Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В этом случае для изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков, материальные уравнения имеют следующий вид (он нам уже знаком): Р = ссеК, В = рреН, ) = а(Е+ Е*), (10.17) где е, р, а — известные нам постоянные, характеризующие электрические и магнитные свойства среды (диэлектрическая и магнитная проницаемости и электропроводимость), Е* — напряженность поля сторонних снл, обусловленная химическими или тепловыми процессами. 5 10.3.
Свойства уравнений Максвелла Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полей Е и В по времени и пространственным координатам и первые степени плотности электрических зарядов р и токов ). Свойство линейности уравнений Максвелла непосредственно связано с принципом суперпозипии: если два каких-нибудь поля удовлетворяют уравнениям Максвелла, то это относится и к сумме этих полей. Глава 10 Я л I \ ~)г 1 \ / л / Рва.
10.3 Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда. Чтобы убедиться в этом, возьмем бесконечно малый контур Г, натянем на него произвольную конечную поверхность Я (рис. 10.3), а затем стянем этот контур в точку, оставляя поверхность Я конечной. В пределе циркуляция $Нб! обращается в нуль, поверхность Я становится замкнутой и первое из уравнений (10.11)перейдет в ф(~ ~~)ак-о. Отсюда следует, что а это и есть не что иное, как уравнение непрерывности (5.4), которое утверждает, что ток, вытекающий нз объема К через замкнутую поверхность Я, равен убыли заряда в единицу времени внутри этого объема К Тот же закон (уравнение непрерывности) можно получить и из дифференциальных уравнений Максвелла. Достаточно взять дивергенцию от обеих частей первого из уравнений (10.14) и воспользоваться вторым из уравнений (10.13), и мы получим У.1= -дР/д1.
Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчета. Они являются релятивистски инвариавтными. Это есть следствие принципа относительности, согласно которому все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны друг другу. Факт инвариантности уравнений Уравнения Максвелла. Энергия электромагнитного поля 203 Максвелла (относительно преобразований Лоренца) подтверждается многочисленными опытными данными. Вид уравнений Максвелла при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не меняется, однако входящие в них величины преобразуются по определенным правилам, Как при этом преобразуются векторы Е и В, мы выяснили в гл.
8. Итак, уравнения Максвелла являются правильными релятиви- стскими уравнениями в отличие, например, от уравнений ме- ханики Ньютона. О симметрии уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено опять же тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных (насколько известно в настоящее время). Вместе с тем в нейтральной однородной непроводящей среде, где р = 0 и 1 = О, уравнения Максвелла приобретают симметричный вид, т. е. Е так связано с дВ/д1, как В с дЕ/дг: УхЕ= — дВ/д1, У ° И=О, У х Н = д)1/д1, Ч ° В = О.
(10.18) Е Н рне. 10.4 О электромагнитных волнах. Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существо- Симметрия уравнений относительно электрического и магнитного полей не распространяется лишь на знак перед производными дВ/дг и д)1/дй Различие в знаках перед этими производными показывает, что линии вихревого электрического поля, индуцированного изменением поля В, образуют с вектором дВ/дг левовинтовую систему, в то время как линии магнитного поля, индуцируемого изменением В, образуют с вектором дВ/дг правовинтовую систему (рис. 10.4). Глава 10 вать самостоятельно — без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Поля такого рода называют элентромагниткыми волками.
В вакууме они всегда распространяются со скоростью, равной скорости света с. Выяснилось также, что ток смещения (дВ/дг) играет в этом явлении первостепенную роль. Именно его присутствие наряду с величиной дВ/д1 и означает возможность появления электромагнитных волн. Всякое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле электрическое, изменение же поля электрического, в свою очередь, возбуждает магнитное поле.
За счет непрерывного взаимопревращения или взаимодействия они и должны сохраняться — электромагнитное возмущение будет распространяться в пространстве. Теория Максвелла не только предсказала возможность существования электромагнитных волн, но и позволила установить все их основные свойства, а именно: любая электромагнитная волна независимо от ее конкретной формы (это может быть гармоническая волна или электромагнитное возмущение произвольной формы) характеризуется следующими общими свойствами: 1) ее скорость распространения в непроводящей нейтральной неферромагнитной среде о = с/ь/ги, где с = 1/,»(г«п»; (10.
19) 2) векторы Е, В и ч (скорость волны) взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему (рис..10.5). Такое правовинтовое соотношение является внутренним свойсп»вом электромагнитной волны, не зависящим ни от какой координатной системы; 3) в электромагнитной волне векторы Е и В всегда колеблются в одинаковых фазах (рис. 10.6, где показана мгновенная «фотография» волны), причем между мгновенными значениями Е и В в любой точке существует определенная связь, а именно Е=оВ, или (10. 20) Ураанения Максвелла, Энергия алентромагнятного полн Рис. 10.6 Рис.
10.5 Это значит, что Е и Н (или В) одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т. д. Понимание того, что из дифференциальных уравнений (10.18) вытекала возможность существования электромагнитных волн, позволило Ыаксвеллу с блестящим успехом развить электромагнитную теорию света. 5 10.4. Энергия и поток энергии. Вектор Пойнтинга Теорема Пойнтинга.
Исходя из представления о локализации энергии в самом поле и руководствуясь принципом сохранения энергии, мы должны заключить, что если в какой-то определенной области энергия уменьшается, то это может происходить только за счет ее «вытеканияг через границы рассматриваемой области (среда предполагается неподвижной). В этом отношении существует формальная аналогия с законом сохранения заряда — уравнением (5.4), Смысл этого закона в том, что убыль заряда в данном объеме за единицу времени равна потоку вектора ) сквозь поверхность, охватывающую этот объем. Так и в случае закона сохранения энергии следует признать, что существует не только плотность энергии го в данной области, но и некоторый вектор 8, характеризующий плотносгпь потока эяераии.
Если говорить только об энергии электромагнитного поля, то его полная энергия в данном объеме будет изменяться как за счет вытекания ее из объема, так и за счет того, что поле передает свою энергию веществу (заряженным частицам), т. е, Глава 10 производит работу над веществом. Макроскопически это утверждение можно записать так: (10.
21) где бА — элемент поверхности. Это уравнение выражает теорему Пойнтяига: убыль энергии за единицу времени в данном объеме равна потоку энергии сквозь поверхность, ограниченную этим объемом, плюс мощность Р, которую силы поля производят над зарядами вещества внутпри данного объема. В уравнении (10.21) )У = ) и> бК ш — плотность энергии поля, Р = ) )ЕЙ); 1 — плотность тока, Š— напряженность электрического поля. Приведенное выражение для Р можно получить так. За время бг поле Е совершит над точечным зарядом д работу 6А = цЕ. и бе, где и — скорость заряда.
Отсюда мощность силы дЕ равна Р = диЕ. Переходя к распределению зарядов, заменим ц на рпг', р — объемная плотность заряда. Тогда ЙР = риЕб)" = )ЕбУ. Остается проинтегрировать ЙР по интересующему нас объему. Следует отметить, что мощность Р в (10.21) может быть как положительной, так и отрицательной. Последнее имеет место в тех случаях, когда положительные заряды в веществе движутся против направления поля Е или отрицательные — в противоположном направлении. Например, так обстоит дело в точках среды, где помимо электрического поля Е действует и поле Е сторонних сил.
В этих точках ) = и (Е + Е ), и если Е )1Е и по модулю Е* > Е, то )Е в выражении для Р оказывается отрицательным. Пойнтинг получил выражения для плотности энергии и и вектора Б, воспользовавшись уравнениями Максвелла (этот вывод мы приводить не будем). Если среда не содержит сегнетоэлектриков и ферромагнетиков (т. е. нет явления гистерезиса), то плотность энергии электромагнитного поля ЕВ ВН И~ = — + —. (10.22) 2 2 Заметим, что отдельные слагаемые этого выражения мы получили ранее (см. (4.10) и (9.32)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
