Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике (1079968), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В условии не дана масса т, через которую выражены остальные массы. Какое значение т брать при решении? Масса т сократится в процессе решения и в ответ не войдет. 13.5. Уравнение Лагранжа. Нелинейные уравнения движения ПОСТАНОВКА ЗАЛАЧИ. Механическая система с одной спьепенью свободы харакпьеризуетпся, нелинейными кинсматическими соопьношениями.
Составитаь уравнение движения систасмы. ПЛАН РНН1ВНИЯ 1. Выбираем обобщенную координату. В качестве обобщенной координаты д можно брать угол поворота одного из тел системы или декартову координату какой-либо точки, однозначно описывающую положение системы. Часто обобщенная координата задана в условии задачи. 2.
Составляем кинематическис графы системы. Выражаем через обобщенную скорость о угловыс скорости тел и скорости точек приложения активных сил (3 8.5, с. 188). 3. Вычисляем кинетическую энергию системы (2 12.2, с. 241). 4. Находим обобщенную силу, вычисляя виртуальные мощности 20" Гл, 13. Аналитическая механика 308 активных сил; / Хг Юг о= —, ~~ 'г, -,.+~'м,.-, г.=1 г=1 5. Находим частные производные дТ/дд и дТ/до и записываем уравнение Лагранжа 2-го рода '): Пгимкг 1. Рассмотрим механическую систему, приведенную в примере 3 12.2. Составим для нее уравнение движения (рис.
126, с. 242). еевсг = — рг ис. = — 2а4еш р и,, = — (3/2)агрвшгр, и „= (1/2)аргсовгр. (2) 3. Вычисляем кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий цилиндров и стержня (с. 244): Т=Т, КТ +Т = — (А+Войн гр), 2 где А и В константы: А = т В~/2 + т а~/3, В = 2а~(3тз 0 тз). 4. Находим обобщенную силу, вычисляя виртуальные мощности активных сил: ( 1 ил ~2 ис+~э иО+Л~ ыА+~ ис)' р 0 Если кинетическую энергию можно представить в виде Т = 0.54~/(0), где /(д) — известная функция обобщенной координаты, то уравнение Лагранжа 2-го рода имеет вид д/(4) + 0.54 / (4) = Я, где / (д) =- гх//гиф Ркшкиик Вычисление скоростей и кинетической энергии, т.е. выполнение первых трех пунктов плана, подробнее рассмотрены на с.
243. 1. Выбираем обобщенную координату р — угол поворота цилиндра 1, соединенного со стержнем АВ. 2. Составляем кинематические графы системы (рис. 127, с. 243) и получаем выражения для скоростей и угловых скоростей: 13.5. Уравнение Лагранжа. Нелинейные уравнения движения 309 Горизонтальная плоскость,по которой катится цилиндр, и шарнир, на котором закреплен цилиндр 1, являются идеальными связями. Виртуальные мощности этих реакций равны нулю, и в выражение для Я эти силы не входят.
Аналогично, не входит в обобщенную силу и сила трения, приложенная при отсутствии проскальзывания к неподвижной точке 1точке касания поверхности) цилиндра 2. Учитывая выражения для векторов сил, Се = (О., — т,д, 0),1 = 1...3, Г = (г', О, О), момента М = (О, О, ЛХ), выражение йл — — (О, О, уУ) и соотношения 12), получаем в результате обобщенную силу: Я = ЛХ вЂ” 0.5т. ар сов р — 2аГв1п ув. 5.
Находим частные производные дт дт Фз — = ~р(А -~ Вяп~ ув), — = — Вяп2ув, др ду 2 и полную производную повремени — ~ — ( = ДА-~- Вяп уг) + ф Вял 2р. Х дТ~ Н 1,д4,) Записываем уравнение Лагранжа 2-го рода: р(А+ Вв1п р) + 0.5рзВяп2р = М вЂ” 0.5т аусояув — 2аРяп~р. Пгимкг 2. Механическая система с одной степенью свободы обладает нелинейными кинематическими соотношениями (рис. 161).
Кривошипно-кулисный механизм состоит из маховика 1, кулисы 2, двигателя со шкивом 3, катка 4 и штока 5. К шкиву 3 приложен момент двигателя М, = ЛՄ— Лыз,. Каток своим внешним ободом катится без проскальзывания н без трения качения по горизонтальной поверхности. Внутренним ободом каток также без проскальзывания приводит в движение шток, к которому приложена полезная нагрузка, моделируемая силой Г = — уеиз,.
Трением пальца А в прорези кулисы 2 пренебрегаем. Шкив 3 считаем однородным цилиндром, момент инерции маховика 1 вместе с пальцем А, закрепленным на нем, равен,Х = 2.5 кгма. Даны массы; тл — — 1 кг, т = 15 кг, тз — — 10 кг, т = 16 кг, массу штока 5 считать равной нулю. Даны радиусы: В = 0.4 м, О А = г, = 0.1 м, В, = 0.3 м, Гл, 13. Аналитическим механика 310 гя = 0.2 м, Л = 0.41 м; радиус инерции 4 = 0.32 м. Пусковой момент и, = --30 Нм; крутизна статической характеристики двигателя й = 0.2 Нмс; коэффициент сопротивления 44 = 950 Нс/м.
Составить уравнение движения системы * м„ Ю Рис. 161 Ришиниг. 1. Выбираем обобщенную координату сг — угол поворота шкива 1, отсчитываемый от горизонтальной оси х (направленной, как всегда, направо) против часовой стрелки. 2. Составляем кинематические графы системы: О 4Л; Π— 4В; Р— 40з', ' наг ' наг Точка Л является точкой касания внешнего обода блока 4 неподвижной поверхности, проскальзывание отсутствует, поэтому и = О.
Шток 5 касается внутреннего обода блока 4 в точке Лс, скорость штока и, = и,. Получаем выражения для проекций скоростей; и,4, = — г44г Б1п ивх = -Н4Ф: ил„= г44есовгг, Рх ~З Зх~ инх иах СЛ4 4 4)Ы4М (3) Нить ВР нерастяжимая, отсюда следует кинематическая связьи ив —— ив,. Вместе с 13) это дает ыз, — — — (Л /гхз)ф, т.е. тела 3 и 1 вращаются в разные стороны. Так как шток 2 кулисы является жестким, то и = и,.
Отсюда находим угловую скорость блока 4 ю, = (г (Н )угяп~р и скорость штока и = — (144 — г4)г,~й угяп44. 3. Вычисляем кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий четырех тел. Маховик 1 с моментом инерции 1 и М За основу задачи взято задание Д-5 из сборника ~15). 13.5. Уравнение Лагранжа. Нелинейные уравнения движения 311 шкив 3 с моментом инерции тзЛзз/2 вращаются, каток 4 совершает плоское движение,а кулиса 2 поступательное: Т Т + Т 4. Т + Т 444 ~ з("~ РЯ Ф) + з з (Ф 4! з) + 2 2 2 2 т4(т,4аяпр)з т444(т,)Л4ряпза) Для удобства вычислений представим кинетическую энергию в виде Т = — (А+ Вяп р), 'т 2 (4) где А =,Е, + тзЕф2, В = т т~~+ т (4 т/Л )з+ т т4.
4. Вычисляем обобщенную силу: 1 ° ( А А4 Н 5+ Д 3)' 'р Учитывая выражения для векторов получаем в результате обобщенную силу, которую представляем в виде суммы 4Х = 54н+Ят+ 544, где сдн — — — р(та(Л4 — тл)ЕЛ4 вш уз) р, Ят = -™Аут4 сов Ф, Яд = -(3Хо+1'РЛт|Лз)Л4 4Лз 5. Находим частные производные дТ , дТ вЂ” = 0.5|р~Вяп2|р, —, = 4е(А+ Вяпз р), ду4 ' ' деа и полную производную повремени Ы lдТ'~ — [ — ) = р(А+ В взпз 5а) + фзВвзп 2р, 34 з,д)( Записываем уравнение Лагранжа 2-го рода: уа(А+ В яп р) + 0.5 р~В вш 2уа = Я, -~- Я + Я . (5) Полученное нелинейное дифференциальное уравнение движения системы может быть проинтегрировано численно (3 17.2).
СА — — (О, — тяд, 0), Л'„=( — р „, О, О), ЛХ = (О, О, ЛХо — йо~з,), и 4 — — ( — 44рв4пза, 4 грсов'р, 0), из = ( — (Л. — тл)т,/Л 5аяпо4, О, 0), 3,=(О, О, — (Л,ГЛ,)р), Гл, 13. Аналитическим механика 312 Пгимкг 3. Механическая система с одной степенью свободы обладает нелинейными кинематическими соотношениями (рис.
162). р Рис. 162 Система состоит из двух однородных дисков 1, 2 одинакового радиуса Л, невесомого стержня АВ длиной а и поршня 3., перемещающегося в горизонтальных направляющих. Стержень АВ жестко скреплен с диском 1. Диск 1 катается по горизонтальной поверхности, а диск 2 -- по вертикальной поверхности поршня.
Качение происходит без проскальзывания и без трения качения. Массы дисков т, и тз, масса поршня тз. К середине стержня приложена сила Г, направленная перпендикулярно АВ. На поршень действует горизонтальная сила Р, а на диск 2 пара с моментом М. Составить уравнение движения системы. Ркпбвник 1. Выбираем обобщенную координату 1е — угол поворота стержня АВ, отсчитываемый от горизонтальной оси х (рис.
163). Рис. 163 2. Составляем кинематические графы системы. В качестве на- 13.5. Уравнение Лагранжа. Иелинейные уравнения движения 313 чальных и конечных вертпин графов берем те точки, скорости кото- рых необходимо вычислить (А, В, Р) или те, в которых по условию задачи задана какая-либо кинематическая связь (Л, С): ХС вЂ «А; А †«В;  †-«С; А — л«Р (6) в Записываем уравнения для проекций скоростей, соответствующие графам (6): у „, = у в — Л~рз!пя/2, (7) Точка Ху является точкой касания обода диска 1 неподвижной поверх- ности, проскальзывание отсутствует, поэтому (8) ук,=О, у-у=О.
Поршень 3 и диск находятся в зацеплении в точке С. Поршень дви- жется поступательно и вертикальные компоненты всех его точек, включая и точку С, равны нулю: (9) 'уп = О. 'у С учетом соотношений (8,9) из системы уравнений (7) получаем вы- ражения для скоростей и угловых скоростей; улу (10) 3. Вычисляем кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий трех тел: Т = Т, + Тз + Тз. Однородный диск 1 катится без проскальзывания по неподвижной поверхности и совершает плоское движение (с.
242), поэтому з-,ул 3. Л'уш 1 4 4 ув. = ул а~рз!ар, ус,, — — ув — Ла«з, япО, оп — — ул — 0.5а р яп р, улв ЛФ~ ив, — — — ф(Л+ аз!пр), уо — — --ДЛ л- 0.5ав!пу), ы, = — Да,«Л) сов.р, ул, = уку + Лу«сов я/2, ув — — у +арсовр, у у = ув + Леуз.сояО, у у у „= ул„+ 0.5ау«совр. ув —— у«асов р, у уоу — — 0.5р а сов ~р, у, = — ДЛ + а в!и 3«). 314 Гл, 13. Аналитинеенал л»еханина Диск 2 также совершает плоское движение, г д Т = + г и г г» 2 2 Момент инерции диска эг = т»е»/2.
С учетом (10) получаем Т— тгф (Л + а + 2ВавшВг) тгф а сов в» 2 + Кинетическая энергия поступательного движения поршня 3 тзис твом (В+ а вш р) Тз 2 2 Кинетическую энергию всего механизма для удобства вычислений представляем в виде »г Т = — (А+ Вв1пвг+ Св1п вг), 2 где для констант введены обозначения: А = (1.5т + т + тз)Вг+ +1.5т а, В = 2 Ва (т + тз), С = а (т — т„/2). 4. Вычисляем обобщенную силу; ° (Сг иА+Сг ив+Сз ис+Р ив+~ ис+М ыг)' Ф Учитывая следующие выражения для векторов, С~ — — (О, — тгд, О), Сг — — (О, — тгд, 0»1,Сз — — (О, — тзд, О), Р=(Еяшр, — Есовр, 0), Е»=( — Р, О, 01, ЛХ=(0, О, М), и соотношения (10), получаем в результате обобщенную силу: »я = — т д а соя р — Р (0.5а+ Ля1п~р) + Р (В+ ав1п~р) — ЛХ (а,1В) сов ~р. 5.
Находим частные производные, — = 0.5 вг (В соя р + С вш 2вг), ОТ ар ОТ г — = р(А+ Вяш:р+ Сяш р), ар Гл, 13. Анолитинеенол хлеханина 316 Из треугольника АВС (рис. 166) имеем АС = Л13р. Записываем уравнения для проекций скоростей, соответствующие графам (1Ц: Р, = Р, — Л Р13Ровш~Р— Лоогх вш(~Р+ х/2), рв„— — ЗАр + Л Р13 р сов р + ЛШ1 сов1р + х/2), рв, — — рА, — 0 5а ряпр, р, „= рлр+ 0 5а рсов1о, Ркх РАх а Р е7п Р' Рк РАр + а Р сов 9~' (12) Шарнир А неподвижен: рл — — р 1 — — 0; точка В движется только по Ах Ар вертикали: рв, — — О. С учетом этих соотношений из системы уравнений (12) получаем выражения для линейных и угловых скоростей; ял.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
