Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 44
Текст из файла (страница 44)
д. с. б источника, его внутреннее сопротивление В и индуктивнссти сверхпроводящих катуглек А, и Х . Найти установившиеся токи в катушках после замыкания ключа К. Решение. Воспользуемся правилами Кирхгофа для контуров бХ,, и ВХ,;. 61, бХ, Хт ' бг' бг Из сравнения этих выражений видно, что 1,, 61, = Хз дХп а для установившихся токов Кроме того. 1, +1; =1 =6/Л. (2) Элезтромагнатаая индуацня Из уравнений (1) и (2) найдем: 9.9. Вычисление индуктивности. Коаксиальный кабель состоит из внутреннего сплошного проводника радиусом а и наружной проводящей тонкостенной трубки радиусом Ь. Найти индуктивность единицы длины кабеля, считая распределение тока по сечению внутреннего проводника равномерным.
Магнитная проницаемость всюду равна единице. Решение. В данном случае внутренний проводник не является тонким, поэтому определять индуктивность надо не через магнитный поток, а энергетически. Согласно (9.33) 1 ГВ Х, = — ~ — 2шбг, 1 Р о где г — расстояние от оси кабеля. Для вычисления этого интеграла надо найти зависимость В(г). С помощью теоремы о циркуляции имеем: Ро1 Ра1 Графический вид этих зависимостей показан на рис 9.24. С учетом (2) интеграл (1) разбивается на две части, и в результате интегрирования мы получим Рс (+1 Заметим, что определение атой величины через магнитный поток по формуле 1 -.Ф /1 приводит к другому — неверному— дд дд результату, а именно вместо 1/4 в круглой скобке получается 1/2.
Чем тоньше центральный провод, т. е. больше отношение Ь/а. тем меньше относительное различие результатов подсчета обоими способами: энергетически и из потока. 9.10. Взаимная индукции. Имеется тороидальная катушка и проходящий по ее оси симметрии длинный прямой провод. Сечение катушки прямоугольное, его размеры указаны на рис. 9.25. Число витков катушки Ж, магнитная проницаемость окружающей среды равна единице.
Найти амплитуду э. д. с., индуцируемой в этой катушке. если по прямому проводу течет переменный ток 1 = 1 соз ва Решение. Искомая э. д. с. Я, - — ЙФ/62, где Ф = 222Ф2, Ф, — маг- нитный поток сквозь поперечное сечение катушки: ь Ф, = ~ В )Я = ~" — 1й йг = (п —, Р Р, )2эл2 2пг 2к а а где В определяется с помощью теоремы о циркуляции вектора В.
Взяв производную Ф, по времени и умножив полученный результат на )22'. найдем следующее выражение для амплитуды э. д. с. индукции: Нэ)аэ1 )У Ь 2п а 9.11. Вычисление взаимной индуктивностн. Два соленоида одинаковой длины и практически одинакового сечения вставлены полностью один в другой. Индуктивность соленоидов Ь2 и Ь2 Пренебрегая краевыми эффектами, найти их взаимную индуктивнОсть (ЛО мОдулю) Решение. По определению взаимная индуктивность где Ф, — полный магнитный поток через все витки соленоида 1, если в соленоиде 2 течет ток 1,. Поток Ф, = 222,В„Я, где 222,— число витков в соленоиде 1, Я вЂ” сечение соленоида, В = )2)2эл ( . Поэтому формулу (1) можно переписать так (после сокращения на Е,)2 )222! )2НОЛ2~ ~2Я Й2ОЛ2Л2) где учтено„что 222, = л2(.
( — длина соленоида и (Я = Р— его Электромагэитвая надукцнз объем. Выражение (2) можно представить через Ь, и Ь, следующим образом: Щ = 1~Рро~~! г ~~ррО 2 Заметим, что это выражение определяет предельное (максимальное) значение ~Ъ, ~. вообще же ф, ~ с ДХ~ . 9.12. Теорема вааимностн. В центре тонкой катушки радиусом а, содержащей )У витков, находится небольшой цилиндрический магнит М (рис.
9.26). Катушка подключена к баллистическому гальванометру Г. Сопротивление цепи В. После того как магнит быстро удалили из катушки, через гальванометр прошел заряд д. Найти магнитный момент магнита. Рж. 9.26 Решение. В процессе удаления магнита полный магнитный поток через катушку изменялся, и в ней возник индукционный ток, определяемый уравнением бФ й( В1 = — — Х.—. Йг б( Умножим обе части этого уравнения на бт и учтем, что 1 бг = бд, тогда В сЬу = — с(Ф вЂ” Ь Ы. Проинтегрировав последнее выражение, получим Вд = -ЛФ вЂ” ЬМ. Теперь примем во внимание, что М = О (ток был равея нулю как в начале, так и в конце процесса), поэтому где Ф вЂ” магнитный поток череа катушку в начале процесса (знак минус мы опустили — он не существен). Итак, задача свелась к определению потока Ф через катушку.
Непосредственно определить эту величину мы не можем. Однако данную трудность можно преодолеть, воспользовавшись теоремой взаимности. Заменим мысленно магнит на небольшой виток с током, создающий в окружающем пространстве то же магнитное поле, что и магнит. Если площадь витка Я и ток в нем 1, то их произведение должно быть равно магнитному моменту р Глава 9 магнита: р - 1Я. По теореме взаимности Ь„1 = 1.и1, и вопрос сводится к нахождению магнитного потока череа площадь Я витка, который создает тот же ток 1„но текущий в катушке. Считая, что в пределах витка поле однородное, получим (2) Остается подставить (2) в (1) и вспомнить, что 1В = р . Тоща д = = р,Кр„/2аВ и р = 2иНд/р,№ Главе 10 Уравнения Максвелла.
Энергия электромагнитного поля ч 5 10.1. Ток смещения К этой идее о необходимости существования по сути нового явления индукции можно прийти путем, например, следую- щих рассуждений. Мы знаем, что согласно теореме о цирку- ляции вектора Н ~На = ~ )аЯ. (10.1) Применим зту теорему к случаю, когда предварительно заряженный плоский конденсатор разряжается через некоторое внешнее сопротивление (рис. 10.1, а).
В качестве контура Г возьмем кривую, охватывающую провод. На контур Г можно натянуть разные поверхности, например Я и Я'. Обе поверхности имеют «равные праваэ, однако через поверхность Я течет ток 1, а через поверхность Я' не течет никакого тока) Получается, что циркуляция вектора Н зависит от того, какую поверхность мы натягиваем на данный контур (7!), чего явно не может быть (в случае постоянных токов этого и не проис- ходило). Открытие Максвелла. Теория электромагнитного поля, начала которой заложил Фарадей, математически была завершена Максвеллом. При этом одной из важнейших новых идей, выдвинутых Максвеллом, была мысль о симметрии во взаимозависимости электрического и магнитного полей.
А именно, поскольку меняющееся во времени магнитное поле (дВ/дт) создает электрическое поле, следует ожидать, что меняющееся во времени электрическое поле (дЕ/дт) создает магнитное поле. Г ее 10 а) б) Рес. 10.1 А нельзя ли как-то изменить правую часть (10.1), чтобы избе- жать этой неприятностя7 Оказывается, можно, и вот как. Первое, что мы замечаем, это то, что поверхность Я «прони- зываете только электрическое поле.
По теореме Гаусса поток вектора Э сквозь замкнутую поверхность ~ВЙБ = д, откуда (10.2) С другой стороны, согласно уравнению непрерывности (5,4) )сз = — —. Ф дс 31 (10,3) Сложив отдельно левые и правые части уравнений (10.2) и (10.3), получим (10.4) Это уравнение аналогично уравнению непрерывности для постоянного тока. Из него видно, что кроме плотности тока проводимости 1 имеется еще одно слагаемое дВ/дй размерность которого равна размерности плотности тока. Максвелл назвал это слагаемое плотностью гаека смещения: (10.5) Сумму же тока проводимости и тока смещения называют пол- ным током. Его плотность 311 Я Ф 1 1 Я / у а )а'а а 1 г Урааиоиия Максяолла. Энергия электромаш нитного ноля 265 Согласно (10.4) линии полного тока являются непрерывными в отличие от линий тока проводимости.
Токи проводимости, если они не замкнуты, замыкаются токами смещения. Сейчас мы убедимся в том, что введение полного тока устраняет трудность, связанную с зависимостью циркуляции вектора Н от выбора поверхности, натягиваемой на контур Г. Оказывается, для этого достаточно в правой части уравнения (10.1) вместо тока проводимости ввести полный ток, т. е. величину (10. 7) В самом деле, правая часть (10.7) представляет собой сумму тока проводимости 1 и тока смещения 1,„: Е,.„„= Е + Е,„. Покажем, что полный ток Е, „будет одинаков и для поверхности Я, и для поверхности Я', натянутых на один и тот же контур Г.
Для этого применим (10.4) к замкнутой поверхности, составленной из поверхностей Я и Я' (рис. 10.1, б). Учитывая, что для замкнутой поверхности нормаль и направлена наружу, запишем 1.,„(Я') + 1.,„(Я) = 0. Теперь, если обернуть нормаль и' для поверхности Я' в ту же сторону„что и для Я, то первое слагаемое в последнем уравнении изменит знак, и мы получим 1, „(Я') = 1. „(Я), что и требовалось доказать. Итак, теорему о циркуляции вектора Н, которая была установлена для постоянных токов, можно обобщить для произвольного случая и записать (10.8) В таком виде теорема о циркуляции вектора Н справедлива всегда, свидетельством чему является согласие этого уравнения с результатами опыта во всех без исключения случаях. Глава 10 Дифференциальная форма уравнения (10.8) ЧхН=)+ —, ЭР д« (10.9) т. е.
ротор вектора Н определяется плотностью тока проводимости ) н тока смещения дР/дг в той же точке. Несколько замечаний о токе смещения. Следует иметь в виду, что ток смещения эквивалентен току проводимости только в отношении способности создавать магнитное поле. Открытие этого явления — наиболее существенный и решающий шаг, сделанный Максвеллом при построении теории электромагнитного поля. Это открытие вполне аналогично открытию электромагнитной индукции, согласно которому переменное-магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
