Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 37
Текст из файла (страница 37)
6.5. ф 7.2. Мэтематичесиое оиилвиив функции от саучвйиой веаичииы 297 Аналогично можно вычислить математическое ожидание фуннннн от многомерной случайной величины. Так, математическое ожидание МУ функции У = У(Хм Хз) от дискретной двумерной случайной велнчнны (Хы Хз) можно найти, воспользовавшись формулой МУ = МУ(ХыХз) = ЯУ(х;,уу)р|у, где р; = Р(Х1 = х;, Хз = у ), а функции У = У(Хы Хз) от двумерной непрерывной случайной величины (Хм Хз) — формулой МУ = МУ(ХыХз) = У(х,у)рхьх,(х,у)дхду, (7.5) где рты,(х, у) — совместная плотность распределения случайных величин Х1 и Хз. Докажем теперь теорему о свойствах математического ожидания.
Теорема 7.1. Математическое ожидание удовлетворяет следующим свойствам. 1. Если случайная величина Х принимает всего одно значение С с вероятностью единица (т.е., по сути дела, не является случайной величиной), то МС = С. 2. М(аХ+Ь) =аМХ+Ь, где а, Ь вЂ” постоянные. 3. М(Х1+Хз) = МХ~+МХз. 4. М(Х1Хз) = МХ1 МХз для независимых случайных величин Х1 и Хз. ч Если случайная величина Х принимает всего одно значение С с вероятностью единица, то МС=С 1=С, откуда следует утверждение 1. Доказательство свойств 2 и 4 проведем для непрерывных случайных величин (для дискретных случайных величин пред- 298 7.
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН лагаем читателю провести самостоятел ), ьно) а свойство 3 дока- жем для дискретных случайных величин (для непрерывных— доказать самостоятельно). Найдем математическое ожидание случайной вели ичины У = = аХ + Ь (У(х) = ах + Ь): +оо МУ = М(аХ+ 6) = (ах+ 6)рх(х)оЬ = +оо +оо =а хрх(х)ах+6 рх(х)дх=аМХ+Ь 1, оо — оо т.е. приходим к утверждению 2.
Пусть теперь У =Х1+Хз (У(хмхз) =х1+хо). Тогда МУ =М(Х1 +Хо) = ~~> (х;+у )р; = 17 = ~~х;р; +~ уур; =~~> х;~ рИ+Яру~) р; = в,у в,у 1 3 1 =Ях1рх,*+~~ 91рх,,у=МХ1+МХз, и, значит, утверждение 3 доказано. (воспользовавшись формулой 7.5 и теоремой 5.3) имеем: +оо+оо МУ = М(Х1Хз) = х1хзрх„х,(хмхз) йх1йхз = +оо+оо х1хзрх, (х1)рх,(хз) Их1~1хг = +оо +оо х1рх, (х1) Их1 хгрх,(хз) Ихз = МХ1МХз. 7.2. Математическое ожидавяе фувкянн от случайной вевячвям 299 Замечание Т.2. В соответствии с ранее принятым соглашением в теореме 7.1 предполагается, что математические ожидания случайных величин Х, Хг и Хг существуют.
Однако математическое ожидание суммы случайных величин может существовать даже тогда, когда математические ожидания обоих слагаемых не существуют. Так, М(Х вЂ” Х) =МО = О несмотря на то, что МХ может и не существовать. Очевидно также, что свойство 3 можно обобщить на случай произвольного числа слагаемых, т.е. М(Х +... +Х„) = МХ„+... +МХ„. Замечание Т.З. Свойство 4 также допускает обобщение на произведение конечного числа независнсмых (в совокупности) случайных величин: М(Х~ Хг...Х„) =МХ, МХ,...МХ„. Пример 7.12. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по стандартному нормальному закону, имеет вид МХ= х~р(х)дх= ( х — е <Ь=О. Г 1 -*'!г ( ~/2к В примере 6.7 было показано, что случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами т и о.
Таким образом, согласно свойству 2 математического ожидания, МУ =оМХ+т=ш, 300 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН и, следовательно, параметр тп нормального распределения является математическим ожиданием. Этот результат был получен непосредственным вычислением в примере 7.7. Пример 7.13. Представим число успехов Х в н испытаниях по схеме Бернулли в виде Х =Х +... +Х„, где Х; — число успехов в 1-м испытании. Нетрудно видеть, что МХ;=0 д+1 р=р.
Значит, в силу свойства 3 МХ = МХ1 +... + МХ„= пр, что совпадает с результатами примера 7.2, но получено с минимальными вычислениями. Перейдем теперь к многомерному случаю и рассмотрим нмерный случайный вектор Х = (Х1, ..., Х„). Определение 7.3. Вектор т = (МХ1, ..., МХ„) называют вектором матпемапьических охсиданий (средних эначений) случайного вектора Х.
Из замечания 7.2 и свойства 2 математического ожидания следует, что если случайный вектор у связан со случайным вектором Х линейной эависисмостью У =ХВ+с, то йьо = иВ+с (покажите это самостоятельно). В частном случае нормально распределенного вектора Х этот результат был получен в 6.6. 7.3. Дисверсив. Моменты высших порядков Т.З. Дисперсия.
Моменты высших порядков Две случайкые величины могут иметь одинаковые средние зкаченил, но их возможные значения будут по-разному рассеиваться вокруг этого среднего. Например, средний балл на экзамене в двух группах равен „4", но в первой группе почти все студенты получили в4", а во второй группе вчетверочников" нет вообще, но есть как епятерочники", так и „троечники".
Поэтому, наряду со средним значением, хотелось бы иметь и число, характеризующее „разброс" случайной величины относительно своего среднего значения. Такой характеристикой обычно служит дисперсия. Кроме дисперсии можно предложить и другие меры разброса, например цектпралькые момектпы любого четного порядка, которые также будут определены в этом параграфе. Однако именно использование дисперсии и других характеристик второго порядка (новариаций) позволяет применить в теории вероятностей сильно развитый аппарат гиаьбертповых простпранстпв (1Х].
Особо важную роль этот аппарат играет в теории так называемых стпационаркых в широком смысле случайных процессов, которые, в свою очередь, являются основной математической моделью в ряде практических приложений [ХУП1]. Определение Т.4. Втпорьтм начальным моментом (обычно опускают слово еначаяьный") тпг случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата Х (У(х) = х ): т,=МХ =~~х,р; 2 ч ~ 2 для диснретпкой случайной величины Х и тпг=МХ = х р(х)Ых для непрерывкой. 302 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Определение 7.5. Диснерсией Пх случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее среднего значения, т.е.
вх = м(х — мх)~. Используя формулы (7.1) — (7.4), в которых положено 1'(х) = (*- МХ)', ОХ=~~1 (х;-МХ) р; (7.6) (х — МХ) р(х)с1 . (7.7) Замечание 7.4. Иэ определения непосредственно следует, что дисперсия любой случайной величины является неотрицательным числом. Дисперсия Пх представляет собой второй момент ценпирированной (имеющей нулевое математическое ожидание) случайной величины Х=Х-МХ. Поэтому иногда дисперсию называют вьпорым центпральным моментном случайной величины.
Дисперсия имеет аналог в теоретической механике — центральный (относительно центра масс) момент инерции массы, распределенной на оси с линейной плотностью р(х). Выведем некоторые свойства дисперсии. легко написать расчетные формулы для дисперсий дискретной и непрерывной случайных величин соответственно: 3О3 7.3.
Диаирсяя. Момевты вьвгпия порядков Теорема 7.2. Дисперсия удовлетворяет следующим свойствам. 1. Если случайная величина Х принимает всего одно значение С с вероятностью единица, то РС = О. 2. П(ах+6) =а~ОХ. 3. ох =мх — (мх) . 4. ЩХ+ У) = ьгх+ ПУ для независимых случайных величин Х и У. м Если случайная величина Х с вероятностью единица принимает всего одно значение С, то в силу свойства 1 математического ожидания (МХ = С) получаем ОХ =М(Х вЂ” С)г =(С вЂ” С)г 1, откуда вытекает утверждение 1.
Определим дисперсию случайной величины У = аХ+Ь. Используя свойство 2 математического ожидания, имеем 0У=М(У вЂ” МУ) =М(аХ+Ь вЂ” М(аХ+Ь)) =М(аХ+Ь-аМХ-Ь) =М(а(Х вЂ” МХ)) = М(аг(Х вЂ” МХ)г) = агм(Х вЂ” МХ)г. Поэтому справедливо утверждение 2. Далее, согласно свойствам 2 и 3 математического ожидания, получаем эх = м(х -мх)' = м(х'-2хмх+ (мх)') = Мхг 2(МХ)г+ (МХ)г Мхг (МХ)г т.е. приходим к утверждению 3.
304 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Наконец, пусть Х и У вЂ” независимые случайные величины. Тогда, используя независимость случайных величин (см. лемму 1) и У=У вЂ” МУ, Х =Х вЂ” МХ а также свойства 2-4 математического ожидания, получаем в(х+у) =м(х+у-м(х+у))'= = м((х - мх)+ (у - му))' = м(х -мх)'+ +2м((х-мх)(у-му))+м(у-му)' = = 13Х+ 2(МХ М1') + ОУ = 1УХ+ ПУ, о о поскольку МХ = О и МУ = О. Значит, имеет место утверждение 4. ~ Замечание 7.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
