Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Теперь по формуле у = с,дЕ/ЗУ найдем плотность тока смещения: /,„=з,33~ (г< В); /,„= з,РВ'/~ (г> В). График аависнмостн у (г) показан на рис. 10.13. 10.3. Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится однородная слабо проводящая среда.
Конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения. Пренебрегая краевыми эффектами, показать, что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует. Решение. Магнитное поле будет отсутствовать, потому что полный ток (ток проводимости плюс ток смещения) равен нулю. Это и надо покааать. Обратимся к плотности тока. Пусть в некоторый момент плотность тока проводимости равна у.
Ясно, что у с~ В, причем В = ся1, где а — поверхностная плотность заряда на полоясительно заряженной обкладке; н — нормаль (рис. 10.14). Наличие тока проводимости приводит к уменьшению поверхностной плотности ааряда щ а следовательно, и  — ток проводимости будет сопровождаться током смещения. Плотность последнего у,„= дВ/ду = (да/ду) и = — у и = — у. Отсюда следует, что действительно ), =)+у =О. 10.4. Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму круглых дисков. заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводимостью о' и диэлектрической проннцаемостью е. Пренебрегая краевыми эффектами, найти модуль вектора Н между обкладками на расстоянии г от их оси, если напрюкенность электрического поля между обкладками меняется со временем по закону Е = Е сов юп 306 Урэвненна Максвелла.
Энергия электромагнитного пала Рис. 10.16 Рна. 10.14 Решение. Ив уравнения Максвелла для циркуляции вектора Н следует, что %~ 2 2пгН = ) +эа — "~пг . л а Принимая во внимание закон Ома („= оЕ„(г), получим г( дЕ„) гЕ„ Н = — ~пЕ + ш — "~= — "(псов см — ав юв)пгаг). а а Преобраэуем выражение в скобках к косинусу. Для этого умножим и разделим это выражение на / = и + (аа аа), а эатем введем угол 6 по формулам и//= сов Ь, еа ы// = эш Ь. Тогда 10.6. 'Гочечный заряд д движется в вакууме равномерно и прямолинейно с нерелативистской скоростью т. Воспольэовавшись уравнением Максвелла для циркуляции вектора Н, получить выражение для Н в точке Р.
положение которой относительно эаряда характеризуется радиус-вектором г (рис. 10.16). Решение. Иэ соображений симметрии ясно, что в качестве контура, по которому надо брать циркуляцию вектора Н, следует ваять окружность с центром О 1ее след покааан на рис. 10.16 штриховой линией). Тогда где )1 — радиус окружности. Глава 10 Ряс. 10.16 Рнс. 10.1т Найдем поток вектора Р сквозь поверхность, ограниченную этой окружностью.
Проще всего, если вту поверхность Я ваять сферической с радиусом кривизны г (рис. 10.16). Тогда поток вектора В через элементарное кольцо, взятое на данной сферической поверхности, есть ЮИЗ = —,2ягз1па гс(а' = — в1пп 6а'„ Ч ° . Ч 4яг' 2 а весь поток сквозь выбранную поверхность ВЙ8 = — (1 — соза). Ч 2 Теперь согласно (1) продифференцируем (2) по времени: д Р Ч. Йа — 1 Э68 = — э1па —.
бг3 2 61' (3) При перемещении заряда из точки 1 в точку 8 (рис. 10.17) на расстояние ин( имеем осЫ*эш а = г да, откуда Йа оз(па После подстановки (4) в (3), а затем (3) в (1) получим Н = Чогэ(па/4яг „ з Ч 1 1 4х гз где учтено, что В = г эш а. Соотношение (5) в векторной форме имеет вид Уравнения Максвелла. Энергия электромагнитного поля Мы видим, таким обраэом, что постулированное нами ранее выражение (6.3) является следствием уравнений Максвелла. 10.6. Ротор Е. В некоторой области инерциальной системы отсчете имеется вращающееся с угловой скоростью ш магнитное поле, модуль которого В - сопэФ. Найти 1?хЕ в этой области как функцию векторов ю и В. Решение.
Иэ уравнения 1?хЕ = — дВ/дт видно, что вектор ЧхЕ направлен проппюположно вектору бВ, а его модуль можно вычислить с помощью рис, 10.18: ( ЙВ ~ = В ° ю 61, ) ЙВ/бе ~ = Вю . Поэтому 17 х Е = — 1ш В1 10.7. Вектор Пойнтиига. Протоны, имеющие одинаковую скорость т, образуют пучок круглого сечения с током Е Найти направление и модуль вектора Пойнтинга Я вне пучка на расстоянии г от его оси. Рнс, 10.19 Ряс. 10.18 Решение. Иэ рис. 10.19 видно, что Я Н т. Найдем модуль вектора 8: Я - ЕН, где Е и Н эаэисят от г. По теореме Гаусса 2ягЕ = Х/е,, где Х вЂ” эаряд на единицу длины пучка. Кроме того, по теореме о циркуляции вектора Н 2ягН = /.
Определяя Е и Н иэ последних двух уравнений и учитывая, что Е = 1о, получаем В = ЕН = Гт/4я'эсог . Глаза 10 1ОЗ. Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида, увеличивают. Покааать, что скорость возрастания энергии магнитного поля з соленоиде равна потоку вектора Пойнтинга через его боковую поверхность. Решение. При возрастании тока увеличивается магнитное поле в соленоиде, а значит, появляется вихревое электрическое поле. Пусть радиус сечения соленоида равен а.
Тогда напряженность вихревого электрического поля у боковой поверхности соле. ноида можно определить с помощью уравнения Максвелла, выражающего закон электромагнитной индукции: , ав а ав 2хаЕ = ха' —. Е = — —. дг 2 дг Поток энергии через боковую поверхность соленоида мсскно представить в таком виде: д ~ в' 1 Ф = ЕН. 2па1 = ха~1 — ~ — ), г1~20,)* 3 где 1 — длина соленоида, яа 1 — его объем. Таким обрааом, мы видим, что поток энергии через боковую поверхность соленоида (поток вектора Пойнтинга) равен скорости изменения магнитной энергии внутри соленоида: Ф = Я . 2хаГ = ЭИ7ЭГ. 10.9. Энергия от источника постоянного напряжения У передается к потребителю по длинному коаксиальному кабелю с пренебрежимо малым сопротивлением. Ток в кабеле 1. Найти поток энергии через поперечное сечение кабеля.
Внешняя проводящая оболочка кабеля тонкостенная. Рнс. 10.20 Решение. Искомый поток энергии определяется формулой ь Ф= ~Я 2ягдг, а Уравнения Максвелла. Энергия электромагнитного поля где Я = ЕН вЂ” плотность потока, Лхг2(г — площадь кольца шириной 2(г, в пределах которого Я одинаково, а и Ь вЂ” радиусы внутреннего провода и внешней оболочки кабеля (рис. 10.20). Для вычисления этого интеграла необходимо энать зависимость Я(г), или Е(г) и Н(г). С помощью теоремы Гаусса получим 2л2"Е = Х/со, (г) где )ь — заряд провода на единицу длины.
Далее, по теореме о циркуляции 2лгН = 2. (3) После подстановки Е и Н иа формул (2)и (3) в выражение (1)и интегрирования получим ХУ Ь Ф = — 1п —. (4) 2лао В условии задачи Х, а и Ь не авданы, вместо них дано У. Найдем связь между этими величинами: )ь Ь У = У Е 2(г = — 1п —. 2лв а а (б) Иэ сопоставления (4) и (б) следует, что Это совпадает со эначением мощности, выделяемой на нагруэ- ке. Решение.
Пусть напряжение на конденсаторе меняется по эа- кону У = У соэ с22 и расстояние между пластинами конденсато- ра равно Ь. Тогда электрическан энергия конденсатора 7 2 И", = — ла Ь = — У сов юг. воЕ 2 соЛО 2 7 2 2Ь Магнитную энергию определим по формуле гВ И7„= ~ — 2И". 2)2о (2) 10.10. Плоский воздушный конденсатор, пластины которого имеют форму дисков радиусом а, подключены к переменному гармоническому напряжению частоты сь Найти отношение максимельных эначений магнитной и электрической энергии внутри конденсатора.
зуб Глава 10 Необходимую для вычисления этого интеграла величину В найдем иэ теоремы о циркуляции вектора Н: 2ягН хг дЮ/дп Отсюда, имея в виду, что Н=В(р и д))/дг = -г (Е7„/Ь) юз)пои„ получим 1 гюУ„ В = -Ез)г,— "~ з1пыг ~. (3) Остается подставить (3) в (2), где в качестве сП~ надо взять элементарный объем в виде кольца, для которого сИ" = 2лг йг.Ь. В результате интегрирования найдем и ),всю~а~У„* 'Иг — — О 0 з1 ~аз, 16 л Отношение максимальных значений магнитной энергии (4) и электрической энергии (1) таково: Например, при а = б см и ю = 1000 с это отношение равно Ь'10 Глава 11 Электрические колебания 'ч 5 11.1.в'равнение колебательного контура Условие квазистационариости. Когда происходят электрические колебания, ток в цепи изменяется во времени и, вообще говоря, в каждый момент ток оказывается не одинаковым на разных участках цепи (из-за того что электромагнитные возмущения распространяются хотя и с очень большой„но конечной скоростью).
Однако имеется много случаев, когда мгновенные значения тока оказываются практически одинаковыми на всех участках цепи (такой ток называют квазисжационарным). Для этого все изменения во времени должны происходить настолько медленно, чтобы распространение электромагнитных возмущений можно было считать мгновенным. Если 1 — длина цепи, то на прохождение длины 1 электромагнитное возмущение затрачивает время порядка т = 1/с. Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности будет выполнено, если т= 1/с(< Т, где Т вЂ” период изменений.
-е Например, для цепи длиной 1 = 3 м время т = 10 с, и токи можно считать квазистационарными вплоть до частот 10 Гц (это соответствует Т = 10 с). В этой главе мы всюду будем предполагать, что в рассматриваемых нами случаях условие квазистациоиарности выполняется, и токи будем считать квазистационарными. Это позволит нам использовать формулы, полученные в статических полях. В частности, мы будем использовать тот факт, что мгновенные значения кзазистэционарных токов подчиняются закону Ома. Колебательный контур. В цепи, содержащей катушку нндуктивности Ь и конденсатор емкости С, могут возникнуть электрические колебания. Поэтому такую цепь называют колебателъкым кокжуром.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
