Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Ф = )««рзл пэ««1„ У = (8. Отсюда = р«рзл«пэ)'. Аналогично находим и 2 ~а = )««Рэп«пэ~ Ввиду того что значения р, и р в последних двух выражениях, вообще говоря, разные (в ферромагнетиках они зависят от токов 1, и 1 ), аначеиия .Г,, и Л, не совпадают. Взаимная индукции.
Наличие магнитной связи между контурами проявляется в том, что при всяком изменении тока в одном из контуров в другом контуре возникает э. д. с. индукции. Это явление и называют взаимной индукцией. Согласно закону электромагнитцой индукции з. д. с., возни- кающие в контурах 1 и 2, равны соответственно: Глава 9 Здесь предполагается, что контуры неподвижны и ферромагне- тиков поблизости нет. С учетом явления самоиндукции ток, например, в контуре 1 при изменении токов в обоих контурах определяется по закону Ома как где б, — сторонняя э. д. с. в контуре 1 (помимо индукционных з. д.
с.), 1,, — индуктивность контура 1. Аналогичное уравнение можно записать и для определения силы тока 1, в контуре 2. Отметим, что на явлении взаимной ицдукции основано действие трансформаторов — устройств, служащих для преобразования токов и напряжений. Замечание о знаке 1, . В отличие от индуктивности 1. которая, как было сказано, является существенно положительной величиной, взаимная индуктивность 1, — величина алгебраическая (в частности, равная нулю). Это связано с тем обстоятельством, что, например в (9.23), величины Ф, и 1, относятся к разным контурам.
Из рис. 9.9 сразу видно, что знак магнитного потока Ф при данном направлении тока 1, будет зависеть от выбора нормали к поверхности, ограниченной контуром 2 (или от выбора положительного направления обхода этого контура). Л„>О 1„,<О а) 6) Рвс, 9.12 Положительные направления для токов (и э. д. с.) в обоих контурах всегда можно выбрать произвольно (а с положительным направлением обхода контура однозначно — правилом правого винта — связано направление нормали и к поверхности, ограниченной контуром, т. е.
в конечном счете знак маг- 261 Заеигиоиагнитиаи иидуиции нитного потока). Раз эти направления выбраны, величину (.м мы должны считать положительной, когда при положительных токах магнитные потоки взаимной индукции через контуры оказываются также положительными, т. е. совпадают по знаку с потоками самоиндукции.
Другими словами, Хм ) О, если при положительных токах в обоих контурах они «подмагничивают» друг друга, в противном случае 11а < О. В частных случаях можно заранее так установить положительные направления обхода контуров, чтобы получить желательный нам знак величины 1м (рис.
9.12). 5 Я.5. Энергия магнитного поля Магнитная ввергая тока. Замкнем неподвижную цепь, содержащую индуктивность 1 и сопротивление К на источник тока с э. д. с. б. В контуре, как мы уже знаем, начнет возрастать ток. Зто приводит,к появлению э. д.
с. сзмоиндукции б„. Согласно аакону Ома Я1 = ба+ б,, откуда Найдем элементарную работу, которую совершают сторонние силы (т. е. источник бэ) за время Ж. Для этого умножим предыдущее равенство на 1Ю: Учитывая смысл каждого слагаемого и соотношение б, = — дФ/сй запишем Мы видим, что в процессе установления тока, когда поток Ф меняется и ОФ > О (если 1 ~ О), работа, которую совершает источник бм оказывается болыие выделяемой в цепи джоулевой теплоты 'Часть этой рабаты (дополнительная работа) совершается прожив э. д.
с. самоиндукции. Заметим, что после Глава 9 взз того как ток установится, йФ = 0 и вся работа источника 6а будет идти только на выделение джоулевой теплоты. Итак, дополнительная работе, совершаемая сторонними силами против э. д. с. самоиндукции в процессе установления тока: аАаоп — ( дФ (9.27) Это соотношение имеет общий характер. Оно справедливо и при наличии ферромагнетиков, так как при его выводе не вводилось никаких предположений относительно магнитных свойств окружающей среды.
Теперь (и далее) будем считать, что ферромагнетикн отсутствуют. Тогда ЙФ = Х д1 и (9.28) Проинтегрировав это уравнение, получим А = Ы/2. По закону сохранения энергии любая работа идет на приращение какого-то вида энергии. Мы видим, что часть работы сторонних сил (бв) идет на увеличение внутренней энергии проводников (с ней связано выделение джоулевой теплоты) и другая часть — в процессе установления тока — на что-то еще. Это «что-тоа есть не что иное, как магнитное поле, именно его появление и связано е появлением тока.
Таким образом„мы приходим к выводу, что при отсутствии ферромагнетиков контур с индуктивностью Ь„по которому течет ток 1, обладает энергией (9.29) Эту энергию называют мазнпшной энергией тока или собсшвенной энергией шока. Она может быть целиком превращена во внутреннюю энергию проводников, если отключить источник ба так, как показано на рис. 9.7: быстро повернуть ключ К из положения б В положение а. Эаеитремагиитиая ииаукция 263 Энергия магнитного поля. Формула (9.29) выражает магнитную энергию тока через индуктивность и ток (при отсутствии ферромагнетиков). Однако и здесь„как и в случае электрической энергии заряженных тел, энергию моясно выразить непосредственно через магнитную индукцию В. Убедимся„что это так сначала на простейшем примере длинного соленоида, пренебрегая искажением поля на его торцах (краевыми эффекта- 2 мн).
Подстановка в формулу (9.29) выражения й = ~ц~ и гг дает И' =И /2 =)г)ген 1 ~'/2. А так как п/ = Н = В/р)ае, то В ВН вЂ” И = — )г. 2дд, 2 (9.30) (9.31) Подьтнтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энергии, заключенной в элементе объемом оК Отсюда, кек и в случае электрического поля, мы приходим к выводу, что магнитная энергия также локализована в про- странстве, занимаемом магнитным полем. Из формул (9.30) и (9.31) следует, что магнитная энергия рас- пределена в пространстве с объемной плотностью (9.32) Отметим, что полученное выражение относится лишь к тем средам, для которых зависимость В от Н линейная, т.
е. д в соотношении В = д~ Н не зависит от Н. Другими словами, вы- Эта формула справедлива для однородного поля, заполняюще- го объем $'(как в нашем случае с соленоидом). В общей теории показывается, что энергию И' можно выра- зить через векторы В и Н в любом случае (но при отсутствии ферромагнетиков) по формуле Глава 9 раженин (9.31) и (9.32) относится только к пара- и диамагне- 1 тикам. К ферромагнетикам они не применимы . Отметим такнсе, что магнитная энергия — величина существенно положительная.
Это легко усмотреть из последних двух формул. Еще об обосновании формулы (9.32). Убедимся в справедливости этой формулы, рассуждая в еобратноме порядке, а именно покажем. что если формула (9.32) справедлива, то магнитная энергия контура с током %"= Ь2 /2. С втой целью рассмотрим магнитное поле произвольного контура с током Х (рис. 9.13). Представим все поле разделенным на элементарные трубки, образующие которых являются линиями вектора В. Выделим в одной из таких трубок элементарный объем йр = ог дЯ, В соответствии с формулой (9.32) в этом объеме локализована энергия (ВН/2) дЫЯ, Р .933 Теперь найдем энергию бй' в объеме всей элементарной трубки.
Для этого проинтегрируем последнее выражение вдоль оси трубки. Поток 6Ф = ВбЯ сквозь сечение трубки постоянен вдоль всей трубки, поэтому ЙФ можно вынести за знак интеграла: б)у = — уНИ = 1 —, бФ .Г аФ 2 2 где использована теорема о циркуляции вектора П (в нашем случае проекция Н, Н). ' Это обусловлено тем, что в конечном счете выражения (9.31) и (9.32) являются следствиями формулы бд Гйф и того факта, что при отсутствии гистереэиса работа бд идет эюлвно на приращение магнитной энергии ЙЙГ. Для ферромагнитной среды дело обстоит иначе; работе ЬА идет еще и нв приращение внугренней энергии среды, т. е.
нв ее нвгреввние. 26б Злзитроизгиитиэя иидуициэ И наконец, просуммируем энергию всех элементарных трубок: 5 Уз 1 ~ бф ХФ)1 Х,Хз/1 где Ф вЂ” полный магнитный поток, охватываемый контуром с током, Ф = Х,Х. Это и требовалось показать. Определение индуктивности из выражения энергии. Мы ввели индуктивность Х, как коэффициент пропорциональности между полным магнитным потоком Ф и током Х. Существует, однако, н другая возможность расчета В из выражения энергии. В самом деле, нз сопоставления формул (9.31) и (9.29) следует, что при отсутствии ферромагнетика 1 ГВ э / Х Ргго (9.33) Нахождение В таким путем свободно от неопределенности, связанной с вычислением магнитною потока Ф в формуле (9.14) — см. с. 251.
К каким расхождениям иногда приводит определение Х, по формуле (9,33) и из выражения потока (9.14), показано з задаче 9.9 на примере коаксиального кабеля. 5 9.6. Магнитная энергия двух контуров с токами Найдем эту работу за время Ю: бА""' =-(гги+6„)1,бг-(6п+6,)1,бг=бИ". Собственная и взаимная энергии. Возьмем два неподвижных контура Х и 2, расположив их достаточно близко друг к другу (чтобы была магнитная связь между ними). Предполагается, что в каждом контуре есть свой источник постоянной э. д. с. Замкнем в момент г = 0 каждый из контуров. Как в том, так и в другом контуре начнет устанавливаться свой ток н, следовательно, появятся э. д. с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
