Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике (1079968), страница 41
Текст из файла (страница 41)
2 2 2 2 равна нулю: и, = и „= О. Кроме того ио, — — ио„— — О. В итоге из уравнений (7,8) с учетом соотношений между радиусами, данными в условии задачи, получаем угловые скорости 13.3. Уравнен я Гамильтона 331 Подставляем сюда выражение для момента инерции блока, д = т гз, однородного цилиндра,,7 = пе Нззее2, и соотношения (9,10): Т= (бт +Зпе ). 9 .2.2 2 (11) 2. Определяем потенциальную энергию П системы как функцию обобщенной координаты р. Находим обобщенную силу: О~ 'я+~"э ив ™в ~э ™в "е Ф По условию моменты ЛХ и ЛХ направлены по часовой стрелке, следовательно проекции их векторов на ось е берем со знаком минус: М = (О, О, — Мз), М = (О, О, — ЛХ ). Векторы сил тяжести имеют вид С = (О, — твд, О), Сэ — — (О, — тпэд, О).
Учитывая (9,10), получаем обобщенную силу ф Я = — ЗЛХ + ЗМ, — Зг д(2т + т, ) соыр. Обобщенная сила и потенциальная энергия связаны дифференциаль- ной зависимостью: (12) Интегрируя (12),получаем Н = ЗМ 1о — ЗМ:р + Зг д(2т т т ) я1п р. 9рэее Ь = Т вЂ” П = — (5еп, + Зт ) — ЗЛХ р+ ЗМ, р — Зг,д(2пь -1-ш ) вш 2 4. Записываем функцию Гамильтона Н, выражая в Н = рд — Х, обобщенную скорость р через обобщенный импульс р. Дифференцируя функцию Лагранжа по обобщенной скорости Д вычисляем обобщенный импульс р: дА Р = —, = 9г, р(5т, + Зшэ). др Константу интегрирования можно брать произвольной, так как потенциальная энергия вычисляется с точностью до постоянной величины. В данном случае константа равна нулю, что соответствует горизонтальному положению водила в нулевом уровне потенциальной энергии.
3. Записываем функцию Лагранжа Тн Гл. 13. Аналиппьческая механика 332 Отсюда выражаем обобщенную скорость; 9 гг(5т, + Зт ) Функция Гамильтона приобретает вид 2 Н = з + 3(ЛХз — Мх)1о+ Зг1д(2т1+ та)в1пУ. 18г~~ (5т + Зт ) 5. Вычисляя частные производные функции Гамильтона по обобщенному импульсу р и обобщенной координате ьо, записываем уравнения движения (1): дН, дЕХ ф= 1р= др др В результате получаем искомую систему дифференциальных уравнений для функций у и р: 9г~~ (5т -~- Зт ) р = 3(ЛХ, — ЛХз) — Зг,д(2т, + тз) сов у. ЗАМГьЧАНИК. Для определения угловых скоростей сателлитов в планетарном механизме можно воспользоваться формулой Виллиса (17); ( Ы Оя)/( 2» Оя) ( ) где й передаточное число от колеса 1 к колесу 2 (с.
153), и число внешних зацеплений между колесами 1 и 2, ыв, — угловая скорость водила. В примере 2 во внешнем зацеплении находятся колеса 1 и 2: (ам — ыо,)Х(ьзт, — юо,) = -Н (гы и во внутреннем — колесо 1 с неподвижным (ьз„„~ = 0) цилиндром: (а м — ьз„,)/(ы„„— ьх,) = (ОА+ В )/Л,. Отсюда следуют соотношения (9). УСЛОВИЯ 3А1[АЧ.
Получить уравнения движения в форме Гамильтона для консервативной механической системы с одной степенью свободы. В качестве обобщенной координаты взять угол р (задачи 1 — 6, 8 — 9) или смещение х (задача 7). Качение цилиндров происходит без проскальзывания, трением ползупов и муфт пренебречь. 13.б. Уравнения, Гамильтона Однородный цилиндр массой т катится без сопротивления по горизонтальной поверхности. К цилиндру жестко прикреплен невесомый Стержень длиной а,к которому приложена вертикальная сила Р. Радиус цилиндра й. Горизонтально движущийся ползун А массой т соединен с вертикально движущимся ползуном В.
Массами стержня АВ и ползуна В пренебречь; АВ = а. На ползун В дейетвует вертикальная сила Г'. К невесомому стержню АВ, скользящему без сопротивления по ребру опоры, прило- жен момент М. Стержень шарнирно соединен с вертикально движущимся ползуном массой т. В шарнире А механизма, состоящего из двух невесомых стержней одинаковой длины ОА = АВ =- а и горизонтально движущегося ползуна В, сосредоточена масса пь К ползуну приложена горизонтальная сила Г. Невесомый кривошип ОА = оь к которому приложен момент М, приводит в движение вертикально движущийся поршень массой т. Колесико А, массой и размерами которого пренебречь,катается без сопротивления по нижней поверхности пор|пня. Шарнирный параллелограмм ОАА'О', состоящий из невесомых стержней, приводится в движение моментом М.
Общая масса муфты В и горизонтально движущегося штока равна т; ОА =- О'А' .= а. Гл. 13. Ана итическая механика 334 Груз массой тг приводится в движение клином массой тг, скользящим без тре- ния по неподвижнОй вертикальной повЕрх- ности и по ребру груза.
Дан угол сс Однородный цилиндр радиуса В, массой которого можно пренебречь, свободно катается по горизонтальной плоскости. На ободе цилиндра помещена точка массой т. Два одинаковых цилиндра, массой т каждый, соединены невесомым стЕржнем длиной а.
Цилиндр А катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости, цилиндр  — по вертикальной. На ось цилиндра А действует горизонтальная сила Г. Невесомый стержень АВ = а вращается вокруг неподвижного шарнира А под действием вертикальной силы г", приложенной к ого концу В, сообщая горизонтальное движение параллелепипеду массой т высотой Ь. Стержень скользит по ребру параллелепипеда без трения. Я 4) пг~,В р) г — Еи ып сг, 2р(~3тйг) 1.
В= р = — г'а совр. (1/2) т(а~р впг ~р) — г а вщ р, рдагтяп р), совр(р /(та яп р) — г'а). Ответы. Функция Лагранжа В и уравнения Гамильтона 13.3. Уравнения Гамильтона 335 4. Х = (1е2)т(ага)г — тдав1п~р — 2расову, р = рДа~т), — а(иед соя ео — 2Г яш ьь). (1ее2) т(ага соя ьг) г — тда вш иь + М~р, рдагт сова ьо), — рг в1п р/ етаг сова ьг) — тда сов р + ЛХ.
(1/2)т(аф в1п р)г -(- ЛХьг, р/(агтв1п р), р соя р,е(тая я4п о) + ЛХ. (1/2)х~(те + тг с1а о) + тгдт сгаее, рот + т с$ц а), Х = т, дсФаее. т(Яйг) (1+ в1п~р) — Втдвшьо, рД2Гь~т(1+ в1пво)), рг сов р е(4тДг(1+ яшар)г) — тджх соя р. (3 ~ 4) таг уР— атд вш ео — Га сов ьг, 2рДЗтаг ), р = — а(тд сов ьг — Е вш р). е1)2) еЛ ев,пг )г в ео = рвш уДт6~), р = — р яшг ~рв1п2у/(тЬе) — Расояер. Х = Я2)т(аф( сонг ~р)г — атидва ~р+ М~р, йь = р соя~ ~рдтаг), р = рг в1п 2иг сояг р/алтая) + М вЂ” тда( сояг,р.
Глава 14 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ В разделе МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ вы научитесь определять частоты малых собственных колебаний механической системы с двумя степенями свободы. Другие темы этого раздела, количество которых так велико, что они могут составить содержание отдельной книги, остались за пределами РЕП1ЕБНИКА. Задачи о вынужденных колебаниях, колебаниях при наличии сопротивления и многие другие содержатся, например, в (18), (20). 14.1.
Система с двумя степенями свободы ПОСтаНОВКа ЗддяЧИ. Механическая систелса с двумя степенями свободы состоипь иэ твердых тел, соединенных линейно упругими пружинами. Определить частотны собственных колебаний системы. ПЛАН НЕШЕНИН Задачу решаем с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода.
1. Выбираем две обобщенные координаты х, х . 2. Вычисляем кинетическую энергию и обобщенные силы. Составляем два уравнения Лагранжа 2-го рода. 3. Записываем полученную систему в стандартной форме уравнений колебаний системы с двумя степенями свободы: а, х, + а1гхэ + с11х, + с1гхг — — О, аа1х, .1 аггхэ + с1эх1 + сэгхг —— О, где аноь, 1 = 1,2, --- инерционные коэффициенты, с,,ь,у = 1,2,-- обобшенные коэффициенты жесткости или кваэиупругие коэффициенты.
Решение системы (1) будем искать в форме х = А вш(ах+ Д ), х = Аэв1п(ьэ1+ ®, где А1,А,Д„неизвестные постоянные; — круговая частота колебаний. Система (1) после сокращения на 14.1, Система с двумя степенями свободы 337 я1п(оЛ+ Дв) примет вид (с1 — амшз)А + (с — а а~з)А, = О, (с12 — а12ш~)А1 + (с22 — аззагз)А2 — — О. (2) (с„— амсс )(с22 — аззш ) — (с,з — а,зш ) = О.
(3) 5. Решая (3), находим частоты колебаний системы. Примир. Механическая система с двумя степенями свободы состоит из двух однородных цилиндров и двух линейно упругих пружин. Цилиндр А массой тя — — 50 кг может кататься без проскальзывания и трения качения по горизонтальной поверхности. Его ось соединена с неподвижной стенкой горизонтальной пружиной 1. Ободы цилиндров связаны нитью и .оеме — - .
2 В пружиной 2. Цилиндр В мас- 1 сой щв — — 20 кг вращается вокруг неподвижной оси. ЖестА кость пружин, работающих и на сжатие и на растяжение, одинакова: с = 90 Н/и. Массой пружин пренебречь. Найти частоты собственных колебаний системы. Рншииин *) Задачу решим двумя способами. Различие между ними в выборе обобщенных координат и форме вьгуисления обобщенных сил в уравнении Лагранжа.
1 чй способ 1. В качестве обобщенных координат выбираем удлинения пружин (рис. 174). Связи предполагаем идеальными и их реакции на рисунке не показываем. 2. Кинетическую энергию системы, состоящую из суммы кинетических энергий двух тел: Т = Тл + Тв, выражаем через обобщенные скорости й и й . Кинетическая энергия однородного цилиндра А, О Решение задачи в системе Мар1е см. 3 17.3, с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
