Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 35
Текст из файла (страница 35)
=в'я~в= -( Ятв1+~й Ям33ь7 Ятй+Рз ~Я 3~ Я~ +~Я~ 1пг х О пгг О „Я3в1 +Я 1ПЗ ~Я +51 +й7 П1 1П1 + П2 Пг + П31ПЗ г г г 2 г г Еу = п2+ пг+ п2 Перемножая матрицы, находим, что дисперсия нормального за- кона, приближенно описывающего распределение полученного абсолютного значения скорости У, определятся формулой 279 Волросы я задачи Вопросы и задачи 6.1.
Как могут быть связаны между собой случайные величины7 6.2. Что называют функцией от одномерной случайной величины? 6.3. Как найти ряд распределения функции от дискретной случайной величины? 6.4. Как найти функцию распределения функции от непрерывной случайной величины? 6.5. Как найти плотность распределения монотонной функции от непрерывной случайной величины? 6.6.
Как найти плотность распределения кусочно монотонной функции от непрерывной случайной величины? 6.7. Как найти плотность распределения линейной функции от непрерывной случайной величины? 6.8. Как найти ряд распределения скалярной функции от дискретного случайного вектора? 6.0. Как найти функцию распределения скалярной функции от случайного вектора? 6.10. Что называют сверткой (композицией) плотностей распределения случайных величин? 6.11. Как найти функцию распределения векторной функции от случайного вектора7 6.12.
Как изменится плотность распределения векторной функции от случайного вектора при линейном преобразовании? 6.13. Какое распределение имеет случайный вектор, полученный из нормально распределенного случайного вектора с помощью линейного преобразования? 280 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 6.14. Как изменяются вектор средних и матрица ковариаций нормально распределенного случайного вектора при линейном преобразовании? 6.15. Какими параметрами определяется общий нормальный закон? В каком случае нормальный закон называют вырожденным? 6.16.
Какими свойствами обладает ковариационнзя матрица общего нормального закона? 6.17. Какая связь существует между нормально распределенным случайным вектором и случайным вектором, распределенным по стандартному нормальному закону? 6.16. В чем заключается метод линеаризации? Когда его можно применять'? 6.10. Как вычислить параметры нормального распределения, приближенно описывающего распределение функции от случайного вектора в соответствии с методом линеаризации? 6.20.
Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения, представленный в табл. 6.18. Найдите ряд распределения случайной величины У, если: а) У=10Х вЂ” 1; б) У=-Хз; в) У=2х. Таблица 6.И Ответ: ряд распределения случайной величины У представлен: а) в табл. 6.19; б) в табл.
6.20; в) в табл. 6.21. Таблица 6.30 Таблица 6.19 281 Вопросы пэалочп Та6лииа 6.31 6.21. Случайная величина Х распределена равномерно в интервале (О, 3). Найдите функцию распределения случайной величины У = Х~+ 1. Ответ: О, у<1; Г~ (у) =,4~:т/3, 1<у<10; 1, у > 10. 6.22. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром Л. Найдите плотность распределения случайной величины У, если: а) У=с-" 6) У=Х' в) У=1(Х' г) У= /Х. Ответ: О, у Ф (О, 1); Лул 1, уЕ(0,1); о, у < о; Ле лоу/(ЗЩ), у > 0; О, у<0; Ле 1~я/(Зу~/у), у > 0; О, у<0; г) рь(у) = х~„~ 2Луе ", у>0.
6.23. Случайная величина Х распределена по нормальному закону со средним значением т и дисперсией о~. Найдите плотность распределения случайной величины У, если: а) У=)Х~; б) У=ахсФ6Х; в) У=Ха; г) У=с~ (плотность логари4мичесни нормального, или логнормального, распределения). 282 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Ответ: р<О, о, а) ру(р) = -(я-зи)'/(2а') ). -(я+тих)~/(2а') , у>О; Ч2~пт у ф (-к/2, к/2); о, е (~Ко т)~/(~а~) , рб(- /г, /2); 2~/гягг сова у б) ру(р) = р<О; , р>О; о, в) ру(р) ж -( /у — аъ) /(2а ) ). -(,/у+ив)~/(аа~) р<О; о, г) ру(у) = -()ая — эв)'/(аа') , р>О.
~/2~гау 6.24. Распределение двумерной случайной величины (Х1, Х2) Таблица 6.68 задается табл. 6.22. Найдите Ряд распределения случайной величины У, если: а) У =Х1 — 2Х2 — 8; б) У= (Х1 — 12) +Х2~ — 1; в) У = (Х1 — 12)/Ха. О т в е т: ряд распределения случайной величины У предста; ален: а) в табл. 6.23; б) в табл. 6.24; в) в табл. 6.25. Таблица 6.3) Таблица 6.66 283 Вопросы и эаяачи Таблица 6.п5 6.25. Двумерная случайная величина (Хм Хг) распределена равномерно в прямоугольнике с вершинами в точках А1(0; О), Аг(0; 2), Аз(3; 2) и А4(3; 0). Найдите функцию распределения случайной величины У, если: а) У = Х1+Хг, б) У = Х1/Хг.
Ответ: у<0; 0<у<2; 2<р<3; 3 <у<5; у>5; О, уг/12, (у-1)/3, [12 — (5 — у) ]/12, 1, а) Ру(у) = О, р<О; р(Ып) — г г ьь/гпо/гул/г-1(н+й )-(а+а)/г у>0 г(-",)г® О, у < 0; б) Гу(у)= у/3, 0<у<3/2; 1 — 3/(4у), у > 3/2. 6.26. Независимые случайные величины Х1 и Хг имеют стандартное нормальное распределение. Найдите плотности распределения случайной величины У = Х1/Хг. Ответ: 1 ~"'(У) „(1 + г)' 6.27. Независимые случайные величины Х1 и Хг имеют распределение Хг с й и н степенями свободы соответственно. Найдите плотность распределения случайной величины У = = нХ1/(йХг) (плотность Р-раснределениэа или распределения Фишера — Снедекора).
Ответ: 284 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 6.28. Независимые случайные величины Х4 и Хз имеют экспоненцнальное распределение с параметрами А1 = 1 и Лз = 2 соответственно. Воспользовавшись формулой свертки, найдите плотность распределения случайной величины У = Х1 + Хз. Ответ: (О, р<0; ( 2(е "— е з"), р)0. 6.29. Независимые случайные величины Х1 и Хз имеют равномерное распределение на отрезках «О, 1] и «О, 2] соответственно. Воспользовавшись формулой свертки, найдите плотность распределения случайной величины У = Х1 + Хз.
Ответ: О, р Ф (0, 3); р/2, 0<р<1; 1/2, 1<р<2; (3 — р)/2, 2 < р < 3. 6.30. Распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (Хм Хз) задается табл. 6.26. Найдите распределение вероятностей двумерной случайной величины (Ум Уг), где У1 = Х1Хз, Уз = (Х1 — Хз)~. Таблица 6.86 Таблица 6.87 О т в е т: Совместное распределение вероятностей двумерной случайной величины (Ум Уз) представлено в табл. 6.27. 6.31. Двумерная случайная величина (Х1, Хз) распределена равномерно в прямоугольнике с вершинами в точках А1 (1; — 1), Аз( — 1; 1), Аз(0; 2) и А4(2; О). Найдите совместную функцию распределения случайных величин У1 = (Х1 — Хз) и Уг = =х,+х,. 285 Воаросы и задача Ответ: Й;,ь"з(рьуг) = 6.32.
Двумерная случайная величина (Хь Хз) имеет совместную плотность распределения / О, (хь хг)(сР; где Р— треугольник с вершинами в точках Аз(0; О), Аз(1; 1) и Аз(2; 0). Найдите совместную плотность распределения слу- Ъ вели Н1;=Хз/(Хз+1) иУ2=Х1+Х,. Ответ: О, (уь рз) ФР', РЪд Ъз(у1зуз) (уз+2)(уз+1)(1 Ю) 2(зз+1) з 1 Ер~ (р, +1)з где Р' — область, ограниченная линиями р1 = О, уз = 0 и (уз + 2)(уз — 1) = -2. 6.33. Двумерная случайная величина (Хь Хз) распределена равномерно в параллелограмме с вершинами в точках Аз( — 1; — 1), Аз( — 1; 3), Аз(4; 5) и А4(4; 1).
Найдите плотность распределения случайных величин Уз = 2Х1 + Хз — 1 и 1~з = =х,-зх,+г. Ответ: / О, (уь р,) ФР', 1/140 (уз уз) 6 Р' где Р' — параллелограмм, ограниченный прямыми Зуз + уз— — 27=0 Зу1+уз+8=0 уз+12рз+96=0 и у1+12уг — 44=0 о, рзз/рз/4, ,ф7/2, р,(г, 1, рз(0 или рз(0; 0 < уз < 4 и 0 < уз (~ 2; 0<уз <4 и рз>2; уз >4 и 0<уз<2; р1>4 пуз>2 286 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 6.34. Пусть Х = (Хм Хз, Хз) — трехмерный случайный вектор, распределенный по нормальному закону с вектором средних значений шХ = (1, 2, 1) и матрицей ковариаций ЕХ= 1 4 -1 Найдите вектор средних значений шр и матрицу ковариаций ЕУ- случайного вектора У = ХВ+ с, где 1 -1 В= 1 1 и с=(1 3). 0 1 Ответ: т- =(2, -1), Е- = ~ /7 41 14 6,~' 6.35.
Пусть Х = (Х1, Хз) — двумерный случайный вектор, распределенный по нормальному закону с вектором средних /2 11 значений йХ = (1, 3) и матрицей ковариаций ЕХ = ~ ~1 3,~ Найдите вектор с и матрицу В линейного преобразования У = ХВ + с, переводящего вектор Х в вектор У, имеющий стандартное нормальное распределение. Одним из возможных ответов является: 1 Л5/5 0 ~ -~~5/15 ~/3/3 / 6.36. '11эехмерный случайный вектор Х=(Х1, Хз, Хз) имеет нормальное распределение с вектором средних значений т = = (10, 5, 3) и матрицей ковариаций 0,01 0,0042 — 0,0024 Ех = 0 0042 0 0036 0 00288 -0,0024 0,00288 0,0064 Вопросы я эадвчя 287 Воспользовавшись методом линеаризации, найдите параметры нормального закона, приближенно описывающего распределение величины У = (ЗХ~~+ 1)/(Х~~+ 2Хзз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
