Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике (1079968), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Предупреждение типичных ошибок 1. Особое внимание уделите выбору обобщенных координат. Удачный выбор упрощает решение. Гл. 13. Аналитическая механика 300 2. Силы инерции, введенные в общее уравнение динамики, являются характерной составляющей этого метода. Не вводите силы инерции в других методах,например,при решении задач динамики с помощью теоремы об изменении кинетической энергии или в уравнение Лагранжа 2-го рода. 3. Не путайте близкие по звучанию, но совершенно разные величины: момент инерции и момент сил инерции. В первом случае это физическая характеристика тела, зависящая от распределения масс, например, д = тНз/2, для однородного цилиндра относительно его оси, во втором — динамическая величина, зависящая от вращения тела: М~ = —,Увд 13.4. 'Уравнение Лагранжа 2-го рода ПОстАнОвкА 3АДАчи.
Механическая система с идеальными стационарными связями имеет две степени свободы. Найти ускорения тея системы. Пллн ргшвиия. Постановка задачи не отличается от 3 13.3. Разница только в методе решения. 1. Выбираем две обобщенные координаты. В качестве обобщенных координат можно брать угловые или линейные перемещения точек систем, однозначно описывающие ее положение. 2. Вычисляем кинетическую энергию системы. 3. Вычисляем обобщенные силы. Для этого даем системе малое приращение одной из обобщенных координат бд,, фиксируя вторую координату, бе = О. Определяем сумму элементарных работ бАу всех сил на этом приращении. Обобщенную силу определяем по формуле Я = бА /бд .
Так же находим и другую обобщенную силу. 4. Записываем систему уравнений Лагранжа 2-го рода *): 5. Решаем систему двух алгебраических линейных уравнений (1) с двумя неизвестными обобщенными ускорениями в' и д . М Лагранж Жозеяг Луи (1736 — 1813) — французский математик, механик, астроном. 13.4. Уравнение Лагуанхса г-го рода (две степени свободы) 301 Примну 1. Рассмотрим задачу на с. 295, рис.
155. Решим ее с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода. Рис. 158 2. Выражаем кинетическую энергию системы через обобщенные скорости х, = у и х, = и.. Кинетическую энергию всей системы представляем в виде суммы кинетических энергий цилиндра и бруска: Т = Т, + Та. Находим кинетическую энергию цилиндра, совершающего плоское движение; т Е1,У1О 2 2 2 (2) Угловая скорость а11 зависит от разности скоростей центра и точки касания (рис. 157, с. 295). Так как цилиндр катится по бруску без проскальзывания, скорость точки касания равна скорости бруска и: 11 ~и1 21 Подставляем в (2) момент инерции однородного цилиндра относи- тельно его оси, д = т,712/2.
В результате получаем выражение для кинетической энергии цилиндра: Т, = -'" — '(2и,'+ (.1 — .,)'). 1 Рншинин 1. Выбираем две независимые переменные д = х и д = х, однозначно описывающие положение системы. Пусть переменная х указывает положение центра цилиндра по отношению к неподвижной системе отсчета, а х — положение бруска относительно той же неподвижной системы отсчета. Направляем оси х и х в сторону движения, т.е. направо (рис.158). в хв Бхе Гл, 13.
Аналитинеекал механика 302 Кинетическая энергия бруска тгиг г Тг 2 Кинетическая энергия всей системы г г+( )г)+ тгег 3. Обобщенную силу С вычисляем по формуле Я = бА /аахм где БА, — — элементарная работа всех сил на перемещении бх . При вычислении элементарной работы бА, на приращении обобщенной координаты х фиксируется другая обобщенная координата, т.е, бх = О.
Очевидно, что кроме силы г на таком перемещении ни одна сила работы не совершает, следовательно, 6А, = г ах, и ф = г. Аналогично, ч( = О. 4. Записываем уравнения Лагранжа (1) и вычисляем входящие в них производные: иг дТ ди, =ти + дТ г г+ дпг дТ дхг — (и — и ) т 2 — (и, — и) тг г 1 дТ =О, дхг где И~ = им И" = и.. В результате уравнения Лагранжа принимают вид ЗИ',т, -- И'гт, = 2Р, (3) — ЪУ~тп1 + Иг(т1 + 2тг) = О. 5.
Решаем систему уравнений (3); т +2гв.. Г т~(тг + Зтг) тг + Зтг Пгимег 2. Механическая система с идсальнымн стационарными связями имеет две степени свободы и состоит из груза А и однородных цилиндров В и С. Цилиндр С падает вертикально вниз и передает движение цилиндру В и грузу А, с которыми он связан не- растяжимой нитью. Нить разматывается с цилиндра С. Даны массы тел тя, тв, т, (рис.159). Найти ускорение груза А. 13.4.
Уравнение Лаграннеа 3-го рода (две степени свободы) 303 Ркшкник 1. Выбираем две независимые переменные д = х и д = 1о, однозначно описывающие положение системы (рис.160). Переменная х указывает положение груза по отношению к неподвижной системе отсчета, а у — поворот цилиндра С (рис.159). Рис. 160 Рис. 159 2. Выражаем кинетическую энергию системы через обобщенные скорости х и р.
Кинетическую энергию всей системы представляем в виде суммы кинетических энергий груза и цилиндров: Т = Тд + Тв + Тс. Находим кинетическую энергию поступательного движения груза: ших 2 2 днев швйгв(х(йв)г 2.2 Находим кинетическую энергию цилиндра С, совершающего плоское движение; асс дс'с 2 2 7с — + 2 2 Угловая скорость цилиндра С вЂ” ис = ф. Скорость центра масс складывается из переносной скорости х и относительной В ~а: 7пс(х+ Лсф) тпсйсво с = (~/~)х' (щи + шв(~+ шс) + тршсНс + (~/4)р шсНс. О„ Кинетическая энергия вращающегося цилиндра Кинетическая энергия всей системы Жи Гл. 13. Аналитическая механика 304 ОТ дх — = х(тл + 0.5тв + тпс,) + рКстс, д (ОТь — 1 — ) = х(тд + 0.5тв + тс) + 4Нс с М (,дй) ОТ д (ОТь~ у =*'Нстс+15дНс тс — ~ — ( = "Нстс+15РНс,'"с дф ' а (,вр,) — =О, — =О.
дТ ОТ дх ' дф В результате уравнения Лагранжа принимают вид ('пя + 0 5тв + "'с) х + т с Нс'р = и'с д тсх + 1 5™с'рНс тпсд (4) 5. Решаем систему уравнений (4) и находим ускорения: 2т,д 2(2тпл + тв)д х= 'р = бтпл + Зтпв + 2тс Пс(бтпл + Зтв + 2тс) Условия задач. Механическая система с иде льными стационарными связлми имеет две степени свободы и движется под действием сил тяжести. Три злельентпа механизма наделены массами, кратными некотпорой массе т. Трением пренебречь. Подвижные и неподвижные блоки считать однородными цилиндрами.
Найти ускорение груза А или центпра цилиндра А. 3. Обобщенную силу Се, вычисляета по формуле Я = бА,(бх, где бА, элементарная работа всех сил на перемещении бх. Фиксируем угол поворота цилиндра С: бу = О. Груз А перемещается по горизонтали на расстояние бх, цилиндр В поворачивается на некоторый угол, а цилиндр С поступательно перемещается вниз на расстояние бх. На этом перемещении работу совершает только сила т д, следовательно, бА = тсдбх и ьг = т,д. Аналогично, фиксируя перемещение груза (бх = 0), даем приращение углу поворота цилиндра С и вычисляем Я = т,дН 4.
Записываем уравнения Лагранжа (1) и вычисляем входящие в них производные: И.4. Уравнение Лагранжа 2-го рода (две степени свободы) 805 в Г............... шл = 5т, тв = Зт, тс = Зт. тд = Зт, тв = Зт, тс = 4т. тл = 4т, тв = 5т, тс = 4т. тл = 5т, тв = 7т, тс = 4т тд = 5т, тв = 4т, тс = Зт. шл = Зт, тв = Зт, тс = 2т. Р шд = 4т, тв = бт, тс = 7т. тл = Зт, тв = 5т, тс = Зт. 20 М.Н.Кирсанов Гл, 13. Аналитические механика 306 9.
В 19. еС А тл = Зт., епв = 4т, тс = 5т,. 1пл = 4т, тв = 6т, тс = 7т, В таблице ответов даны коэффициенты дифференциальных уравнений движения системы и искомое ускорение. Система (после сокращения на т) имеет вид а1 1х'1+ а12хз = а„ а21Х1 + а22Х2 ьз' В качестве обобщенных координат х1, хз взяты линейные перемещения точек ободов цилиндров с неподвижными осями.
Координата х, > О соответствует повороту левого цилиндра по часовой стрелке, х > Π— повороту правого цилиндра против часовой стрелки. Коэффициенты аь безразмерные, се1, 142 и 11'1 в м/с . Ответы а„ а12 а22 Ответы на типичные вопросы, возникающие при решении задачи ~~ 1. Как проверить решение задачи? Решить задачу, выбрав другие обобщенные координаты или другим способом, например, с помощью общего уравнения динамики Я 13.3, с. 294).
0 См. также ответы на с. 299 1 ~ 4.250 2; :6.125 3 ( 2.875 4 , '12.375 е 1 2000 6 ~ 6.750 7 , '4.500 8 ) 4.875 9 ~ 4.750 10: 3,750 1.250 0.375 1.000 0.625 0.500 0.750 0.500 0.625 О. 750 0.500 5.250 4.125 5.000 5.875 3.500 5.750 8.500 9.875 5.750 8.500 Я~ -4.905 14.715 19.620 24,525 9.810 14.715 19.620 -4.905 14.715 19.620 Ьзз ~ ИА -14.715 ~ 0.355 -14.715 , '2.636 — 19.620 ~ 1.559 — 14,715 ~ 0.305 — 19.620 ' 6.540 14. 715 ~ 2.308 19. 620 ~ 3.098 24.525 ~ 1.335 14.715 ~ 2.475 19.620 ' 3.490 13.5.
Уравнение Лагранжа. Нелинейные уравнения движения 307 2. В результпатс решения тюлучастся отрицательное ускорение, а в ответе оно положитаельнос. Что это значит? В ответе даны абсолютные величины ускорений. 3. Как выразить скорость оси цилиндра, подвешенного на двух нитях и совертааюшего плоское движение, через скорости нитей (например, цилиндра А в варианте 10 ) У Если скорости нитей и" и и направлены в одну сторону, то скорость оси цилиндра и = (и, 'т о, )т2. Это следует из того, что концы векторов скоростей точек неизменяемого отрезка (диаметра) лежат на одной прямой.
Угловую скорость легче всего выразить, определив положение МЦС цилиндра (рис. 87, с. 159). Получаем: = (и, —. и )/(2В), где  — неизвестный радиус цилиндра (в процессе решения он сократится и в ответ не войдет). Если скорость и направлена в сторону, противоположную и, то результаты получаются те же, но знак у и заменится на противоположный. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
