Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике (1079968), страница 40
Текст из файла (страница 40)
в Г Вв =16 ем, гв =8 ем, Во = 28 см, тв = 13 см, Вя = 29 см, Вв =24 ем, тв = 12 см, Во =- 42 см, тв =- 19 см, Вя = 43 см, Вв =48 ем, гв = 32 см, Вс = 24 см, тв = 41 см, Вя .= 25 см, Вв =ббсм, гв =40 ем, Вс =Збсм, тв = 51 см, Вя =- 31 см, Вв = 28 ем, тв =16 см, Вс = 12 см, тв =- 23 см, Вя = 13 см, тл =-6кг, птв = 3кг, тис =- 11 кг, то =1 кг, тия = 2кг, Г = 2 Н. тил =- 9 кг, тв = 6 кг, тс = 14 кг, тив =2кг, тив=Зкг, Г = 15 Н.
тл =-6кг, тв =-Зкг, тс = — 16 кг, тир =- 1 кг, тл =бкг, тв =Зкг, тс =21 кг, то = 1 кг, тпя = б кг, Г = 74 Н. 13.6. Уравнение Пагранжа 2-ео рода двя консервапгивнмх систем плв =6кг, тв = 3 кг, тс = 11 кг, 1пр = 1 кг, тв = 3кг, Е = 15 Н. тА =- 12 кг, тв =бкг, тр = 27 кг, лпр = 2кг, тв=4кг, Р =- 26 Н. тА =-9 кг, тв .= 3 кг, тс = 14 кг, тр =.1 кг, шв = о кг, Е.=- 63 Н.
тА = 12 кг, шв = б кг, шр = 22 кг, лпр = 2 кг, тв = 6кг, Р = 74 Н. аллам~ + а12Х2 = 91, 21 1 + 22 2 в2 21* Вв = — 42 см, гв = 24 см, Вр =- 18 см, лв =34см, Вв =- 19 см, Вв = 32 см, гв = 16 см, Вс = 56 см, лв = 25 см, Вв = 57 см, Вв = 70 слл, лв = 40 см, Вр = 30 см, лв = 57 см, Вв = 31 ем, Вв =- 16 см, гв = 8 см, Вс = 28 см, лв = 14 см, Вв = 29 см, Вв =36 ем, гв = 24 см, Вр=18см, лв .— 32 см, Вв = 19 см, Систему уравнений Лагранжа записываем в виде тА = тв =- шс = тр =- ше = В=2 9 кг, 6 кг, 24 кг, 2 кг, 2 кг, Н. Гл.
13. Аналитическая механика 324 где введены обобщенные координаты; х~ — горизонтальное смещение призмы В, хз смещение груза относительно призмы. В таблице приведены инерционные коэффициенты системы аы, а, а, в кг, обобщенные силы ьгы 1г — в П н ускорение призмы Ие в проекции на ось х — в и/с .
2 Ответы ап аеа 13.7.~Рункция Гамильтона ПостАИОвкА ЗАЛАчи. Найти функцию Гамильтона') механи; ческой системы с двумя степенями свободы по известной функции Лагранжа. ПЛАН РЕШЕНИЯ. Для консервативной механической системы можно ввести функцию Гамильтона Н=~' рй й=ь где е = 2 — число степеней свободы, Г, — функция Лагранжа 13 13.6), в — обобщенные скорости, р = дЬ/дд — обобщенные импульсы.
1 Дифференцируя функцию Лагранжа по в н йз, находим обобщенные импульсы р и р . Получаем два уравнения, связывающие обобщенные импульсы с обобщенными скоростями и обобщенными координатами: р. =р (д,д ), у =1,2 Ю Гамильтон Уильям Рауан (1805 — 1865) ирландский математик. (2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27.00 40.00 38.00 51.00 49.00 47.00 30.00 59.00 42.00 60.00 — 7.73 16. 76 -12.24 5.48 — 37.83 — 24.55 4.
73 — 22. 71 — 10.41 15. 58 13.71 55.04 18.86 16.50 108.67 48.60 13.65 55.19 18.35 20.41 с2ь 2.00 — 15.00 26.00 -63.00 74.00 2.00 — 15.00 26.00 — 63.00 74.00 (,>е 9.81 3.57 1.35 57.23 180.26 40.57 41.16 61.93 13.87 7.99 И'р 0.33 — 0.46 0.89 —.1.67 3.82 0.65 — 1.03 1.04 — 1.53 1.41 13.7. Функция Гамильтона 325 2. Решаем систему уравнений (2) относительно обобщенных скоростей: Ч = Ч.(р, Ч.), у = 1,2. (3) 3. Записываем функцию Гамильтона (1), в которой обобщенные скорости заменяем на выражения (3). ПГИМЕВ, Найти функцию Гамильтона механической системы с двумя степенями свободы по известной функции Лагранжа Ь = Ч1 + Ч, Чг + Чг — Чг соя Ч1 + яш Чг.
2 ° ° ° 2 РЕШЕНИЕ 1. Дифференцируя функцию Лагранжа по Ч и д, находим обобщенные импульсы р: р1 — 2Ч1 + Чг рг = Ч1+ 2дг — СОяд1. (4) 2. Решаем систему (4) относительно обобщенных скоростей: Ч, = (2р, — р — сояд1)/3, 4 = (2р, — р, Ч-2сояд1)/3. (5) 3. Записываем функцию Гамильтона (1), в которой обобщенные скорости заменяем на выражения (5); 1 2 2 Н = — (121 — ргрг + рг + (2рг — р1) СОя Ч1 + Соя д~ ) — я1П дг. 3 ЗАМЕЧЛНИЕ. Для стационарных связей функция Гамильтона равна полной механической энергии Н = Т + П. УСЛОВИЯ ЗядАЧ.
Найти функцию Гамильтона меганицеской систпемы с двумя степенями свободы по известной функции Лаеранжа; Ч1, Чг — обобщенные координатны. 1. А= 3. Г,= 5. 5= 7. Ь= 9. 5= бдг + д',Чг + 2Ч1 + 4дг. 2Ч1 + 2дг + 4дг + 2Ч, Чг. Ч1+ 2дг + 2Ч сояд . Ч1дг + 3Ч2Ч2' Ч1+ Ч2+2дгсояд,. 2. А = 2Ч12+Ч,д +Здг+4Ч Ч . 4. ь = 4Ч1+4дг+Чгдг+4дгдг 6. Г = Чгдг+ 2дгд1 + 2дгдг. 8 Д = 2Ч1 + бдгг + Ч1Ч2 + ЗЧ21 10. ь = 4Ч1 + 4дг + Ч1 Чг + 12дгг.
Гл. 13. Аналитическая механика 326 Ответы брг + Ргрг 2дг '1Ч2. 2 Н=рр 2рг Зд~ 4ддг. 2 2 3 Х = (1(8)ргг + (1/8)рг 4дгг 2Ч Чг. 4. Н = (4рг Ргрг+4рг)/63 — 4д,д,. 5. Н = (рг + р2„~2) /4 — р сов Ч вЂ” сонг Ч . 6. Н = Р,Рг — 2Ргдг — 2Ргдг + 4дгдг. 7. Н = Р1Рг — Зргдг Рг + 6дгР2 — 9дг. 8. Н = (6рг — Р1рг + 2Рг)747 — Зд,. 9. Н = (рг+ р~~)~4 — рг совд + совг Ч . 10. Н = (4Р1 Р1рг + 4рг)763 — 12дг.
13.8. Уравнения Гамильтона ПостАИОнкА ЗАдячи. Получить уравнения двилсегыья в форме Гамильтона для консервативной механической системы с одной степенью свободы. ПЛАН РЕШЕНИЯ Для консервативной механической системы с одной степенью свободы уравнения Гамильтона *) имеют вид дН , дН Ч= Р= др ' дч ' Н -- функция Гамильтона (3 13.7), Ч., Ч вЂ” — обобщенная координага и ее скорость, р, р — обобщенный импульс н его скорость (3 13.7). 1. Выбираем обобщенную координату снс гемы. Определяем кинетическую энергию системы Т, выражал скорости и угловые скорости всех тел системы через обобщенную скорость. 2.
Определяем потенциальную энергию П системы как функцию обобщенной координаты. 3. Записываем функцию Лагранжа 7, = Т вЂ” П. 4. Записываем функцию Гамильтона Н, выражая в Н = рд — Ь обобщенную скорость Ч через обобщенный импульс р (3 13.7). О Канонические уравнения механики. 327 13.8.
Уравнен я Гамильтона 5. Вычисляя частные производные функции Гамильтона по обобщенному импульсу р и обобщенной координате д, записываем уравнения движения (1). Примак 1. Получить уравнения движения в форме Гамильтона для консервативной механической системы с одной степенью свободы. Система состоит из невесомого стержня АВ длиной 2а и однородного цилиндра массой т радиусом Л. Под действием вертикальной силы Г стержень скользит по гладкой горизонтальной плоскости, вращая цилиндр.
Между стержнем и цилиндром проскальзывание отсутствует. Сила Е приложена к центру стержня, весом стержня пренебречь (рис. 169). Рис. 170 Рис. 169 Ркшкник 1. Выбираем утол в в качестве обобщенной координаты системы. Определяем кинетическую энергию системы Т, выражая скорости и угловые скорости всех тел системы через ев. Для того, чтобы выразить угловую скорость ев, цилиндра через ев, составляем кинематический граф (2 8.5, с. 188); Π— й С -о '— е А. нн-я/з тел Здесь ОС = Л, СА = Лс18:р.
В системе координат ху (рис. 170) этому графу соответствуют кинематические уравнения ия, = и,, — Лы, веп(~р+ нее2) — Л~рсск~рв1ц(~р+ я), (2) иА — — ио + Лы сов (~7+ яее2) + Лл с18ф сов(ф + я). Учитывая уравнения связей, ид — — О, ио — — ио — — О., из второго ли — о* — ои— уравнения (2) получаем ы, = -ьвс18 ьв. Гл. 13.
Аналитическая механика 328 ,7аг~ тй~~р~ ссб~ ~р 2. Определяем потенциальную энергию П системы как функцию обобщенной координаты иг. При горизонтальном положении стержня П = О. Вычисляем работу силы Г при перемещении в зто положение: П = Гаяпиг. 3. Записываем функцию Лагранжа: тйг~р~ с13 р 7 = У вЂ” П = -- — ---- — Гавш~р.
4 4. Записываем функцию Гамильтона Н = рд — уа выражая обобщенную скорость д = иг через обобщенный импульс р. Дифференцируем функцию Лагранжа по обобщенной скорости р, вычисляем обобщенный импульс д7 тдг ' с134 р р= д' 2 Отсюда находим обобщенную скорость р = 2рсба рДтГхг). Функция Гамильтона приобретает вид Н = р4 — Ь =, + Га яп р. р 13 гпНг 5. Вычисляя частные производные функции Гамильтона по обобпсенному импульсу р и обобщенной координате иг, записываем уравнения движения (1): дН , дН р= ди' др В результате получаем,что 44г.з„ ,Нг тЛг сове р (4) Интегрирование нелинейной системы дифференциальных уравнений (4) можно выполнить численно. В системс Мар1е У для этого пред- назначен оператор бво1ие (с.
373). Первое уравнение системы (2) в данной задаче не потребовалось. При необходимости из него можно найти скорость и 1 . Кинетическую энергию системы, в которой массой обладает только цилиндр, выражаем через обобщенную скорость: 329 13.8. Уравнен я Гамильтона Злмгьчлиигн Кинематическое соотношение (3) можно получить координатным методом. Из елОАС (рис. 170) найдем координату лл — — то — Л/яшин Дифференцируя тл, с учетом т = сопв1, получаем и, = Лео сов р/ з1п р. Из равенства проекций скоростей точек г А и С на ось АС имеем и сов ео = — оо,Л.
Отсюда следует (3). Примиг 2. Вывести уравнения движения консервативной механической системы с одной степенью свободы в форме Гамильтона. Система представляет собой планетарный механизм, расположенный в вертикальной плоскости (рис. 17Ц. К сателлитам 1 и 2, закрепленным на водиле ОА длиной 6г, приложены моменты ЛХ и ЛХ . Рис. 171 Даны массы тм т, и радиусы Л, = Л = 2г,. Массой водила ОА и трением на осях пренебречь. Сателлит 1, блок с радиусом инерции г = г„катится без проскальзывания по внутренней поверхности неподвижного цилиндра радиусом 8г .
Сателлит 2, однородный цилиндр, находится во внешнем зацеплении с меньшим ободом блока 1. Ргшкниг. 1. Выбираем угол ео в качестве обобщенной координаты системы. Определяем кинетическую энергию системы Т, состоящую из кинетических энергий тел 1 и 2.
Выражаем угловые скорости оо „еоз, сателлитов и скорости их осей через обобщенную скорость ф. Составляем кинематические графы Я 8.5, с. 188): (5) (6) Гл, 13. Аналитическая механика 330 Здесь С вЂ” точка контакта сателлитов, К вЂ” точка контакта сателлита 1и неподвижного цилиндра (рис. 172). В системе координат ху этим графам соответствуют следующие кинематнческие уравнения: ив, —— ио, — ОВ й7Б1п х, и,1 — — ио, — ОА 7ряш 7р, икх 7»Ах ~1 "71» Бн1 у»~ ив„— — и и + ОВ р соя 7р, ОАБ — †и + ОА7РсоЯ;е, ик„= СА„+ 111 и71, Соя:Р. (7) Ах Вх ~2 2» 7Р 1 1» Р> (8) иА = СВ + л»2 а72 СОБ у7 + г1 ш1» СОБ р. Учтем уравнения связей.
Точка касания внешнего обода сателлита 1 и неподвижной цилиндрической поверхности при отсутствии проскяльзывания является мгновенным центром скоростей, и ее скорость Рис. 172 и»1» 37р' "72» 377'~ и проекции скоростей: ил„— — В, а71„яш 77 = — бг1у» яш 77А = — »21 а71 сОЯ Р = бг1У7 соя Р, Аи 1 1» 1 (10) ив, — — — ОВ7ряп 7р = — 3г17р яп р, ив„—— ОВ 7р соя и7 = 3г17р соя се. Оба сателлита совершают плоское движение. Кинетическую энергию системы выражаем через обобщенную скорость чЗ 2 2,2 2 А '"1» '711 СА и 2 и»2 ™2 СВ Т = Т + Т = ----а + — —,— + — — + — — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
