Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Подставляя в зти формулы найденные значения начальных моментов, получаем ЗЗ7 Т.б. Решевие типовых примеров Вычислим математические ожидания и дисперсии случайных величин Хг и Х2'. МХ1 =(-1) (0,10+0,15)+О (0,15+0,25)+1 (0,20+0,15) =0,10, МХ2 =0 (0,10+0,15+0,20)+1 (0,15+0,25+0,15) =0,55, ПХд = МХд2 — (МХд)2 = (-1)2 (0,10+ 0,15) + +О' (0,15+0,25)+1' (0,20+0,15)-(0,10)'=0,50, ПХ2 = МХ~г — (МХя) = 0 (0,10+ 0,15+ 0,20) + + 12 (0,15+ 0,25+ 0,15) — (0,55) = 0,2475. Для определения созе(Х1,Хв) воспольэуемся формулой сои(Хг, Хе) = М(Х1 Х2) — МХг МХв. Тогда М(ХдХ2) =( — 1) 0 0,10+( — 1) 1 0,15+0 0.0,15+ +О 1 0,25+1 0 0,20+1 1 0,15) = О, сои(Хд,Х2) =0-0,10 0,55=-0,055 сот(Хд, Хг) 0,055 р — ' — — ' -0,144.
Ковариационная и корреляционная матрицы имеют вид -0,055 0,2475 ' -0,144 1 Пример 7.42. Совместная плотность распределения дву мерной случайной величины (Хг, Х2) имеет вид О , хгф(О,я/2) или х2ф(О,я/2); вш(х1+х~)/2, х1Е(О,я/2) и х2Е(О,гг/2). 338 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Найдем математические ожидания, дисперсии, ковариацию, козффициент корреляции, а также ковариационную и корреляционную матрицы случайных величин Х1 и Хг.
Имеем гг/2 гг/г гг/2 МХ1 — Х1Г Х1 ВиЪ(Х1+Хг)Г/Хг ~ Х (81ПХ г+СОВХ г) Г Х1 — 4 1 Г 2 О О О гг/2 гг/2 МХ2 = — Г хгдхг Г вш(х1+хг)ИХ1= —, 1 Г 2 / о о вх =мх, — (мх ) гг/2 гг/2 1 Г, Г в в~+От-32 Х1ггх1 ИП(Х1 + Х2) г/Хг 18 18 г -2/ О О Пхг = МХ22 — (МХ2) гг/2 гг/2 1Гг в в~+ вв — 32 Хгйхг В1П(Х1 + Хг) Ггх1 — 18— — ! о о Далее, гг/2 гг/2 М(Х1Х2) = — Х1 Ггх1 Х281П(Х1 + Х2) Ггхг = 2 г о о гг/2 /х1(вшх1+совх1вгпх1)(Ы14 Г 2 Г 2 О гг ггг гг(4 — гг) соч(Х1гХг) = М(Х1Хг) — МХ1МХ2 = — — —— соч(Х1,Х2) гг(4- я) г/Б~~бхг ггг+ 8гг — 32 339 7.6. Регпеиие типовых прившРов Наконец, ковариационная и корреляционная матрицы имеют вид Пример г.43.
Совместная плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины (Х1, Хг) имеет вид 2 Р(х1 хг) = и( г+ .г+ цз' Проверим, являются ли случайные величины Х1 иХг неноррелированнывги. Найдем МХ1.' +оо+оо +оо +оо 2х1 г(хгг(хг |' |' х1 г(х1 1 „( ( г+ г+цз / хг / .( г+ .г+цз' Здесь внутренний интеграл равен нулю, поскольку подынтегральная функция нечетная, а пределы интегрирования симметричны относительно начала координат. Поэтому МХ1 = О.
Аналогично получаем, что МХг = О. Вычислим теперь ковариацию Х1 и Хг. созг(Х1,Хг) = М(Х1Хг) — МХ1МХг = +оо+оо +оо +оо 2хгхгг(х1г(хг |' 2 / хгг(хг — ( 2х1Их1 — оо -оо оо -оо Поскольку созг(Х1,Хг) = О, случайные величины Х1 и Хг являются некоррелированными. с е~+ 8х - 32 16 т(4 — и) 16 с 1 гг(4 — в) то+ зв — 32 х(4 — и) 16 ив+ згг — 32 16 т(4 — т) то+ 8х — 32 1 340 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Пример 7.44. Случайные величины Хг и Хг имеют мате. матические ожидания МХг = 2, МХг = -1, дисперсии ПХ~ = 3, ПХг = 4 и ковариацию сонг(Х~, Хг) = -1. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины У = 2Хг — ЗХг — 5.
В соответствии со свойствами 2 и 3 математического ожи- М1' = 2МХг + (-З)МХг — 5 = 2, а, согласно свойствам 2 и 5 дисперсии, ПУ = 2~РХ~ + 2 ° 2 ° (-3)сот(Хг, Хг) + (-3)~юг = 60. Пример 7.45. Трехмерный случайный вектор Х имеет вектор средних значений то = ( — 1, О, 2) и матрицу ковариаций ЕХ= 1 3 2 Найдем вектор средних значений и матрицу ковариаций слу- чайного вектора 1' = ХВ+ с, где 4 — 3 В= 1 5, с=(1, 13). 2 -7 Используя правило изменения вектора средних значений при линейном преобразовании случайного вектора, получаем 4 — 3 тр =тоВ+с= (-1, О, 2) 1 5 +(1, 13) =(1, 2).
2 -7 341 7.6. Ретеиие типопьпс примеров Аналогично в силу утверждения 2 теоремы 7.4 имеем ЯР = В'К,7В = -3 5 -7 — 8 77 Пример 7.46. Для случайной величины Х, имеющей распределение Релел с параметром 71, найдем а-квантиль, медиану, моды и ваиверояоькейшее значение. Функция распределения Релея имеет вид / О, х< 0; ~ 1 — е 7*, х>0.
Поэтому а-квантиль ф„определяется нэ уравнения 79а — о з 1 т.е. 1п11- а) Яа аа 7 Поскольку медиана М является 1/2-квантилью, то Плотность распределения Релея Го, х< 0; х > О. является дифференцируемой функцией (кроме точки х = 0) причем О , х < 0; 2у(1-2ух~)е '*, х > О. 342 Т. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Значение х = 0 не является модой, так как р(0) = О.
Поэтому любая мода удовлетворяет уравнению р'= 2у(1-2ух )е з* =О. Решая это уравнение, имеем /1 При хе достигается как локальный, так и глобальный максимум плотности распределения Релея, а значит, хе является как единственной модой, так и наивероятнейшим значением случайной величины Х. Пример 7.47. Распределение вероятностей двумерной дис- кретной случайной величины (Х1, Хз) Таблица 7.5 задано табл. 7.5. Найдем зишроиии Х1 скалярных случайных величин Х1 и Хз -2 -1 0 Хз, а также энтропию двумернои слу2 0,1 0,2 0,3 чайной величины (Х11 Хз) Являются 1 02 01 01 лислучайныевеяичиныХ1иХзнеза- висимыми? Случайные величины Х1 и Хз имеют ряды распределения, представленные в табл.
7.6 и 7.7. Таблица 7.6 Таблица 7.7 В соответствии с определением энтропии дискретной случайной веиичины Н(Х1) = — ~1,рх,11обрх,. = -(0,31о60,3+ +031оя0,3+041о604) =1ояб+0,21о62 — 061о63, Н(Хз) = -~~~ рх„.1обрх„= 1о65-0,41оя2 — 0,61ояЗ. 343 7.6. Ретеиие типовми примеров Энтропия двумерного случайного вектора (Х1, Хг) равна: Н(Х11Х2) ~~~ Р13 1обр13 = — (0,11оя 0,1+ 0,21оя 0,2+ 0,31о60,3+ 0,21о60,2+ + 0,11оя0,1+ 0,11о60,1) = 1оя5+ 0,61ои2 — 0,31ок3.
Производя простые арифметические подсчеты, получаем 101в Н(ХмХ2) — Н(Х1) — Н(Хг) = 0,11оя — 2 = 0,11ок0,516 < О. 122 Поскольку энтропия Н(Х1,Х2) меньше суммы энтропий Н(Х1) и Н(Х2), то случайные величины Х1 и Хг являются зависимыми. Пример 7.48. Двумернзл случайная величина (Х1, Хг) имеет иормаеьное распределение со средними значениями т1 и тг, дисперсиями о1 н пг и коэффициентом корреляции р, т.е. 2 2 1 Рх„х,(ямяг) = 2ип1п2171 — рг < л*- )' ( — >(*.- ) ( — )')) хехр —, 11, +2р + Найдем энтропии случайных величин Х1 и Хг, а также энтропию случайного век1пора (Х1, Хг). В каком случае энтропия случайного вектора (Х1, Хг) совпадает с суммой энтропии случаиных величин Х1 и Х2? Поскол;ьку случайнзл величина Х1 имеет нормальное распределение со средним значением тп1 и дисперсией и21 т.е.
РХ1 (х) = 'р~п,е1(х) = е -(е-оц)е/(ге~2) 1/2ип1 345 Воиросы и задачи Здесь первый интеграл равен единице, второй и четвертый— дисперсиям случайных величин Х1 и Хз соответственно, а третий — ковариации Х~ и Хз. Таким образом, Н(Х~,Хз) = 1о5 (2яо1озф — рз) + 1о5 е рз 1ойе 1ойе —, +,, =15(2яео,о,Я-рз). Нетрудно видеть, что энтропия Н(Х1,Хз) равна сумме энтропий Н(Х1) и Н(Хз) тогда и только тогда, когда р = О. Значит, из условия некоррелированности случайных величин Х1 и Хз вытекает их независимость. Этот результат нам уже известен из 5.5. Вопросы и задачи 7.1.
Что называют математическим ожиданием дискретной случайной величины? В каком случае существует математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей счетное число значений? Т.2. Что называют математическим ожиданием непрерывной случайной величины? В каком случае существует матема. тическое ожидание непрерывной случайной величины? 7.3. Как можно вычислить математическое ожидание функции от скалярной случайной величины? Т.4. Как можно вычислить математическое ожидание функции от многомерного случайного вектора? 7.5.
Перечислите свойства математического ожидания случайной величины. 7.6. В каком случае математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых? 346 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 7.7. В каком случае математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей? Является ли независимость случайных величин необходимым условием для того, чтобы математическое ожидание произведения случайных величин равнялось произведению математических ожиданий? Т.8. Что называют вектором средних значений (вектором математических ожиданий) случайного вектора? Как юменяется вектор средних значений при линейном преобразовании случайного вектора? 7.9.
Что называют вторым (начальным) моментом случайной величины? 7.10. Что называют дисперсией случайной величины? Т.11. Что называют средним квадратичным отклонением случайной величины? 7.12. Перечислите свойства дисперсии случайной величины. 7.13. В каком случае дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых? 7.14. Что называют начальным моментом й-го порядка случайной величины? 7.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
