Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Что называют центральным моментом я-го порядка случайной величины? 7.16. Что называют ковариацией случайных величин? 7.17. Перечислите свойства ковариации случайных величин? 7.18. Как называют случайные величины, ковариация которых равна нулю? 7.19. Напишите формулу для дисперсии суммы проювольных случайных величин. 347 Волросьг и задачи 7.20. Что называют ковариационной матрицей случайного вектора? Перечислите свойства ковариационной матрицы. 7.21. Приведите достаточное условие, при котором случайные величины являются некоррелированными.
Можно ли сказать, что если случайные величины являются некоррелированными, то они также являются независимыми? Т.22. Что называют коэффициентом корреляции случайных величин? Т.23. Перечислите свойства коэффициента корреляции случайных величин. Т.24. В каких пределах может изменяться коэффициент корреляции случайных величин? 7,25. Приведите условие, необходимое и достаточное для равенства коэффициента корреляции случайных величин ж1. 7.26.
Что называют матрицей корреляций случайного вектора? 7.27. Что называют асимметрией случайной величины? 7.28. Что называют эксцессом случайной величины? 7.29. Что называют а-квантилью случайной величины? Т.ЗО. Что называют модой дискретной случайной величины? Какую дискретную случайную величину называют унимодальной? бимодальной? мультимодзльной? 7.31. Что называют наивероятнейшим значением дискретной случайной величины? 7.32.
Что называют модой непрерывной случайной величины? Какую непрерывную случайную величину называют унимодальной? бимодальной? мультимодальной? 7.33. Что называют наивероятнейшим значением непрерывной случайной величины? 348 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 7.34. Что называют энтропией дискретной скалярной случайной величины? 7.35. Что называют энтропией дискретной двумерной случайной величины? В каком случае энтропия дискретной двумерной случайной величины равна сумме энтропий координат? Т.36. Что называют энтропией непрерывной случайной величины? 7.37.
Что называют энтропией непрерывной двумерной случайной величины? В каком случае энтропия непрерывной двумерной случайной величины равна сумме энтропий координат? 7.38. Найдите математическое ожиТаблица 7.3 дание, дисперсию и среднее квадратич- Х 1 2 3 нос отклонение дискретной случайной Р 0,30 0,21 0,49 величины Х, ряд распределения кото- рой представлен в табл. 7.8. Ответ: МХ =2,19, ьуХ = 5,55, и~ 2,35. 7.39.
Вероятность того, что при трех выстрелах стрелок попадет в цель хотя бы один раз, равна 0,992. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа Х попаданий при двадцати выстрелах. Ответ: МХ =16, >ЭХ = 3,2. 7.40. Время Х безотказной работы станка имеет экспоненциальное распределение. Известно, что вероятность отказа 'станка за 5 ч равна 0,39347. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение времени безотказной работы станка.
О т в е т: МХ = 10 ч, 1ЭХ = 100 чэ, и = 10 ч. Т.41. Найдите математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, асимметрию, эксцесс, а-квантиль, медиану, моды и наивероятнейшее значение случайной величины Х, имеющей плотность распределения р(я) = е ~* 4?э. Ответ: МХ=3, ОХ=2, п=~Г2, у~ =О,'у2=3, 9„=3+1п(2а), если и ( 1у'2 и ф, = 3 — 1п(2(1 — и)), если а) 1/2, М = 3. Вопроси и задачи Случайная величина имеет единственную моду и наивероятнейшее значение хе = 3.
7.42. Непрерывная случайная величина Х имеет плотность распределения О, х ф (а, Ь); ь - ь- ,!х - 2 ~, х ~ (а Ь), причемаиЬнеизвестны, ноЬ) а, аМХ =5и13Х=6. Найдите а и Ь. Ответ: а= -1, 5=11. 7.43. Каждый вз 25 студентов группы выучил 80% экзаменационных билетов. Найдите среднее число студентов, сдавших экзамен. Ответ: 20. 7.44. Независимые случайные величины Х1 и Хч. имеют зкспоненциальное распределение с параметрами Л1 и Лз соответственно. Найдите математическое ожидание случайной величины У = Х1Хз.
Ответ: МУ = 1/(Л1Лз). 7.45. Дискретная случайнал величина Х имеет ряд распределения, представленный в табл. 7.9. Таблица 7.9 Наидите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х 1 2 3 4 У = Х~+1. Р 0,1 0,4 0,3 0,2 О т в е т: МУ = 2,6, ПУ = 0,84. 7.46. Площадь круга вычисляют по измеренному диаметру круга Х, используя формулу Я = хХз/4.
Считал, что измеренный диаметр круга Х распределен равномерно на отрезке [а, Ь), найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Я. Ответ: МЯ= к(а~+аЬ+Ь~)/12, ЭЯ = х~(Ь вЂ” а)~(4а~+ ТаЬ+ + 4Ь~) /720. 350 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т.47. Закон распределения вероятностей двумерной дискретной случайной величины (Х1, Хз)представлен табл. 7.10. Найдите математическое ожидание и дисперсию слУчайной величины У = Х~з + 2Хо. Ответ: МУ =1,9, РУ = 1,29. Таблица 7.10 7.48. Двумерны случайны величина (Х1, Хо) распределена равномерно в квадрате 10 < х1 < 1, 0 < хо < 1). Найдите математическое ожидание и дисперсию площади У прямоугольника со сторонами Х1 и Хз.
Ответ: МУ =1/4, РУ = 7/144. 7.49. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид О , х Ф (-1, 1); 3(1 — х )/4, хЕ(-1,1). Найдите начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядка, а также асимметрию и эксцесс случайной величины Х. о о о Ответ: 7п1 =7п1 =О, тпз=7пз =ОХ=1/5, газ=тз=О, тп4= =та =3/35) 71 =О, Чз= — 6/7. Т.50. Изготавливаемые в цехе втулки сортируют по отклонению их внутреннего диаметра от номинального размера на четыре группы со значениями 0,01, 0,02, 0,03 и 0,04 мм и по овальности на четыре группы со значениями 0,002, 0,004, 0,006 и 0,008 мм. Совместное распределение вероятностей отклонения диаметра Х1 и овзльности Хз представлено табл.
7.11. Найдите математические ожидания, дисперсии, ковариацию, коэффициент корреляции, а также ковариационную и корреляционную матрицы случайных величин Х1 и Хо. 851 Вояросгл я задачи Таблица 7.11 О твет: МХ1 = 0,026 мм, МХа = 0,005 мм, РХ1 = 81 х х 10 а мм2, РХ2 = 4 10 е мм2, сои(Х1,Хг) = 254 10 о мма, 81 10 ~ 254 10 5'~ / 1 0,41~( 1,254 10 ~ 4 10 е !' ~ 0 41 1 7.51.
Совместная плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины (Х1, Хя) имеет вид р(хг,ха) = О, х1(Оилих2(0; з+ з 4Х1х2е ~*1~*~), х1 > 0 и хг > О. Найдите математические ожидания, дисперсии, ковариацию, коэффициент корреляции, а также ковариационную и корреляционную матрицы случайных величин Х1 и Хо. Ответ: МХ1 = МХ2 = 1/я/2> ОХ1 = РХя = (4 — я)/4, сок(Х1, Х2) = О, р = О, (4 — 1г)/4 0 1 0 7 .52. Совместнал плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины (Х1, Хя) имеет вид О, Х1 (О или Х2((0; 19(х1,х2) = Л1Л2е лма ~'*', х1 > 0 и Х2 > О, где Л1, Ло >О.
352 Ч. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Проверьте, явлюотся ли случайные величины Х~ и Хз некоррелированными. Ответ: да, являются. 7.53. Случайные величины Х~ и Хз имеют математические ожидания МХ~ = -5, МХз = 2, дисперсии 13Х~ = 0,5, ВХз = = 0,4 и ковариацию сот(Хм Хз) = 0,2.
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины У = 4Х~ -5Хз + 25. Ответ: МУ = — 5, 1:УУ = 10. 7.54. Найдите математические ожидания, дисперсии и ковариацию случайных величин У~ и Уз, где У~ = ЗХ~ — 2Хз, Уг = 5Хх — Х~, а случайные величины Х~ и Хз имеют следующие числовые характеристики: МХ~ = -0,5, МХз = 1, ПХ~ = 3, 13Хз = 2,9, соч(Х~, Хз) = 2.
Ответ: МУ~ = -3,5, МУз = 5,5, 1:УУ~ = 14,6, Ш~з = 50,5, соч(Уь Уз) = -4. 7.55. Двумерный случайный вектор Х имеет вектор средних значений твом = (0,06, 0,08) и матрицу ковариаций Ех —— 0,2 0,3~ — ' ) . Найдите вектор средних значений и матрицу ко- Ф /-1 1 31 вариаций случайного вектора У = ХВ+ с, где В = ~ а с = (О, -0,1, -0,2). 1,0 1,1 1,2 Ответ: гй- = (0,10, 0,04, -0,02), Ед = 1,1 1,3 1,5 1,2 1,5 1,8 7.56.
Для непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность распределения 2 р(х) = и(хз — бх+ 13) ' найдите а-квантиль, медиану, моду и ее наивероятнейшее значение. 353 Вопросы и задачи Ответ: Яо = 2 ~8(Я(2а — 1)/2) + 3, М = 3. СлУчайнаЯ величина Х имеет единственную моду и наивероятнейшее значение хе =3.
7.5Т. Распределение вероятностей двумерной дискретной случайной величины (Х~, Хз) задано табл. 7.12. Найдите эн- Таблица 7.18 тропин скалярных случайных Х1 ичинх1иХ2,атыжеэн- Х2 05 034 148 ! > Ф тропиюдвумерногослуч " 0,19 0,08 0,12 0,20 го вектора (Х!, Хэ). Являют- 12,24 0,12 0,18 0,30 ся ли случайные величины Х! и Хч независимыми? Ответ: Н(Х!) = 051о85+081о82 — 031о83, Н(Хч) = 1о85— — 0,41о82 — 0,61о83, Н(Хм Хз) = 1,51о85+ 0,41о82 — 0,91о83. Случайные величины Х! и Хч являются независимыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
