Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 41
Текст из файла (страница 41)
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для непрерывных, так же как и для дискретных, случайных величин Х и У энтропия Н(Х, 1") двумерной случайной величины совпадает с суммой Н(Х) + Н(У) энтропий координат тогда и только тогда, когда Х и 1' являются независимыми случайными величинами; иначе Н(Х, У) ( Н(Х) + Н(У) (см. учебник Е.С. Вентцель). Отметим также, что при заданной дисперсии оз максимальную энтропию 1о8ч'2кеоз имеет нормально распределеннал случайная величина.
7.6. Решение типовых примеров Пример 7.29. Найдем математическое ожидание, диспе- рсию и среднее квадратичное Таблица 7.1 отклонение дискретной слу- Х 0 1 2 3 чайной величины Х, рлд раср О 41 О 43 0 11 О 05 иределенил которой предста- влен в табл. 7.1. В соответствии с определением математического ожидания дискретной случайной величины Х МХ=~~ ху;=0 0,41+1 0,43+2 0,11+3 0,05=0,8. Дисперсию находим по формуле ПХ = МХз — (МХ)з.
Математическое ожидание квадрата Х равно МХ~=~ х~р;=Оз 0,41+1~ 0,43+2~ 0,11+3~.0,05=1,32. Поэтому ПХ = 1,32 — 0,8~ = 0,68. Наконец, среднее квадратичное отклонение сг = ЛЭХ = ~/0,68 0,82. Пример 7.30. Вероятность того, что в течение часа на станцию скорой помощи не поступит ни одного вызова, 329 Ч.б. Рвшвяяв тюивых пршггеров равна 0,00248.
Считая, что число вызовов Х, поступающих в течение часа на станцию, имеет распределение Пуассона, найдем математическое ожидание и дисперсию Х. Поскольку случаг1ная величина Х имеет распределение Пуассона, то Р(Х=О)=е ~, где Л вЂ” параметр распределения Пуассона. В свою очередь, из условия задачи следует, что Р(Х =О) =е а =0,00248. Решая последнее уравнение относительно Л с помощью табл. П.1, получаем Л = 6.
Так как параметр Л является одновременно математическим ожиданием и дисперсией случайной величины Х (см. примеры 7.3 и 7.14), то МХ = 6 и 13Х = 6. Пример 7.31. Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение непрерывног1 случабног1 величины Х, плогпносгпь распределения которой имеет вид ) О, ф)я/2; ) сов х/2, )х~ < я/2. В соответствии с определением математического ожидания непрерывной случайной величины Х МХ = хр(х) Их = г' -хсовхдх = О. 2 -гг/2 Вычислим теперь дисперсию Х: 13Х = (х — МХ) р(х)дх = -хзсовхдх = — — 2 ж 0,468 2 4 Наконец, сг = 45Х = ~/5БВ- 0,684. 330 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Пример 'Т.32.
Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х, имеющей лознормальное распределение (см. задачу 6.23), т.е. случайной величины с плотностью распределения О, х< 0; -(-3 )'- Мл-а з е х > О. х)3~(2~г р(х) = Найдем математическое ожидание Х: мх=) — ' р(-"'* )и . о МХ = — е" ехр(- ", ) Иу = Делая теперь замену $ = (р — а — ф)/~3, получаем МХ= 1 Е +Д'lз Е ' lзй=со+Д1.
~2л Аналогично находим математическое ожидание Х: 2. Для вычисления интеграла в последней формуле сделаем замену х=е". Тогда 331 7.б. Ршпеиие типовых примеров Тогда МХ2 р~Х)2 2а+2б~ 2а+д~ 2а+б~( 9~ ц Наконец, = /ох=~/е Й'~ Ф ц ев,/~' Пример 7.33. Случайная величина Х распределена по равномерному закону на отрезке [о, 6], причем а и Ь не известны, а МХ = 4 и ОХ = 3. Найдем а и 6. Для равномерно распределенной случайной величины МХ= —, РХ= о+ 6 16- о) 2 ' 12 (см.
примеры 7.6 и 7.16). Поэтому а+ Ь (Ь вЂ” а) — =4, = 3. 2 ' 12 Решая полученную систему и учитывая, что Ь > а, находим: а=1, Ь=7. Пример 7.34. Иэ хорошо перетасованной колоды карт слева направо последовательно выкладывают карты лицевой стороной наверх. На карты первой колоды таким же образом кладут карты второй колоды. Найдем среднее число совпаде. ний верхней и нижней карт.
Пусть число карт в каждой колоде равно п. Число совпадений Х можно записать в виде Х=Х,+...+Х„, где Х; = 1, если 1-я пара карт совпала, и Х; = 0 в противном случае. Воспользовавшись свойством математического ожидания, получаем МХ = МХ, +... + МХ„. 332 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Далее, вероятность совпадения верхней и нижней карт в ка- ждой паре в соответствии с принципом классической вероят- ности равна 1/и. Паьтому 1 и — 1 1 МХ; =1 — +О ° — =-. и и и Окончательно имеем 1 МХ=п — =1. и Интересно отметить, что ответ не зависит от числа и карт в колодах.
Пример 7,35. Независимые случайные величины Х1 и Х2 имеют нормальное распределение со средними значениями гп1 и шэ и дисперсиями сг1~ и п2~ соответственно. Найдем математическое ожидание случайной величины У = Х1Хэ. Поскольку случайные величины Х1 и Хэ являются независимыми, то в соответствии со свойством математического ожидания МУ = МХ~МХг = гп1тэ. и МУ(Х) = ~ У(я;)р;, и МУ~(Х) = ~) У~(э;)р;, Пример 7.36. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения, представленный Таблица 7 3 в т,б,.
7.2. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины У = 1пХ. Поскольку математическое ожидание МУ(Х) и второй момент МУ~(Х) функции У(Х) от дискретной случайной величины Х можно вычислить по фор- мулам 7.б. Реимеие тииоеых примеров то МУ=1п1 0,2+1пе 0,1+)пе 0,5+1пе 0,2=1,7, МУ2 =1п21 0,2+1п2е 0,1+1п2е2 0,5+1п2е~ 0,2=3,9. Значит, МУ = 1,7 и ПУ = МУ2 — (МУ) = 3,9 — (1,7) = 1,01.
Пример 7.37. Случайнан величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром Л = 3. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины У = е~. Нескольку математическое ожидание МУ(Х) и второй момент МУ~(Х) функции У(Х) от непрерывной случайной величины Х можно вычислить, испольэуя формулы МУ(Х) = У(х)р(х) Их, МУ2(Х) = У2(х)р(х) Их, 3 МУ = е*Зе *ах = —, 2' о МУ = е~*Зе ~*ах=3.
о Значит, МУ=-, Ш =3-д =-. 2' ~,2) 4 У = 1о32(Х1/Х2). Пример 7.38. Закон распределения вероятностей деумерной дискретной случайной величины (Хы Хг) представлен в Таблица 7.8 табл. 7.3. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины 334 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В соответствии с формулой для вычисления математического ожидания функции от двумерной дискретной случайной величины МУ = 1оиг — ' О!1+1ойг — О!4+1оЕ2- 0,2+ 21 ! 1 ! +1ойг — ' 02+1ойг- О+1ойг- 0,1=0,2, 0,5 1 2 22' ! 2 МУ2 = (1оЕ2 — ') 0,1+ (1оЕ2 -) 0,4+ (1ойг -) 0,2+ + (1окг — ') 0,2+ (1ойг -) О+ (1окг -) 0,1 = 1>2 О 2)г Пример Т.39.
Соемесп1ная плотноспгь распределения двумерной непрерывной случайной величины 1Х1,Х2) имеет вид О, х21+х2 2) 1; Р(*' х') 3~Я +хг х21 + хг < 1. 2я Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины У = Х1Х2. Используя формулу для вычисления математического ожидания функции от двумерной непрерывной случайной величины, получаем МУ = — х1х2 Ч х1+ хг дх1 ахг = г г Д 2я е~+е~ ~(1 1 /1-ег! = — / х1ах1 у хгух1+хгахг =О, 2 2 2я,1 -1/Г-жг! 335 7.б. Ршпевие типовых примеров ПУххМУ~-(МУ)~= д — х,х21гх1+х241х1гГх2хх 2 ГГ 3 2 2 I 2 2 Д 2я хег+ххх(1 21г 1 — соэ гро1п грг1гр р рррр= 2з / О О 2гг 3 — (1 — соо(4гр)) 1ггр = — 0,05. 112з о Пример 7.40. Плотность распределения непрерывнои случайной величины Х имеет вид ( О, х 1е (О, 1); 1 2х, хб(Ог1). Найдем начальные и кентпральные момек1кы первого, второго, третьего и четвертого порядков, а также асимметрию и эксцесс случайной величины Х.
В соответствии с формулой ткь =МХ" = х р(х)дх вычислим начальные моменты: к21 = / х2х Их = —, о 1 2 ткз = у х 2хгйе = —, 5 о тк2 = / х 2хеЬ = —, 2 2 о тк4 = / х 2хгьх = —. 4 3' о 336 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для нахождения центральных моментов выведем формулы, выражающие центральные моменты через начальные: т1=М(Х-МХ) =МХ-МХ=О, тг=М(Х вЂ” МХ)г =тг-(т1)г = ОХ, тз=М(Х вЂ” МХ) =М(Х ЗХ МХ+ +ЗХ(МХ)г (МХ)з) тз -Зтгт1+2тз1 т4=М(Х вЂ” МХ)4 =М(Х4-4ХзМХ+6Хг(МХ)г— -4Х(МХ) +(МХ) ) =т4 — 4тгт1+бтгт~1 — Зт41.
о т1 — — О, тг — — РХ = — — 3 г 5 — — 4 1 3 о тЗ о т4 Наконец, в соответствии с определениями асимметрии 3 о 71 = тз/а~ и эксцесса 72 = т4/п4 — 3 3 72 = --. 5 71= т 5 Пример 7.41. Распределение вероятностей двумерной случайной величины (Х1, Хг) задано 2 абеица 74 табл. 7.4. Найдем математические ожидания, дисперсии, коеариацию, коэффициент корреляции, а также коеариационную и корреляционную матрицы случайных величин Х1 и Хг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
