 — момент инерции стержня относительно конца (точки А). Отсюда получаем, что Т, = гйгагрг/6. Кинетическую энергию всего механизма для удобства вычислений представляем в виде 13.5. Уравнение Лагранжа.
Нелинейные уравнения движения 317 где для констант вводим обозначения А = 1п а~/3, В = т Рсл,12. 4. Вычисляем обобщенную силу 01 (~1 В+~2 1В+ ™и ~ ЛХ ~~1)' Р Учитывая выражения для векторов С, = (О, — т1д, О), С2 — — (О, — тэд, 0), Г=( — Г, О, О), М=(0, О, ЛХ), и соотношения (13), получаем в результате обобщенную силу; че' = — п1 дВяшу211 сояг 1р — 0 5нь да соя 1р+ Расбп у2 — М 182 1р, 5. Кинетическую энергию записываем виде Т = 0.брала(1р), где (3 — соя 1р) я1п 1р Х(1р) = А+ В соя ф В этом случае, согласно примечанию на с. 308, уравнение Лагранжа 2-го рода имеет вид 1рХ(уз) + О.бр~Х'(1р) = ф где дХ( р) (3 — 2 сояз 1р) едп 1р Х'(р) = ЖР сове У2 В результате получаем уравнение движения системы; (3 — сояз 1р) яшз 1р 11,, 2 (3 — 2 совз уо) яш р А В ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~ 2 ~~ ~ ~2 ~ ~ 2 ~ 2 ~ 5 2 ~ и соял 1о ) СОЯВ 1Р сбп 1р 1 2 = — т дП вЂ” — пьзда сову2+ Хга сбп р — ЛХ 18 у2.
сояз 1р 2 Условия зядя'1. Механическ я система с одной степенью свободы характеризуется нелинейными кинематическими соотноиьениями. Составить уравнение движения системы. Рисунки и тексты вариантов задач приведены на с. 245 — 247. Даны массы пь = 6 кг, т = 2 кг, т = 8 кг, тл — — 1 кг. Гл. 13. Аналитичесная механика 318 Ответы 1. 2рах(1+ бвшз ьз) + брхазяп2ю = ЛХ вЂ” Задсовьз — 4аГ япьз. 2. 2раэ(1+ 3яп~ р) + Зрха вш 2р = ЛХ вЂ” Зад сов р. 3. раз(4+ 7япа р) + (772)рзаз вш2~р = ЛХ вЂ” бад сов р. 4. р(2ах + 24.5Л~ + 4Ла яп р) + 2у9аЛ сов р = — 2ад сов ьз — 8дЛ. 5.
раз(б-Р 17яп р) + 8.5фзазяп2р = 2ад(Зсовр — вшр). 6. Д9Лз -Р 4(Л+ 2аяпр)х) + 8арз(Л+ 2аяп р) совр = = — М вЂ” 4д(Л + 2а яп ~р) . 7. 2рах(3+ 8вш~ ~о) + 8рзазяп2~р = — М вЂ” 8адяпряпсс 8. раз(б + 7 5 вш р) ь 3 75рхаз вш 2р = ЛХ вЂ” ад яп р яп о. 9. ДЗХ1з -ь2аз+ 4ахяп р) -Р 2фзазяц2р = = М + (Л + а яп р)1г — 2а д сов р. 10. р(2ах/3 -ь 2Ла яп р + 14Лз) + узЛа сов р = — Зад сов ~р. 13.6.
Уравнение Лагранжа 2-го рода для консервативных систем ПостАИОвкА ЗАЛАчи. Консервативная механическа система с идеальными стационарными связями, имеющая две степени свободы, движется под действием известных сил. Используя уравнение Лагранжа 2-го рода для консерв ативнь х систем, найти ускорения тел системы. ПЛАН РЕШЕНИЯ.
Если все силы, действующие на систему потенциальны, то такая система называется консервативной. Обобщенные силы и потенциальная энергия связаны дифференциальными соотношениями ьг, = — дП/ддп где д,. — обобщенные координаты. Постановка задачи совпадает с 3 13.4. Отличие — в форме уравнения Лагранжа. 1. Выбираем две обобщенные координаты. 2. Вычисляем кинетическую энергию системы Т через обобщенныс скорости ю1 — х| н из — хя 3. Вычисляем потенциальную энергию системы П. 13.6. Уравнение Лагранжа 9-го рода двя консервативных систем 319 4. Определяем функцию Лагранжа Ь = Т вЂ” П *) .
5. Находим частные производные дЕ/ди, и дй/дх„1 = 1, 2 и записываем систему уравнений Лагранжа 2-го рода в форме Ж до, дх, ' й ди дх 6. Решаем систему алгебраических линейных уравнений (1) с двумя неизвестными — обобщенными ускорениями И; = х и Их = х . Примкр. Консервативная механическая система с идеальными стационарными связями имеет две степени свободы и представляет собой механизм, состояВ щий из пяти тел. Груз А А массой шл — — 10 кг и однородный цилиндр В массой т = 20 кг шарнирно Р --,„, Р соединены жестким неве- сомым стержнем. Призма Е С Р массой шр — — 40 кг опирается на пустотелый Рис.
167 цилиндр (трубу) С и на колесо Е (однородный цилиндр). Ось колеса соединена с призмой (рис. 167). Используя уравнение Лагранжа 2-го рода для консервативных систем, определить ускорение, которое придает призме горизонтальная сила Е = 100 Н. Трением скольжения и трением качения пренебречь. Качение происходит без проскальзывания.
Масса трубы тс — — 30 кг, колеса хп = 5 кг: о = 15'. Нижняя поверхность призмы параллельна горизонтальному основанию во все время движения. Рпшениг 1. Выбираем две независимые переменные, однозначно описывающие движение системы. Пусть переменная х, указывает положение призмы Р по отношению к неподвижной системе отсчета, а х положение оси цилиндра В относительно призмы (рис. 168).
2. Выражаем кинетическую энергию системы через обобщенные скорости х = и, и х = и . Кинетическая энергия всей системы равна сумме кинетических энергий: Т = Тд + Тн + Тс + Тр + Ти. 0 Функцию 5 называют еще кинетическим потенциалом. Гл, 13. Аналитическая механика 320 х1 Рис. 168 Записываем кинетическую энергию поступательного движения груза А, имеющего относительную скорость и и переносную и„: (и + и сов о)з + (из ыпо)з А ™А 2 Кинетическая энергия плоского движения цилиндра В (и~ + Оз сов о) + (из в1по),7выц Тв= в 2 т 2 Угловая скорость ыв зависит от скорости относительного движения ыв — — и /Лв.
Момент инерции однородного цилиндра В относительно его оси зв — — щвЛэ /2. Кинетическая энергия плоского движения трубы С (и1/2) ~с "с с ='"'с + 2 2 Здесь еас — — и, /(2Лс) — угловая скорость трубы, и /2 — скорость ее центРа масс; з = т Лсз — момент инеРции тРУбы относительно ее оси. Кинетическая энергия поступательного движения призмы Тв = твиз/2. Кинетическая энергия плоского движения колеса .Е, у которого скорость центра масс и,, имеет вид (см. с. 242) Зи1~тв 4 Кинетическая энергия всей системы тл + тв + тс(2+ тв + Зтв(2 Т— 2 и1+ гоА + Зтв/2 + (т + т )и и, саво + — --- — — -и . А В 1 а 2 13.6.
Уравнение Лагранжа 2-го рода для консервативных систем 321 3. Потенциальная энергия системы 17 = х1 х' 22 17пл с тпд) у Б1п сс 4. Определяем функцию Лагранжа: у 11 А + тд + с1'2+ тгз + Зтд!2 2 11А + Зтв)2 2 о + 2 Ег+ + (т 1 + тд) о1 из сов о Ч- х1 г + хг (тл + 1пд) у вщ о. 5. Находим частные производные др/де, и дА/дхо 1 = 1, 2 и записываем уравнения Лагранжа (Ц; "'с Зт, 1 И'1 тА Л тв Ч + тд + ) + И'2(тА + тВ) соей = Х, (2) И'1(тл + ™д) саво+ Иг ™А+ — — — = 1тл + тд)ув1пос А 2 ( 6. Рсщасм полученную систему двух алгебраических линейных уравнений с двумя неизвестными ускорениями И~ и И~ и находим И'1 — — 0.627 м1'с, И; = 1.45 м/с . ЗАмечАние. В правой части (2) стоят обобщенные силы, соответствующие координатам х1 и х . Обобщенные силы можно найти, вычисляя мощности активных сил на возможных скоростях: Я =1"1'1/х, у = 1 2, где 1Ч1 мощность сил при хг —— О, а Л'2 мощность сил при х1 — — О.
Мощность находим суммируя скалярные произведения 11' = 2„с', о„, Х;. — силы, о1 — скорости точек их приложения. При этом способе скорости лу.ппе вычислять аналитически Я 8.5), а скалярные произведения раскрывать в координатной форме. УСЛОВИЯ ЗАЛАЧ.
Консервативная механическом система с идеальнь1ми стационарными связями имеет две степени свободы и представляет собой механизм, состоящий из груза А, блока В (больший РадиУс В, меньший т, РадиУс инеРции 1 ) и цилиндРа С РадиУсом Лс. Механизм установлен на призме В, закрепленной на осях двух однороднь х цилиндров В. К призме приложена постоянная по величине еоризонтальная сила г'. Качение цилиндра С (блока В) и цилиндров 21 М.Н.Кирсанов Гл. 13. Аналитическая механика 322 Е проиасодит без проскальзывания. Трением качения и скольжения пренебречь. Используя уравнение Лагранжа 2-го рода для консерва- тивных систем, найти ускорение призмы. С А = 4 кг 26 Н. птл = — 9 кг, = 6 кг, = 19 кг, тв тпс то .= 2 кг, тия = 5кг, Г = 63 Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
