Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике (1079968), страница 42
Текст из файла (страница 42)
373 22 М.Н.Кирсанов 4. Условием существования нетривиального решения системы (2) для А, и А является равенство определителя системы нулю. Отсюда получаем уравнение частот: Гл, 14. Малые колебания систаяы катящегося без проскальзывания по неподвижной плоскости, вычис- ляется по формуле (4) на с. 242: (4) А (Р, ) Ахг Кинетическая энергия вращения цилиндра В вокруг неподвижной оси имеет вид Тв = 7в"~в!2 "де,ув = 'у'вВзвl2.
З' Рис. 175 Рис. 174 Левый конец пружины 2 движется со скоростью 2х (рис. 175), скорость удлинения пружины х . Скорость правого конца пружины равна скорости точки обода цилиндра В и равна сумме 2х + х, отсюда ыв — — (2х + х ) (Вв — угловая скорость вращения цилиндра В. Таким обРазом полУчаем Тв — — тв(2х + х )з/4.
КинетическаЯ энергия всей системы Т = (3/4)тлхг + (1!4)тв(юг + хз) . Для того, чтобы вычисгтнть обобщенную силу 1ггм даем возможное перемещение (удлинение) бхч пружине 1, фиксируя удлинение пружины 2, или заменяя пружину 2 нерастяжимой нитью (рис. 176). бхг В В (=) Рис. 177 Рис. 176 Воспользуемся формулой Я = бА ггбхм где БА = — Е' „Р бхг Так как Е „= сх, то Я = — сх . Аналогично, фиксируя удлинение унРг пружины 1, растягиваем пружину 2 на бхэ (рис.
177) и вычисляем 5А = — Г бх . Отсюда Я, = — сх . 14.1. Система с двумя степенями свободы 339 Записываем систему уравнений Лагранжа 2-го рода; е1 дТ дТ Вычисляем производные, входящие в уравнения Лагранжа: (2тв + 1.5тл)х, + твхз = — сх„ тих~ + О.бгавхз = — схз. (5) 3. Записываем (5) в стандартной форме уравнений колебаний системы с двумя степенями свободы (1). Инерционные коэффициенты для данного примера имеют вид а„= 2тп + '~.5тл, аге = аю = тв, азз = 0.5тп. Коэффициенты жесткости системы с, = с з — — с, с = сю — — О. Коэффициенты жесткости и инерционные коэффициенты образуют симметричные матрицы. Предполагая, что каждая обобщенная координата меняется по закону гармонических колебаний, решение системы (1) ищем в форме х, = А,в1п(ы1+ до), хо = А,еш(ы1+ До), где А4,Аюы„д — неизвестные постоянные.
Система (5) после со- кращения па в1п(~Л ~ до) принимает внд (~ — (2т + 1.5т„) ~~)А, — т ывА = О, — тво~оА, + (с — 0.5тв~ в)А = О. (6) Из условия существования нетривиального решения этой системы длл А~ и Аз получаем уравнение частот: 3 Зтл + 5тв — т т ы — — — — — — -ас +с =О. 4 А В (7) 22* дТ = 1.5тлх + та(2х, + х ), дхе дТ = 0.5тв(2х~ + хз), дх, Уравнения Лагранжа принимают вид дТ дхе дТ дх, Гл. 14. Малые колебания системы 340 Подставляем числовые данные задачи, решаем биквадратное уравнение (7) и находим две частоты собственных колебаний системы: ы = 0.871 рад/с, хз — — 3.774 рад/с. 2-й способ 1.
В качестве первой обобщенной координаты выбираем смещение х цилиндра А, а в качестве другой — угол поворота 1а цилиндра В (рис. 178). Таким образом, о = х, д = ~р. 2. Кинетическую энергию системы, состоящую из суммы кинетических энергий двух тел, Т = Т + Тв, выражаем через обобщенные скорости х и ее. Кинетическая энергия цилиндра А вычисляется так же, как и в 1-м способе по формуле (4); Тл — — Зеп ~х~/4. Кинетическая энергия вращения цилиндра В Тв = 7в Р'/2 = шва'йв(4 КинетическаЯ энеРгиЯ всей системы Т = (3/4)тлх~ + гпвРзй~в/4. Для того, чтобы вычислить обобщенные силы находим потенциальную энергию системы.
Силы тяжести работу не совершают, поэтому вся потенциальная энергия содержится в пружинах. Удлинение первой пружины равно х. Левый конец пружины 2 смещается на 2х, правый — на йвеа в ту же сторону (рис. 179). В А Рис. 179 Рис. 178 Удлинение второй пружины равно по модулю ;'2х — й ее;'. Потенциальная энергия пружин, не имеющих предварительного напряжения, имеет вид П = -х + -(2х — й ~е) с з с 3 2 2 Обобщенные силы вычисляем по формулам дП дП вЂ” = — с(бх — 2йвф, Оз = — = — сйв (йв~е — 2х).
дх ' дф 14.1. Система с двумя стененями свободв1 341 Вычисляем производные, входящие в уравнения Лагранжа: 1.5тях = — с(5х — 2йвр), 0.5 твйзв р' = — сйв(йвр — 2х). (8) 3. Записываем (8) в стандартной форме уравнений колебаний системы с двумя степенями свободы (1). Инерционные коэффициенты д,тя данного примера имеют вид 3 ам = 1.5 тя, аьз = аю = О, аэз = 0.5 твйв. Коэффициенты жесткости имеют вид с, = 5с, сы — — сз — — — 2сйв, с = ей~~. Решение системы (1) ищем в форме гармонических колебаний; х = А1яп(ы1+ )3е), со = Аз в1п(ы1 + де), где Аы А, х, де неизвестныс постоянные. Система (8) после сокращения на общий множитель в1п(оЛ +,д„) принимает вид (5с — 1.5т хз)А — 2сйпА = О, — 2сА, + йв(с — 0.5тво'~)Аэ = О.
(9) Для неизвестных амплитуд колебаний А и А, система (9) является однородной. Из условия существования нетривиального решения приравниваем нулю определитель системы и получаем уравнение частот, в точности совпадающее с (7). Таким образом, с другим набором обобщенных координат мы находим те же частоты: ы'- = (75 3: 3~'505)/10, или со = 0.871 рад/с, ол = 3.774 рад/с. Злмнчлнин. Решение задачи равносильно отысканию собственных значений матрицы А зС, где А и С матрицы инерционных и квазиупругих коэффициентов.
Действительно, представим (1) в виде Ах -~- Сх = О, где х = (х„х ). Умножим это уравнение на обратную матрицу А '. Получаем, что ха+ А 'Сх = О. Решение ищем в форме гармонических колебаний, записываем систему однородных линейных уравнений для амплитуд колебаний, определитель которой дТ вЂ” =15т х, дх дТ вЂ” = 0.5твйвф, дф Уравнения Лагранжа принимают вид — =О, дТ дх — = О.
дТ ду Гл, 14. Малые колебанил системы 342 имеет вид де11 — ьззЕ+ А 'С), где Š— единичная матрица. Таким образом, квадраты частот равны собственным значениям матрицы А ьС (Решебник ВМ, 52.10.). УСдОНИН Задан. Механическая система с двумя сгпепен ми свободы состоит из двух однородных цилиндров и нескольких линейно упругих пружин с одинаковой жесгпкостью с. Цилиндры катаются без проскальзывания и сопрогпивления по горизонтальной поверхности, пружины в положении раоновесия нс имеют предварительного напряжения.
Массой пружин, пренебречь. Определить частоты собственных колебаний системы. 1. тл=укг,тв=бкг, с = 1 Н,~м. 2. тл=7кг,тв=4кг, с=ЗН/и. 3. тл=-5кг,тв=бкг, с =. 5 Н/м. 4. тл=Зкг,тв=бкг, с= 7 Н1м. 6. тл=10кг,тв=Зкг, с= 6 Н/ьь 5. тл=1кг,тв=4кг, с = 9 Н/м. 7. тл=8кг,тв=Зкг, с=ЗН/м. 8. тл=бкг,тв=5кг, с = 10 Н,~м. 14.2. Колебания узла фермы 9. тл=4кг,тв=1кг, с = 12 Н/и. 10. тл=2кг,тв=5кг, с = 14 Н/м. Инерционные коэффициенты системы а, а з приведены в кг, коэффициенты жесткости с ы с12, с — в Н,1м и собственные частоты в рад/с.
В качестве обобщенных координат хы х взяты линейные перемещения осей цилиндров А и В соответственно. При таком выборе обобщенных координат а = а = О. Ответы сп ~ см ~спи ~ ь)1 шз ап азг 12.0 4.5 9.0 7.5 6.0 1.5 3.0 ~ 7.5 14.2. Колебания узла фермы ПООТАИОВКА ЗАДАЧИ. В одном из шарниров плоской фермы находится точка с массой т.
Стержни фермы упругие. Ферма расположена в горизонтальной плоскости. Пренебрегая массой стержней, определить частоты собственных малых колебаний шарнира фермы. ПЛАН 1'КщКИИя. Система имеет две степени свободы. Основные уравнения задачи следуют из уравнения Лагранжа 2-го рода. В качестве обобщенных координат принимаем горизонтальные и вертикальные перемещения узла х и х . Предполагая, что упругие силы линейно зависят от перемещений, записываем уравнение Лагранжа 2-го рода в матричном виде; Ахз+ Сх = О, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13.5 9.0 10.5 6.0 7.5 9.0 4.5 9 0 1.5 6.0 15.0 4.5 8~ — 4 15 ~ — 12 ~ 20 ~ — 20' 14! — 14! 9 ' — 18 ~ 30 ~ — 12) 32 ~ — 16! 50 ~ — 10 ~ 12( — 12 ~ 28 ' — 14 ~ 9 ( 0.617 1. 101 24 , '0.854 2.168 45 ~ 1.065 2.556 63 ~ 1.456 2.827 72 ~ 1.514 3.963 30 ~ 1.257(2.662 40 ~ 1.407(3.094 60 ~ 2.248 2.916 24 0.968 4.131 84 2.678 3.655 344 Пл, 14. Малые колебания системы где А — матрица инерции, С вЂ” матрица жесткости.
Матрица обратная С матрица податливости В = С, коэффициенты которой (ттеремешения от единичных сил) вычисляем по формуле Максвелла— Мора (20): Р т,т тл ~л ьт Ь~ с с н=т (2) т,2=1,2, где 1, — длины стержней, Е и Š— модуль упругости и площадь поттеречного сечения стержней, Ят — безразмерное усилие в стержне с номером д от действия единичной горизонтальной (т = Ц или вертикальной (т = 2) нагрузки на шарнир с массой. Произведение ЕР называют жесткостью, в данной задаче она считается одинаковой для всех стержней фермы. Коэффициенты Ь, . имеют простой физический смысл: Ьт — это переметцение узла в напратщении т под действием единичной силы, действующей в направлении ~. Измеряются Ь, . в м/Н. По теореме взаимности Бетти* Ь, = Ь, Кинетическая энергия точки имеет вид Т = т(х~т + х~~)(2, следовательно, матрица инерции является диагональной: А= ( Умножаем (1) на В и делаем ттодстановку ха = — ат~х, что равносильно замене х = А аш(ат1+ тто), хэ —— Азтйп(тЛ+ тЗа), где А,,А2 — ам- плитуды, ат — частота, Д, — начальнаа фаза колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
