Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 40
Текст из файла (страница 40)
КОрреляционная матрица Р порядка н имеет вид 1 Р|г " Р1п Рг1 1 ° ° ° ргя Ре1 Рнг . 1 Т.б. Другие числовые характеристики случайных величин В этом параграфе мы дадим краткое описание некоторьпс других применяемых на практике числовых характеристик случайныя еелнчин. Отметим, что зти характеристики, как и все остальные, рассматриваемые в настоящей главе, по 7.в. Друтие числввме харахтвристихи случайивтх величии 321 сути дела, являются характеристиками законов распределений случайных величин. Поэтому в дальнейшем вместо слов „характеристика случайной величины, имеющей некоторое распределение (закон распределения)" будем говорить „характеристика распределения". Случайную величину Х называют симметрично распределенной относительно математического ожидания, если Р(Х ( МХ - х) = Р(Х > МХ+ я) для любого я.
В частности, непрерывная случайная величина Х является симметричной тогда и только тогда, когда график ее плотности распределения симметричен относительно прямой *= мх. Определение Т.13. Асилтметприеб А случайной величины Х называют отношение тпретпьего иеншрального моментпа о тпэ к кубу среднего квадратпичного отпнлоненил вч о тпз А = —.
оэ Нетрудно видеть, что (при условии существования третьего момента) для симметрично распределенной относительно матпематпичесного ожидания случайной величины Х асимметрия равна нулю. Определение 7.14. Экст4ессолл Е случайной величины Х в называют отношение четвертого иентпрального моментпа тп4 к квадрату дисперсии эа вычетом числа 3: о тп4 Е= — — 3. о4 Ясно, что асимметрия и эксцесс — безразмерные величины. Пример 7.24. Вычислим асимметрию и эксцесс случайной величины, имеющей нормальное распределение. Согласно опре- !! — 10047 322 т.
числОВые хАРАктеРистики случАЙных Величин делению1 +оо Г о Г 3 Г(*- ) ГПЗ= / (Х-ГП) ватто,а(х)г(яоо У Е Х, ,г' гтг/2я +оо +оо 4 (Х вЂ” Ггг) -(х — ог)г/(2аг) ~х тй4 = / (Х вЂ” та) Дог а(Х) 4(х = ( ~- — Е Х. гтг/2тг Делая замену у = х-гп, имеем о~/2~г Я откуда в силу нечетности подынтегральной функции следует, о что гтгз = О и асимметрия уг = О.
Для того чтобы найти гй4, применим формулу интегрирования по частям. Полагая )з -(х-то)г/(2аг) ( гг = и г(о= — е \ ~/2~г гт имеем +со о 2 Г (х-пг)' (. )г/(заг)„ ггг4=3гт у е а гт~/2я Воспользовавшись теперь результатом примера 7.17, окончао тельно получим, что гп4 = Зо4, и, следовательно, эксцесс Е = О. Таким образом, для нормального распределения асимметрия и эксцесс равны нулю.
Определение 7.15. Квантпилью уровня а, или сг-иваитпильто, (О < а < 1) случайной величины Х (распределения случайной величины Х) называют число Яо, удовлетворяющее неравенствам Р(Х < Я„) < а и Р(Х ) Я„) < 1- а. Т.в. Другие числовые характеристики случвйвыв величин 323 1/2-квантиль называют также лведканой М случайной вели- чины Х.
Для непрерывкой случайной величины Х а-квантиль ф„ является решением уравнения Р(Я ) =а, где Р(х) — функция распределения случайной величины Х. Таким образом, для непрерывной случайной величины Х кван- тиль Яа — это такое число, меньше которого Х принимает значение с вероятностью сс. Если известна плотность распределския р(х) случайной величины Х, то, учитывал связь между функцией распределения и плотностью распределения, уравнение для определения аквантили можно записать в виде р(х)ах = св. Пример 7.25.
Найдем св-квантиль и медиану экспоненциального распределения. В этом случае ~„представляет собой решение уравнения (рис. 7.1) ] е-М1в р Поэтому 1п(1 — а) 'ча = Л Ясно, что медиана экспоненциального распределения 1п2 М= —. Л Если трактовать экспоненциальное распределение как распределение времени распада атома (см. 4.6), то медиана будет соответствовать периоду полураспада. 324 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Рис.
7.1 Пример 7.26. Пусть случайная величина Х представляет собой число успехов в одном испытании по схеме Бернулли с вероятностью успеха р. Тогда, как видно на рис. 7.2, Яа = О при О < а < д, Я =1 при о<а<1, а д-квантиль может быть любым числом от О до 1 включительно. Этот пример показыРис. 7.2 вает, что, во-первых, квантили могут совпадать для разных а, а, во-вторых, для некоторых а квантили могут определяться неоднозначно. Определение 7.16. Модой непрерывной случайной величины называют точку максимума (локального) плотности распределения р(х). Различают унимодальные (имеющие одну моду), бимодальные 1имеющие две моды) и мультпимодальные (имеющие несколько мод) распределения. Для определения моды дискретной случайной величины предположим сначала, что ее значения х~,...,х„расположены в порядке возрастания. т.о.
Другие числовые хараитеристиии сеучайиых вевичии 325 Определение Т.17. Модой диснретпной случайной величины называют такое значение х;, при котором для вероятностей выполняются неравенства р, 1<р; и р+1<рь В случае дискретных случайных величин распределения также могут быть унимодальными, бимодзльными и мультимодальными. Наиверолтпнейчиила значениеле называют моду, при которой достигается глобальный максимум вероятности (дискретной случайной величины) или плотности распределения (непрерывной случайной величины).
Если распределение унимодальное, то мода также будет наивероятнейшим значением. Мода и наивероятнейшее значение введены, скорее, для наглядности, чем для практических целей. Пример Т.27. Плотпность нормального распределения имеет единственный максимум в точке тп (см. б.б). Поэтому мода нормального закона совпадает с математическим ожиданием. Она же является наивероятнейшим значением и медианой. Пример 7.2В.
Найдем моду биколеивлького распределения. Для этого заметим, что С,'р'й" ' (т+ 1)д Р„(ч') Р.('+1) С1"р*'+ 7 -('+ ) ( - ')р' Отсюда нетрудно вывести, что отношение Р„(1)/Р„(т+ 1) меньше единицы при т' < пр — д и больше единицы при т' ) пр — 7. Таким образом, если пр — д не является целым числом, то минимальное ч, для которого т ) пр — 7, является модой и наивероятнейшим значением. Если же пр — о — целое число, то 326 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН биномиальный закон имеет две моды и два наивероятнейших значения: пр-д и пр-у+1.
7Р Последнюю числовую характеристику, которую мы здесь рассмотрим, называют энтропией. Эта характеристика играет одну из основных ролей в теории информации'. Мы ограничимся здесь лишь определением энтропии и перечислением ее основных свойств. Определение 'Т.18. Энпаропией Н = Н(Х) дискретной случайной величины Х называют число, равное а Н = Н(Х) = — ,') р;1ойрс (здесь и далее в определениях энтропии принято соглашение О ° 1о80 = О, а 1ойр; обычно означает 1ойгр;). Отметим, что энтропия не зависит от значений я; случайной величины Х, а определяется только вероятностями р;, с которыми эти значения принимаются.
Энтропия является мерой неопределенности случайной величины. Максимальное значение Н~ = 1ойп энтропия дискретной случайной величины достигает тогда, когда все и возможных значений случайная величина принимает с одной и той же вероятностью р; = 1/и, минимальное Н еа = Π— когда случайная величина принимает единственное значение с вероятностью 1. Определение 7.19.
Энтпропией Н(Х,У) двумерной диснретпной случойной величины (Х,У) называют число, равное Н(Х,У) = — ~ р;.1ойрй. См., кацркмер: Куаьбак С. Теорие информации к статксткка. Мс Наука, 19б7. 407 с. Т.Ь. Другие числовые характеристики случайиых яеличии 327 Поскольку для независимых случайных величин Х и У рй = рх;р~; и 1одрй = 1ойрх; + 1ойру, то Н(Х, У) = — Я рх;ру. (1онрх; + 1ояру,.) = Рх;1ойрх, ~~ ру. — ~ И;-1ойр~;~ Рх; = 1 у 3 е = — ~~~ рх,1ойрх; — ~,ру узйру.
=Н(Х)+Н(У), т.е. энтропия случайной величины (Х,У), если Х и У вЂ” независимые случайные величины, представляет собой сумму энтропий. Показано', что в случае зависимости Х и У энтропия Н(Х, У) всегда меньше суммы Н(Х) + Н(У). Энтропия в некотором смысле представляет собой мивз~- мальный объем памяти, необходимый для записи информации, содержащейся в случайной величине.
Поскольку информация записывается обычно в двоичной системе, то основанием логарифма берется число 2. Определение 7.20. Энтпропией Н = Н(Х) непрерывной случайной величины Х и энтпропией Н(Х,У) двумерной случайной величины (Х,У) называют числа, равные соответственно Н = Н(Х) = — рх(х)1ойрх(х)дх, Н(Х,У) = — рх у(х,у)1оярх у(х,у)дхйу. 'Сил Вентчель Е.С. 'Хеория еероятиостей: Учеб. Мл Наука, 1969. 594 с. 328 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
