Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Полученное в последнем примере выражение для давления можно обобщить на случай, когда по разные стороны от поверхности с током (током проводимости или Глзвз 9 272 током намагничивания) магнитное поле разное — В, и В,. В этом случае, оказывается, мазнитное давление в,н, в,н, (9.45) причем дело обстоит твк, кек если бы область с большей плотностью магнитной энергии была бы областью большего давления. Соотношение (9.45) является одним из основных в мази итпогидродинамике, изучающей поведение электропроводящих жидкостей (в электротехнике и астрофизике).
Задачи 3 9.1. Э. д. с. иццукции. Провод, имеющий форму параболы у = лх, нзходится в однородном магнитным поле В, перпендикулярном плоскости ХХ Из вершины параболы перемещвют поступзтельно и без начальной скорости перемычку с постоянным ускорением а (рис. 9.17).
Найти з. д. с. индукции в образовавшемся контуре кзк функцию координаты у. Решение. По определению Ц = — йФ/йк Выбрав нормель и к плоскости контура в направлении вектора В, эзпишем: йФ = В йЯ, где йЯ = 2х йу. Теперь учтем, что х =,/у/л, тогда 6 = -в ' 2 Я~ к йу/йю При движении с постоянным ускорением скорость йу/йг = ~йу, поэтому д, = -ву,)8./й. Из полученной формулы видно, что д ю у. Знак минус покззывз- ет, что Ц. нз рисунке действует против часовой стрелки. 9.2. Контур движетея произвольным обрезом. Замкнутый проводящий контур перемещают произвольным образом (при этом даже деформируя) в постоянном неоднородном мзгнитном поле. Покзззть, что закон электромзгнитной индукции (9Л) будет выполняться и в этом случае. 273 Злеатромагвитвая ивлуатнш Решение.
Рассмотрим элемент контура 41. который в данный момент движется со скоростью т в магнитном поле В. Согласно формулам преобрааования полей (8.4) в системе отсчета, связанной с данным элементом, будет наблюдаться электрическое поле Е - (тВ]. Заметим, что зто выражение можно получить и с помощью силы Лоренца„как было сделано в основном тексте перед формулой (9.4). 0 ОБ= ИгА)) Рис. 9.18 Рас.
9.1т Циркуляция вектора Е по всему контуру по определению есть э. д. с. индукции: 6, = ф[тВ[сИ. Теперь найдем соответствующее приращение магнитного потока сквозь контур. С этой целью обратимся к рис. 9.18. Пусть за время бг наш контур переместился из положения Г, в положение Г,. Если в первом положении магнитный поток череа поверхность Я„натянутую на контур, был равен Ф„то соответствующий магнитный поток во втором положении контура может быть представлен как Ф, + бФ, т. е. как поток через поверхность Б + + ЬЯ.
Здесь ЙФ вЂ” интересующее нас приращение магнитного потока сквозь узкую полоску бБ, ограниченную контурами Г, и Г . С помощью рис. 9.18 запишем ЙФ= ~ ВбБ= ~ В[дг,б1[=фбг>В[о). (2) Здесы 1) направление нормали и согласовано с направлением обхода контура — вектором д1 (правовинтовая система); 2) направление вектора ЙБ — элемента площади полоски — согласовано с выбором нормалей п; 3) использована циклическая перестановка в смешанном произведении: а [Ьс] = Ь [са[ = с [аЬ[ = — [Ьа] с. 274 Глава 9 Разделив выражение (3) на бц найдем 4Ф/йг = — ф(тВ1Й(, (3) где ч = бг/Ю. Остается сравнить (3) с (1), откуда и следует. что 6, = -ЙФ/йй 9.3. Плоская спираль с большим числом г/ витков„ плотно прилегающих друг к другу, находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости спирали (рис.
9.19). Наружный радиус витков спирали равен а. Магнитное поле изменяется во времени по закону В = Вс з1п юд Найти амплитудное значение э. д. с.индукции, наведенной в спирали. Ряс. 9.19 Решение. Ввиду того что каждый виток спирали практически не отличается от окружности, в нем наводится э. д. с. индукции з, = — дФ/п( = — лг В,юсова(, где г — радиус рассматриваемого витка. На интервал значений ра- диуса с)г приходится число витков ог/ = (Ж/а) бг.
Витки соедине- ны последовательно, поатому полная э. д. с. индукции в спирали ) е (г)дХ. Проинтегрировав, получим следующее вырежение для амплитудного значения э. д. с. индукции: Е, = (л/3)аг)уВ со 9.4. Внутри длинного соленоида находится катушка из Х витков с площадью поперечного сечения Я. Катушку поворачивают с постоянной угловой скоростью а вокруг оси, совпадающей с ее диаметром и перпендикулярной оси соленоида. При этом маг- Электромагвктвая ивдуациа 275 нитное поле в соленоиде меняется во времени как В = Вс з1п 1сн Найти э. д. с. индукции в катушке, если в момент 1 = О ось ка- тушки совпадала с осью соленоида. Решение. В момент 1 полный магнитный поток сквозь катушку Ф = ИВЯ созо11 = 11ВэЯз1пшз ' сов с11 = /1 ЖВэЯ э1п 2о11.
Согласно закону электромагнитной индукции Я, = — йФ/йг = — )1 1тВсЯ 2и соз2ОИ = — ЖВсЯюсоэ2юг. йр/сИ = еЕ+ е[тВ,), где Š— вихревое электрическое поле, в проекциях на касатель- ную т и нормаль п к траектории. Для этого запишем импульс электрона как р = рс и найдем его производную по времени: йр йр йт йр о1 — = — т+ р — = — г+1п — и, й( йг йг й( (2) где учтено, что р = шт, л1 — рЕлЯтивиетСКая масса, и йт/йэ = =(и/гэ)п, в чем НетРУдно УбедитьСЯ с помощью Рис. 9.20. Действительно, йт = йф.п (э йт/г ) и, дальнейшее очевидно. Кроме того, согласно закону электромагнитной индукции 2лгзЯ = = ~йФ/йс~, где Ф = яг (В).
Отсюда В = — "' — (В), 2 й( (3) Теперь запишем уравнение (1) с учетом формул (2) и (3) в про- екциях на касательную и нормаль к траектории: е э (В) йр гэ й й1 2 йэ 1 т — =еоВ . с' о (4) 9.5. Бетатронное условие. Показать, что электроны в бетатроне будут двигаться по орбите постоянного радиуса гс при условии, что магнитное поле на орбите Вз равно половине среднего по площади внутри орбиты аначения магнитного поля (В) т.е. Вэ = (В)/2. Решение.
Представим релятивистское уравнение движения алек- трона Глава 9 Последнее уравнение можно переписать после сокращения на о в виде р = егоВо- ПродиФФеренцируем вто уравнение по времени, приняв во вни- мание, что го = сопао: о)Р оьВо — = его ,)( = о )1 (б) Из сравнения выражений (5) и (4) получаем 4 1 й — В, =- — (В). аг о 2 о)( В частности, последнее условие будет выполнено, если В, =(В)12. Практически вто достигается путем изготовления полюсных на- конечников специального вида (в Форме усеченных конусов). 3 г ! н 1о Рве. 9.21 Рис.
9.Ю Решение. Согласно закону Ома в процессе поворота рамки ток 1 в ней определяется по Формуле о)Ф о)1 Ш = — — Ь вЂ”. 6( о( 9.6. Индукционный ток. Квадратная проволочная рамка со стороной а и прямой длинный проводник с постоянным током 1о лежат в одной плоскости (рис. 9.21). Индуктивность рамки 1., се сопротивление В. Рамку повернули на 180' вокруг оси ОО' и остановили. Найти количество электричества, протекшее в рамке.
Расстояние Ь между осью ОО' и прямым проводником предполагается известным. Электромагввтная ивдукцва Поэтому иекомое количество электричества Поскольку рамку после поворота остановили, ток в ней прекратился и, следовательно, б7 = О. Остается выяснить, чему равно приращение потока ЬФ сквозь ремку (ЬФ = Ф вЂ” Ф,). Выберем нормаль и к плоскости рамки, например, так, чтобы в конечном положении и было направлено за плоскость рисунка (в сторону В). Тогда нетрудно видеть, что в конечном положении Ф, > О, а в начальном Ф, < О (нормаль направлена против В), и бФ оказывается равным просто потоку через площадь, ограниченную конечным и начальным положениями рамки: Ь+а ЬФ = Фз+)Ф,~ = ~Вайт, где В являегея функцией г, вид которой можно легко найти с помощью теоремы о циркуляции.
Окончательно получим, опуекая знак минус: роя~а б+" о о)п )т 2пЯ Ь вЂ” а Найденная величина, как видим, от индуктивноети контура не зависит (в елучае если бы контур был сверхпроводящим, дело бы обстояло иначе). 9.7. Перемычка 12 массы ю скользит без трения по двум длинным проводящим рельсам, расположенным на расстоянии 1 друг от друга (рис. 9.22). Система находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура. Левые концы рельсов аамкнуты через еопрогивление В.
В момент с = О перемычке 12 сообщили вправо начальную скорость о . Пренебрегая сопротивлением рельсов и перемычки, а также самоиндукцией контура, найти окороеть перемычки в зависимости от времени Г. Решение. Выберем положительное направление нормали к плоскости контура за рисунок (от нас). Это значит, что положительное направление обхода контура (для э.
д. с. индукции и тока) мы взяли по часовой стрелке — в соответствии с правилом правого винта. Из закона Ома следует: бФ бЯ Я( = — — = —  — = — В(о, (1) бг бг где учтено, что прн движении перемычки вправо дФ ) О. Глава 9 Индукционный ток 1 согласно правилу Ленца вызывает противодействующую движению силу Ампера — она будет направлена влево. Выбрав ось Х вправо, запишем уравнение движения перемычки (2) где справа записана проекция силы Ампера на ось Х (эта величина является отрицательной, но знак минус мы не пишем, ибо, как видно из (1), ток 1 < О).
Исключив 1 из уравнений (1) и (2), получим бо/о = — абг, о = В~(~/тХ(. Интегрирование этого выражения с учетом начальных условий дае'г )п(о/о 1 = — ац о = о е ' Рис. 9.22 Ряс. 9.23 9.8. Роль переходных процессов В схеме (рис. 9.23) известны э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
