Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Можно показать, что справедливо и свойство, обратное свойству 1, а следовательно, имеет место утверждение: дисперсия случайной величины Х равна нулю тогда и только тогда, когда Х с вероятностью 1 принимает всего одно значение. Замечание 7.6. Свойство 3 дает весьма удобную формулу для расчета дисперсии случайной величины с помощью ЭВМ или микрокалькулятора. Действительно, если вычислять дисперсию по первоначальной формуле (7.6), то необходимо два раза суммировать по й первый раз при подсчете математического ожидания и второй — дисперсии. Свойство 3 позволяет обходиться одним циклом: можно одновременно суммировать с коэффициентами р; и сами значения случайной величины, и их квадраты. Замечание 7.7.
Очевидно, что свойство 4 справедливо для суммы не только двух, но и любого числа и попарно независимых случайных величин в(х, +... + х„) = вх, +... + эх„. 305 7.3. Дисперсии. Момеиты выапих иооидиов Замечание 7.8. В 7.4 будет приведена формула для дисперсии суммы любых (а не только независимых) слагаемых. 41 Нетрудно видеть, что дисперсия ПХ имеет размерность квадрата размерности случайной величины Х. Для практических же целей удобно иметь величину, характеризуюшую разброс значений случайной величины вокруг ее математического ожидания, размерность которой совпадает с размерностью Х. В качестве такой величины естественно использовать и = ~/ЬХ, которую называют средкпм кводрапэпчкым опэклокенпем случайной величины Х (иногда также стандартом, или стандартным отклонением). Пример 7.14.
Найдем дисперсию случайной величины Х, распределенной по закону Пуассока. Для этого воспользуемся свойством 3 дисперсии. Математическое ожидание МХ = Л было найдено в примере 7.3. Определим второй момент: Л' 1 е (1 — 1)! Л1 „,Л1 „Л = Л~~) (у+1) —., е А = Л ~у —., е "+ ~~) —., е " у=о ~' 1=о У' 1=о У' = Л(МХ+1) = Л~+ Л. Таким образом, ПХ = Лэ+ Л вЂ” Л~ = Л, и, значит, дисперсия Х, так же как и математическое ожида- ние, совпадает с параметром Л. Пример 7.15. Пусть Х вЂ” число успехов в и испытаниях по схеме Бернулли. Дисперсию Х можно подсчитать так же, как в примере 7.2 было подсчитано математическое ожидание, а именно непосредственно воспользоваться определением 7.5 306 7.
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН дисперсии. Однако мы поступим другим образом. Для этого снова (см. пример 7.13) представим Х в виде суммы Х =Х1+...+Хо. Дисперсия каждого слагаемого равна: ПХ; = (0-МХ;) Ч+(1 — МХ;)яр= ( )2 ) (1 )2 2 + 2 ( ~ ) Учитывал, что случайные величины Х; являются независимы- ми, в силу свойства 4 дисперсии получаем ВХ =ВХ +...+ПХ =Чщ Пример 7.16. Дисперсия равно.верно распределенной на отрезке [а, Ь] случайной величины Х определяется формулой Ь+а з 1 ох=) (.
) — и.= О 1 (~ 6+а~э ~ Ь+ а~э'( (Ь вЂ” а)з (Ь вЂ” а)~ 3(Ь-а) ~,~ 2 ! 'х 2 l / 12(Ь-а) 12 Пример 7.17. Дисперсия случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами тп и о, имеет вид +00 +~~ з (е — т) Г (х — п1) ПХ = (х — тп~)р (х)дх = ~ е 2ох дх. оЧ2~г Делая замену у = (х — ти)/о, получаем +оо РХ =сг~ — е "~~ау.
7.3. дисперсии. Момеиты выавих порядков 307 в 2 Полагая и = у/~/2~г, ди = уе "lгду и интегрируя по частям, находим РХ = а~ — е " У~ ду = а~ ~р(у) йу = о~. / Лт Таким образом, дисперсия нормально распределенной случайной величины совпадает с квадратом второго параметра.
Этого и следовало ожидать, поскольку и носит название среднего квадратичного отклонения. Пример 7.18. Для определения дисперсии случайной величины Х, имеющей гамма-распределение, воспользуемся свойством 3 дисперсии. Имеем г Лтх'+1 мх'= ~ е дх, г(у) или после замены у = Лх МХг 1 1 т+1 и Г(у+2) у(у+1) Л Г(Л) / " ' " Л Г(у) Л о Учитывая, что МХ = у/Л (см. пример 7.9), окончательно получаем г РХ = МХ вЂ” (МХ) Пример 7.19. Пусть Х вЂ” случайная величина, имеющая дисперсию РХ. Введем новую случайную 308 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Найдем число а, при котором достигается минимум Мт'~. Согласно свойствам 2 и 3 дисперсии, имеем Мт" =тУт +(Мт') =ОХ+(МХ- ) .
Первое слагаемое от а не зависит, а второе принимает минимальное значение, равное О, при а = МХ. Таким образом, в качестве а нужно взять МХ, а само минимальное значение Мт ~ совпадает с дисперсией ОХ. В некоторых теоретических исследованиях встречаются моменты высших порядков. Определение Т.О. Моментпом й-го порядка ть (й-м моментом) случайной величины Х называют математиче. ское ожидание й-й степени случайной величины Х: ть=МХ = т х;р;, ь % ~ ь если Х вЂ” дискретная случайная величина, и ть = МХ = х"р(х) дх, если Х вЂ” непрерывнзл случайная величина. Иногда й-й момент называют также начальным моментом й-го пор,едка. Определение Т.Т. Центральным моментпом й-го порядка ть (й-м центпраяъным моментпом) случайной величины Х называют математическое ожидание й-й степени а случайной величины Х = Х вЂ” МХ: ть=М(Х вЂ” МХ) =~> (х; — МХ)"р; ТА. Ковариацин и коэффициент корревщии свутайиык ввеичии 309 и т„=М(Х вЂ” МХ)" = (х-МХ) р(х)дх для дискретной и непрерывной случайных величин Х соответ- ственно.
Момент первого порядка совпадает с математическим ожиданием, центральный момент первого порядка равен нулю, центральный момент второго порядка является дисперсией. Отметим также, что в теоретических изысканиях рассматривают моменты не обязательно целого порядка й. 7.4. Ковариацин и коэффициент корреляции случайных величин Пусть (Хы Хг) — двумерный случайный вектор.
Определение Т.8. Ковариацией (корреляционным момененом) сот(Хы Хг) случайных величин Х1 и Хг называют математическое охендание произведения случайных величин о о Х1 = Х1 — МХ1 и Хг = Хг — МХг'. о о сот(Хы Хг) = М(Х1Хг) = М((Х1 — МХ1)(Хг — МХг)). Запишем формулы, определяющие ковариацию. Для дискретных случайных величин Х1 и Хг сот(Хы Хг) =~ (х;-МХ1)(у — МХг)р;., для непрерывных случайных величин Хг и Хг сот(Хы Хг) = (х1 — МХ1)(хг-МХг)рх„х,(хыхг)дх~дхг. 310 7.
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Заметим, что введение понятия ковариации позволяет записать выражение для дисперсии суммы случайных величин и к уже имеющимся свойствам дисперсии добавить еще одно: 1.х(Х+У) = ОХ+ОУ+2соъ(Х,У) (свойство 5 дисперсии), справедливое для произвольных, а не только кезависи.выя случабкыя величав Х и У. Действительно, В(Х+У) =М((Х+У)-М(Х+У))'= = М(Х вЂ” МХ)~+ 2М((Х вЂ” МХ)(У вЂ” МУ)) + М(У вЂ” МУ)~ = = РХ+ ВУ+ 2соч(Х, У). Свойство 5 дисперсии допускает обобщение на произвольное число слагаемых: Р(Х~+...+Хо) =Х)Х1+...+ВХо+2 ~ соч(Х;,Ху).
1<1<3(о Следующая теорема устанавливает основные свойства ковариации. Теорема 7.3. Ковариация имеет следующие свойства. 1. соъ'(Х,Х) =1хХ. 2. сок(ХыХз) = 0 для независимых случайных величин Х1 и Хг. 3. Если У1 = а1Х1 + Ь1 и Уз = азХз + Ьз, то соч(У1,Уз) = = а1 азов(Х1, Хз). 4. -~Их,ох, < [х„х,~ <,/ох,ох,. 5. Равенство ~ю (х„х,И =,/ох,ох, (7.8) верно тогда и только тогда, когда случайные величины Х1 и Хз связаны линейной зависимостью, т.е. существуют такие числа а и Ь, при которых Хз = аХ1 — 6. (7.9) 6.
соч(Х1,Хз) = М(Х1Хг) — МХ1МХз. 7.4 Ковариаццв в вевффвцвевт воррелвцвв елувайвмх велвчцв 311 ~ Утверждение 1 вытекает иэ очевидного соотношения соч(Х,Х) = М(Х вЂ” МХ)~. Если случайные величины Х1 и Хз являются независимыми (и имеют математические ожидания), то соч(Х1 Хз) = М((Х1 — МХ1)(Хэ — МХз)) = = (М(Х вЂ” МХ )) (М(Хг — МХз)), откуда приходим к утверждению 2. Пусть У1 = а1 Х1 + Ьм Уз = агХз + Ьз. Тогда соч(УмУз) = М((У1 — МУ1)(Уэ — МУз)) = = М((а1Х1 + Ь1 — а1МХ1 — Ь1)(аэХг + Ьэ — азМХз — Ьз)) = = М(а1аз(Х1 — МХ1)(Хг — МХг)). Поэтому справедливо утверждение 3.
Рассмотрим дисперсию случайной величины Ув = хХ1 - Хэ, где х — произвольное число. В силу свойств дисперсии и свойства 3 ковариации 1ЭУ = 13(хХ1) + 2соч(хХм — Хг) + 13(-Хг) = = х~13Х1 — 2хсоч(Х1, Хз) + РХз. Дисперсия РУв, как функции от х, представляет собой квадратный трехчлен.
Но дисперсия любой случайной величины не может быть меньше нуля, а это означает, что дискриминант Й = (2соч(Х~,Хз)) — 4ОХ113Хг (7.10) квадратного трехчлена Ш~ является неположительным, т.е. имеет место утверждение 4. 312 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Далее, пусть выполнено равенство (7.8). Значит, дискриминант (7.10) равен нулю, и уравнение 1И' =О имеет решение, которое обозначим а.
Тогда в соответствии с замечанием 7.5 случайнал величина 1' = аХ1 — Хз принимает всего одно значение (допустим, 5), и, следовательно, Хз = аХ1 — 5, т.е. из (7.8) вытекает (7.9). Наоборот, пусть выполнено (7.9). Тогда в соответствии со свойством 1 дисперсии ОУ„= О, а значит, дискриминант (7.10) является неотрицательным. Поскольку при доказательстве утверждения 4 было показано, что этот дискриминант неположителен, то он равен нулю, откуда следует, что ~,~[х„хд = ~/Ьх,ох,. Таким образом, из (7.9) вытекает (7.8). Утверждение 5 полностью доказано.
Наконец, раскрывая скобки в формуле, определяющей ковариацию, и используя свойства математического ожидания, получаем утверждение 6, которое часто бывает полезным при численном подсчете ковариации. Ф. Замечание 7.9. Если случайные величины Х1 и Хз связаны линейной зависимостью Хз = аХ1 — Ь, а ~ О, то в соответствии со свойствами 3 и 1 соч(Х1,Хз) =асоч(Х1,Х1) =аьУХ1. Поэтому знак ковариации совпадает со знаком коэффициента а и свойство 5 допускает следующее уточнение: ~ чех,ох„>0; соч(Х1,Хз) = (-~ех,вх,, <О. 7.4. Коввривцвл и яоэффяцяевт иоррелвцви елучвйяыя величин 313 Замечание 7.10. Из свойств дисперсии и ковариации можно получить еще одно полезное при расчетах свойство дисперсии П(азХз+азХз+6) = а,ПХ~+азРХз+2а~азсот(Хз,Хз).
Докажите зто свойство самостоятельно. Замечание 7.11. Как следует из свойства 2, ковариация независимых случайных величин равна нулю. Однако обратное, вообще говоря, неверно. Существуют зависимые и даже функционально зависимые случайные величины, ковариация которых равна нулю, что демонстрирует следующий пример. Пример 7.20. Пусть случайная величина Х имеет равномерное в интервале ( — 1, 1) распределение, а случайнал величина У связана со случайной величиной Х функциональной зависимостью У = Хз (см.
6.1). Покажем, что сот(Х, У) = О, несмотря на функциональную зависимость Х и У. Действительно, учитывая равенство МХ = 0 и свойство 6 ковариации, имеем сот(Х,У) =М(Х У)-МХ МУ= =МХ = з х р(х)дх= — з х Их=О. з ~ з 1Гз 2„( Определение з.9. Случае1ные велачимы Х и У называют неиоррелпровамнымп, если их ковариация равна нулю, т.е. сот(Х,У) = О. Приведенный выше пример показывает, что из некоррелированности случайных величин не следует их независимость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
