Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Урзвяевкя Максвелла. Экергия электроизгвятвого паля Плотность же потока энергии электромагнитного поля — вектор, называемый веятлором Пойнлоинга, — определяется как (10.23) Строго говоря, для обеих величин, ю и Б, из уравнений Максвелла нельзя получить однозначных выражений; приведенные выражения являются простейшими из бесконечного числа возможных. Мы должны поэтому рассматривать эти выражения как постулаты, справедливость которых должна быть подтверждена согласием выводимых из них следствий с опытом. На нескольких примерах мы увидим, что хотя результаты, получаемые с помощью последних двух формул, иногда выглядят странными, обнаружить в них чего-то невероятного, какого-либо расхождения с опытом не удается.
А зто и является свидетельством тому, что оба выражения правильные. Пример 1. Поток энергии в электромагнитной волне (в вакууме). Вычислим энергию й)У, проходящую за время йо через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Если в месте нахождения этой площадки известны значения Е и В, то й)у = п2сйг, где и2 — плотность энергии, ю г Е /2 + р Н /2. Для электромагнитной волны в соответствии с (10.20) еоЕ =)ооН . 2 2 Это значит, что в электромагнитной волне плотность электрической энергии в любой момент равна плотности магнитной энергии в той же точке, и можно записать для плотности энергии: и= гоЕ 2 еоЕ ой~ 22ео/)оо Е й~ Глава 10 Теперь выясним, что мы получим, если воспользуемся вектором Пойнтинга.
Эту же величину б)т можно представить через модуль вектора $ так: Таким образом, оба выражения — для ю и Ь вЂ” приводят к одинаковому результату (последние две формулы). Пример 2. Выделение теплоты в проводнике. Пусть по прямому проводу круглого сечения радиусом а течет ток 1 [рис. 10Л). Поскольку провод обладает сопротивлением, то вдоль него действует некоторое электрическое поле Е. Такое же значение Е будет и у поверхности провода в вакууме. Кроме того, наличие тока порождает и магнитное псле. По теореме о циркуляции вектора Н вблизи поверхности провода 2каН = Г, Н = Н2ла.
Векторы Е и Н расположены так, что вектор Пойнтинга направлен внутрь провода нормально к его боковой поверхности (рис, 10.7). Следовательно, электромагнитная энергия втекает внутрь провода из окружающего пространства! Но согласуется ли это с количеством теплоты, выделяемым в проводникеу Подсчитаем поток электромагнитной энергии сквозь бо- ковуЮ поверхность участка провода длины й ЕН 2пс) = ?лаН Е( = 1 У = НХз, где учтено, что У вЂ” зто разность потенциалов на концах данного участка, Н вЂ” его сопротивление.
'Таким образом, мы приходим к тому, что поток электромагнитной энергии поступает в провод извне и целиком превращается в джоулеву теплоту. Согласимся, что вывод неожиданный. Рие. 10.8 Рис. 10.7 Уравнения Максвелла. Звертив злектромагввтвого поля Заметим, что в источнике тока вектор Е направлен против тока 1, поэтому в области источника вектор Пойнтннга направлен наружу: там электромагнитная энергия выходит в окружающее пространство, т. е. оказывается. что энергия от источника тока передается не вдоль проводов, а через окружающее проводник пространство в виде потока алектромагнитной энергии — потока вектора 8, Пример 3. На рис. 10.8 показан участок двухпроводной линии.
Известны направление тока в проводах и тот факт, что потенциалы проводов ф, к 9 . Можно ли установить, где находится источник тока (генератор), слева или справа2 Ответ можно получить, если воспольаоваться вектором Пойнтинга. В нашем случае между проводами вектор Е направлен вниз, а вектор Н вЂ” аа плоскость рисунка, поэтому вектор 3 - (ЕН) направлен вправо, т. е. источник тока находится слева, потребитель — справа. Пример 4.
Зарядка конденсатора. Возьмем плоский конденсатор с круглыми обкладками радиусом а. Пренебрегая краевыми эффектами (рассеянием поля), найдем поток электромагнитной энергии сквозь боковую »поверхность» конденсатора, ибо только там вектор Пойнтинга Я направлен внутрь конденсатора (рис. 10.9). Рис. 10.9 На атой поверхности имеется меняющееся электрическое поле Е и вызванное его иаменением магнитное поле Н. По теореме о циркуляции вектора Н следует. что 2иаН = хп д)2/дц где справа стоит ток смещения через контур, показанный на рис.
10.9 пунктиром. Отсюда Н = (а/2)д)1/дб Если расстояние между обкладками И. то поток вектора $ сквозь боковую поверхность есть а И) дЮ ЕН2яаИ = К вЂ” — 2хаИ = Š— У, (1) 2 дг дг г где У хо И вЂ” объем конденсатора. Будем считать, что Глаза 10 этот поток идет целиком на увеличение энергии конденсатора. Тогда, умножив (1) на ссц получим приращение энергии конденсатора эа креня с)к сИФ'=Ес)Э ° Ъ'=с) э У =с) — У. Проинтегрировав это уравнение, найдем Формулу для энергии сУ заряженного конденсатора.
Таким образом, и здесь оказывается эсе э сюрядке. 5 10.5. Импульс электромагнитного поля Давление электромагнитной волны. Максвелл теоретически показал, что электромагнитные волны, отражаясь или поглощаясь в телах, на которые они падают, оказывают на них давление.
Это давление возникает в результате воздействия магнитного полн волны на электрические токи, возбуждаемые электрическим тюлем той же волны. Пусть электромагнитная волна распространяется в однородной среде, обладающей поглощением. Наличие поглощения означает, что в среде будет выделяться джоулева теплота с объемной плотностью пЕ, а поэтому о Ф О, т. е.
поглощающая среда обладает проводимостью. Электрическое поле волны в такой среде возбуждает электрический ток с плотностью 1 = оЕ. Вследствие этого на единицу объема среды действует амперова сила Г„ = 1)В1 = о(ЕВ), направленная в сторону распространения волны (рис. 10.10). Эта сила и вызывает давление электромагнитной волны. При отсутствии поглощения проводимость и = 0 и г' = О, т.е. в этом случае электромагнитная волна не оказывает никакого давления на среду. Импульс электромагнитного поля. Поскольку электромагнитная волна оказывает давление на вещество, последнее приобретает определенный импульс. Но в аамкнутой системе, состоящей иэ вещества и электромагнитной волны, возникло бы нарушение закона сохранения импульса, если бы импульсом обладело только вещество. 301 Уравнении Максвелла.
Эиергил алеиероиаглитиого поля Импульс такой системы может сохраняться лишь при условии, что электромагнитное поле (волна) также обладает импульсом: вещество приобретает импульс за счет импульса, передаваемого ему электромагнитным полем. Ро Рис. 10.11 Рис. 10.10 Введем понятие плованости импульса О электромагнитного поля как величину, численно равную импульсу поля в единице объема.
Расчет, который мы не будем здесь приводить, показывает, что плотность импульса (10.24) где Б = [ЕН) — вектор Пойнтинга. Как и вектор 8, плотность импульса О является, вообще говоря, функцией времени и координат. Для электромагнитной волны в вакууме согласно (10.20) ~е Е = =,~р,Н, поэтому плотность энергии и и модуль Я вектора Пойнтинга равны соответственно: ю зс2 /1+ роН /Л = еа2 * 8 2Н Д/Ро2 ОтсюДа слеДУет, что 8 = и/1~зоио . А так кзк ДР~ = 1/с, с— скорость света в вакууме, то Я = и>с, и иэ формулы (10.24) вытекает, что для электромагнитной волны в вакууме (10.25) Такая же связь между энергией и импульсом присуща (как показывается в теории относительности) частицам с нулевой массой покоя.
Зто и естественно„поскольку согласно квантовым представлениям электромагнитная волна эквивалентна потоку фотонов — частиц с нулевой массой покоя. Глава 10 Еще о давлении электромагнитных волн. Вычислим с помощью формулы (10.25) давление электромагнитной волны на тело, когда волна падает нормально на его поверхность и частично отражается в противоположном направлении. Согласно закону сохранения импульса рс = р'р + р, где р, р'с — импульсы падающей и отраженной волн, р — импульс, переданный телу (рис.
10.11). Спроектирован это равенство на направление падающей волны и отнеся все величины к единице времени и к единице площади поперечного сечения, получим р = р, + р,' =(6)с+(6')с, где (О) и (С) — средние значения плотности импульса в падающей и отраженной волнах. Остается учесть связь (10.25) между (С) и (в) и тот факт, что (ю ) = р(в). где р — коэффициекгк отражения, В результате предыдущее выражение примет вид р=( +р)(ю). (10,26) Здесь величина р по своему смыслу есть не что иное, как давление электромагнитной волны на тело.
При полном отражении р = 1 и давление р = 2(и>), при полном поглощении р = 0 и р=(» Остается добавить, что давление электромагнитного излучения обычно бывает очень малым (исключение составляет давление мощных пучков лазерного излучения, особенно после фокусировки пучка, а также давление излучения внутри горячих авезд). Например, давление солнечного излучения на Земле -6 10 составляет несколько единиц на 10 Па, что в 10 раз меньше атмосферного давления. Несмотря на ничтожные значения этих величин, экспериментальное доказательство существования электромагнитных волн — светового давления — было получено П.
Н. Лебедевым. Результаты этих опытов оказались в согласии с электромагнитной теорией света. Задачи 10.1. Ток смещения. Точечный заряд с движется равномерно и прямолинейно с керелативистской скоростью ч. Найти вектор плотвоств тока смещения в точке Р, находящейся иа расстоянии г Уравнения Максвелла. Энергия электромагвитного поля от ааряда на прямой: 1) совпадающей с его траекторией; 2) перпендикулярной его траектории и проходящей черев заряд.
Решение. Плотность тока смещения ),„= дВ/дг. поэтому реше. ние задачи сводится к определению вектора В в укаэанных точках н нахолсдению его производной по времени. В обоих э случаях В = де,/4яг „ где е, — орт вектора г.Найдем проиэводную дВ/да 1. В точке Р, (рис. 10.12, где предполагается, что с > 0) дВ 2д дг от дг 4пг' дг " 4дг' алесь учтено, что для точки Р, производная дг/дг = — е. Если бы точка Р, находилась не перед варядом о (по ходу его двиэкения), а эа ним, то вектор ),„был бы направлен в ту оке сторону н имел бы тот же модуль. Итак, если Ч > О, вектор ) (( т, и наоборот. 2.
В точке Р, (рис. 10.12) ~й)Л/В = э г(г/г, поэтому мсэкно эапнсать: дВ/дт = — Пт/4~г . Если д > О, то 1 (( т, и наоборот. 10.2. Ток, текущий по длинному прямому соленоиду, радиус сечения которого Л, меняют так, что магнитное поле внутри соленоида воарастает со временем по эакону В ()г, где р' — постоянная. Найти плотность тока смещения как функцию расстояния г от оси соленоида. сй1 Рис. 10.13 Рис. 10.12 З04 Глава 10 Решение. Чтобы определить плотность тока смещения, надо согласно (10.0) сначала найти напряженность электрического поля — здесь оно будет вихревым. Воспользовавшись уравнением Максвелла для циркуляции вектора Е, запишем: 2.Е= "дв/дг, Е=Ю. (г<В); 2пгЕ = пг~дВ/ду, Е= В ру/г (г > В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
