Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 42
Текст из файла (страница 42)
самоиндукцин ~'„и э. д. с. взаимной индукции 6г Дополнительная работа, совершаемая при этом источниками постоянной э. д. с. кроигив 6, и би идет, как мы уже знаем, на создание магнитной энергии. Глава 9 Преобразуем эту формулу, учитывал, что 6а = — Ь, п1,/Йг бп = = — 1,, сУз/пг и т. д.: й)т = 1,1,оХ, +1.,1,41, + Ц1,о1, +1п|,п1,. Имея в виду, что 1м = Х,м, представим последнее уравнение в виде йИ = а(1,1,'~г)+ й(1„1,'1г)+ а(Ьп11з), откуда (9.34) Здесь первые два слагаемых называют собставенной энергией тока 1, и тока 1„последнее слагаемое — взаимной энергией обоих токов. Взаимная энергия токов — величина алгебраическая в отличие от собственных энергий токов.
Изменение направления одного из токов приводит к изменению знака взаимной энергии — последнего слагаемого в (9.34). Пример. Имеются два концентрических контура с токами 1, и 1, направления которых показаны на рис. 9.14. Взаимная энергия этих токов (И~,з = 1.,Д1,~ зависит от трех алгебраических величин, знаки которых определяются выбором положительных направлений обхода обоих контуров. Полезно, однако, убедиться в том, что знак величины И; (в данном случае М', > 0) определяется только взаимным направлекием самих токов н совершенно не зависит от выбора положительных направлений обхода контуров.
Напомним, что о знаке величины 1 говорилось в 4 9.4. Ряс. 9.14 Полевая трактовка энергии (9.34). Есть несколько важных вопросов, которые мы сможем решить, вычислив магнитную энергию двух контуров еще и иначе — с точки зрения локализации энергии в поле. Зэеитромагиитиаи ииатиаии Пусть В, — магнитное поле тока 1„а  — поле тока 1 . Тогда по принципу суперпоэиции поле в каждой точке В = В, + В, и согласно (9.31) энергия магнитного поля этой системы токов И'= )(В /2)гр ) 4$".
Подставив сюда В В д + В г + 2В Вм получим (9.35) Соответствие друг другу отдельных слагаемых в формулах (9.35) и (9.34) не вызывает сомнения. Формулы (9.34) и (9.35) приводят к таким важным следствиям. 1. Магнитная энергия системы двух (и более) токов — величина всегда положительная, И' > О.
Это вытекает из того факта, что И' аг ) В с)г, где под интегралом стоят положительные величины. 2. Энергия токов — величина не аддитивная (из-за наличия взаимной энергии). 3. Последний интеграл в (9.35) пропорционален произведению токов 1,1„ так как В„а~ 1, и В а> 1э Коэффициент же пропорциональности (т. е. оставшийся интеграл) оказывается симметричным относительно индексов 1 и 2, а поэтому его можно обозначить 1,„или 1гг [в соответствии с формулой (9.34)1. Таким образом, действительно 1,„ = 1гг 4. Из выражения (9.35) вытекает другое определение взаимной индуктивности 1, .
В самом деле, сопоставление выражений (9.35) и (9.34) показывает, что (9.36) 111г )Чга 9 9.7. Энергия и силы в магнитном поле Наиболее общим методом определения сил в магнитном поле является энергетический. В этом методе используют выражение для энергии магнитного поля. Ограничимся случаем, когда система состоит из двух контуров с токами 1, и 1,. Магнитная энергия такой системы может быть представлена в виде И' =(1,Ф, + 1,Ф )/2, (9.37) где Ф, и Ф, — полные магнитные потоки, пронизывающие контуры 1 и 2 соответственно.
Это выражение нетрудно полу- чить из формулы (9.34), если представить последнее слагаемое как сумму Ь„(,1,/2 + 1.м1Я/2, а затем учесть, что Ф, =1ь1, +1~А* Фз =1Л+Е,а1,. (9.38) Согласно закону сохранения энергии работа 6А~, которую совершают источники тока, включенные в контуры 1 и 2, идет на теплоту 6Я, на приращение магнитной энергии системы ЙИ" (из-за движения контуров или изменения токов в них) и на механическую работу 6А„,„(вследствие перемещения или деформации контуров): 6А" = 64) + дИ'+ 6А„,„. (9.39) Мы предположили, что емкость контуров пренебрежимо мала, и поэтому электрическую энергию учитывать не будем. 6А"'" = 1~ дФ~ + 1з 4Фз . (9.40) Именно эта часть работы источников тока (работа против э. д.
с. индукции и самоиндукции), связанная с изменением потоков Ф, и Ф„и идет на приращение магнитной энергии системы и на механическую работу: В дальнейшем нас будет интересовать не вся работа источника тока 6А, а только та ее часть, которая совершается прошив э. д. с. индукции и самоиндукции (в каждом контуре). Эта работа (мы назвали ее дополнительной) 6А' " = — (ба + б„)1,йг — (ба + 8„)1, Ю. Учитывая что для каждого контура 3, + б, = = — дФ1Ф, перепишем выражение для дополнительной работы в виде 269 Заектремагиктяая ииаукиия Эта формула является основной для расчета механической работы 3А „, а из нее и сил в магнитном поле.
Из формулы (9.41) можно получить и более простые выражения для М„,„, если считать, что в процессе перемещения остаются неизменными или все магнитные потоки сквозь контуры, или токи в них. Рассмотрим это более подробно. 1. Если потоки постоянны, Ф„= сопзС, где й = 1 и 2, то из (9.41) сразу следует, что (9.42) где символ Ф подчеркивает, что приращение магнитной энергии системы должно быть вычислено при постоянных потоках через контуры. Полученная формула аналогична соответствующей ей (4.15) для работы в электрическом поле.
2. Если токи постоянны, 1„= сопл(, то 3А„,„= сй~ (9.43) Действительно, при 1„= сопз1 из формулы (9.37) следует, что о)У1, =(1,4Ф, +.Г,4Ф,)/2, т. е. в этом случае приращение магнитной энергии системы равно согласно (9.40) половине дополнительной работы источников э. д. с. Другая половина этой работы идет на совершение механической работы.
Иначе говоря, при постоянстве токов дй~, = М„,„, что и требовалось показать. Необходимо подчеркнуть, что оба полученные нами выражения (9.42) и (9.43) определяют механическую работу одной и той же силы, т. е. можно написать; (9.44) Для вычисления силы с помощью этих формул, конечно, нет необходимости подбирать такой режим, при котором обязательно оставались бы постоянными или магнитные потоки, или токи.
Надо просто найти приращение с ее" магнитной энер- вто гии системы при условии, что либо Ф„= сопв$, либо 1 = сопз$, а это является чисто математической операцией. Ценность полученных выражений (9.42) и (9.43) в их общности: они пригодны для системы, состоящей из любого числа контуров — одного, двух и т, д. Рассмотрим несколько примеров на применение этих Формул. Пример 1. Сила в случае одного контура с током. Имеется контур с током, у которого А — подвижная перемычка (рис.
9.16). Индуктивность этого контура зависит определенным образом от координаты х, т. е, известно А(х). Найти силу Ампера, действующую на перемычку, двумя способами." при 1 сопзги при Ф - солей В нашем случае магнитную энергию системы можно представить согласно (9.29): %' = 11 /2 = Ф~/2Ь, где Ф = В1. Переместим перемычку, например, вправо на бх, 'Гак как бА = г бх, то Щ~~ 1з дХ 2а' или а)У1 Ф' аЛ 1' а1.
Р = — — ~ ох), 21,' дх 2 Эх' т. е. расчет по обеим формулам согласно (9А4) дает один и тот же результат. о * х В Рае. 9.16 Ряс. 9.16 Пример 2. Взаимодействие двух катушек с токами. На немагнитный сердечник (рис. 9.16) надеты катушки 1 и 2 с токами 1, и 1. Пусть взаимная индуктивность катушек зависит от Электроиагввтвэя энзукцвя расстояния х между ними по известному закону Ь, (х).
Найти силу вэеимодействия между катушкеми. Магнитная энергия системы из двух катушек дастся формулой (9.34). Для определения силы взаимодействия будем пользоваться выражением (9.43). Сместим катушку 3 на расстояние Йх при неизменных токах Х, и Х . Соответствующее приращение магнитной энергии системы Х)У~, = 1,1, ОХ,„(х). Так как элементарная механическая работа ЬА = г „ю)х, то согласно (9.43)получим дХт, (~) и 3 ю дх Пусть токи 1, и 1 подмагничивают друг друге, тогда Х,, > > О и при Йх > О приращение ю)Х,м с О, т. е. Гю, < О. Следовательно, сила, действующая на катушку 3 со стороны катушки 1, является силой притяжения: вектор Р, направлен влево на рисунке.
Пример 3. Магнитное давление на обмотку соленоида. Увеличим мысленно радиус сечения соленоида на ю)г, сохраняя при атом неизменным ток 1 через обмотку. Тогда силы Ампера совершат работу ЬА = дЯ~,. В нашем случае 3А„= рЯю)г, где р — искомое давление, 6 — боковая поверхность соленоида: (В' дй'~, = 6~ — $'~ = — Ядг. 2)юю 2рю Здесь учтено, что при 1- сопзс и В = сонэк Из равенства двух атих выражений находим р = В /2)юю . Магнитное давление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
