Кратные и криволинейные интегралы (1077063)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12zADA^A OB OB_<ME CILINDRI^ESKOGO TELAÌÃÒÓlekciq 1. pUSTX W PLOSKOSTI x1 Ox2 ZAMKNUTYJ KONTUR ΓG OGRANI^IWAET OBLASTX G KONE^NOGODIAMETRA d(G) I KONE^NOJ PLO]ADI m(G). eSLI x1x1S ,  x2  ∈ R3 : z = f (x1 , x2 ) ≥ 0, ∀∈G −x2zÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓNEPRERYWNAQ POWERHNOSTX, TO TELO T , OGRANI^ENNOE POWERHNOSTX@ S, CILINDRI^ESKOJ POWERHNOSTX@C, ORTOGONALXNOJ PLOSKOSTI x1 Ox2 , I ^ASTX@ PLOSKOSTI x1 Ox2 , PREDSTAWLENNOJ G, BUDEM NAZYWATXCILINDRI^ESKIM TELOM.rIS.

1ÌÃÒÓnSMOVET, LI[X PO GRANICAM, T.E. m(Gk ∩ Gj ) = 0, ∀ k 6= j IÌÃÒÓzADA^A O NAHOVDENII OB_EMA CILINDRI^ESKOGO TELA T RE[AETSQ ANALOGI^NO ZADA^E O NAHOVDENIIPLO]ADI PLOSKOJ FIGURY.1. G PROIZWOLXNYM OBRAZOM RAZBIWAEM NA SISTEMU PODOBLASTEJ {Gk }nk=1 , PERESEKA@]IHSQ, BYTXGk = G.k=12.pOLAGAEM mk , inf f (x1 , x2 ) I Mk , sup f (x1 , x2 ).GkGkÔÍ-12V (An ) =nXmk · m(Gk ) ≤ V (T ) ≤k=1nXMk · m(Gk ) = V (Bn )ÌÃÒÓmk · m(Gk ) ≤k=1nXf (x1k , x2k ) · m(Gk ) ≤k=1nXtOGDA IZ NERAWENSTWAMk · m(Gk ) = V (Bn )k=1ÌÃÒÓV (Ak ) =(∗)k=15.pUSTX x1k , x2k ∈ Gk – PROIZWOLXNAQ OTME^ENNAQ TO^KA.mk ≤ f (x1k , x2k ) ≤ Mk SLEDUET:nXÔÍ-123. t.K.

CILINDR S OSNOWANIEM Gk I WYSOTOJ mk CELIKOM SODERVITSQ W T , A CILINDR S OSNOWANIEMGk I WYSOTOJ Mk CELIKOM SODERVIT SOOTWETSTWU@]U@ ^ASTX TELA T , TO DLQ STUPEN^ATYH TEL An IBn , OBRAZOWANNYH \TIMI CILINDRAMI SOOTWETSTWENNO, IMEEM: An ⊂ T ⊂ Bn .4. iZ SWOJSTW OB_EMOW OB_EMLEMYH I OB_EML@]IH TEL SLEDUET:(∗∗)6. pRI DROBLENII PODOBLASTEJ {Gk } OB_EM V (An ) BUDET MONOTONNO WOZRASTATX, OSTAWAQSX MENX[E^ISLA max f (x1 , x2 )·m(G), A V (Bn ) – MONOTONNO UBYWATX, OSTAWAQSX BOLX[E ^ISLA min f (x1 , x2 )·m(G).ÔÍ-12eSLI S^ITATX,V (T ) =^TOlimmax d(Gk )→0limmax d(Gk )→0V (An ) =ÔÍ-127.limmax d(Gk )→0V (An )limmax d(Gk )→0=limmax d(Gk )→0V (Bn ) =1ÌÃÒÓTELO T .limmax d(Gk )→0V (Bn ), TO SOGLASNO (∗) I (∗∗)limmax d(Gk )→0nXf (z1k , x2k )m(Gk )k=1ÔÍ-12∃GV (Bn ) . pRI \TOM TELA An I Bn WSE BOLEE TO^NO POWTORQ@TÔÍ-12t.O.

V (An ) ∧ ∃ÌÃÒÓGÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12XlimÌÃÒÓmax d(Gk )→0INTEGRALOM FUNKCII f PO OBLASTI G I OBO-ÌÃÒÓf (Mk ) · m(Gk ), TO EGO NAZYWA@T DWOJNYMZZZZ kf (x1 , x2 )dσ.f (x1 , x2 )dx1 dx2 ILIZNA^A@T∃ÔÍ-12oPREDELENIE. pUSTX W ZAMKNUTOJ OBLASTI G PLOSKOSTI x1 Ox2 KONE^NOJ PLO]ADI σ = m(G) IKONE^NOGO DIAMETRA d(G) OPREDELENA SKALQRNAQ FUNKCIQ z = f (x1 , x2 ). pUSTX {Gk } – PROIZWOLXNOE RAZBIENIE G NA SISTEMU PODOBLASTEJ, PERESEKA@]IHSQ, BYTX MOVET, LI[X PO GRANICAM, AMk = (x1k , x2k ) ∈ Gk – PROIZWOLXNAQ OTME^ENNAQ TO^KA. eSLI WNE ZAWISIMOSTI OT WYBORA RAZBIENIQ {Gk } I SISTEMY OTME^ENNYH TO^EK {Mk }GGtEOREMA SU]ESTWOWANIQ.

dLQ L@BOJ FUNKCII z = f (x1 , x2 ), NEPRERYWNOJ W OGRANI^ENNOJ ZAMKNU2TOJZZ OBLASTI G ∈ R , IME@]EJ KONE^NU@ PLO]ADX σ = m(G) I KONE^NYJ DIAMETR d(G), SU]ESTWUETf (x1 , x2 )dx1 dx2 .GÔÍ-121.2.ZZ XNGZZCk fk (x1 , x2 )dσ =k=1NXZZfk (x1 , x2 )dσ – LINEJNOSTX.Ckk=1GC · dσ = C · m(G).ÔÍ-12oSNOWNYE SWOJSTWA DWOJNYH INTEGRALOW, SLEDU@]IE IZ OPREDELENIQGÌÃÒÓk=1ÔÍ-12Gk=1 GkÔÍ-12GZZx14. f >∈ G =⇒f dσ >< 0, ∀ x< 0.2 GZZx1>f dσ >5. f 6 0 ∧ f 6≡ 0 , ∀ x ∈ G =⇒< 0.2GZZZZx16. f 6 ϕ ∧ f 6≡ ϕ, ∀ x ∈ G =⇒f dσ <ϕ dσ2GGZZ ZZ|f | dσ7. f dσ 6ÌÃÒÓZZN ZZno noXNSf dσ =f dσ3. G = Gk ∧ m(Gk ∩ Gj ) = 0 , ∀ k 6= j =⇒GÌÃÒÓGÌÃÒÓtEOREMA O SREDNEM.eSLI f I ϕ NEPRERYWNY W ZAMKNUTOJ OBLASTI G ⊂ R2 , IME@]EJd(G) I m(G), I HOTX ODNA IZ NIH ZNAKOPOSTOQNNA W G (PUSTX ϕ), TOGDA"#KONE^NYEZZZZ0x100∃∈G :f · ϕ · dσ = f (x1 , x2 )ϕdσ.x02GGtAKIM OBRAZOM ∃ µ ∈ (m; M ) : µ =ZZf ϕ dσ < MG,GZZf ϕ dσGϕ dσϕ dσ.

nO f NEPRERYWNA W G I PRINIMAET WSEG2ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ϕ dσ <ÌÃÒÓmÔÍ-12.pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI W G FUNKCIQ ϕ>0.tOGDA dOKAZATELXSTWOx1x1∀∈ G m , max f 6 f (x1 , x2 ) 6 M , max f ⇐⇒ mϕ 6 f ϕ 6 M ϕ, ∀∈ G. tAKx2x2GGKAK SLU^AJ f ≡ C − const NA G TRIWIALEN, TOZZ, SOGLASNO SWOJSTWAM1 I 7 DWOJNOGO INTEGRALA, IMEEM:ZZZZÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ"#ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ∈ G : f (x01 , x02 ) = µ, ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX."sLEDSTWIE IZ TEOREMY.

eSLI ϕ ≡ 1 W G, TO ∃x01x02#ZZ∈G :f dσ = f (x01 , x02 ) · m(G).GwY^ISLENIE DWOJNOGO INTEGRALA W DEKARTOWYH KOORDINATAHÔÍ-12PROMEVUTO^NYE ZNA^ENIQ IZ [m : M ], T.E. ∃x01x02rIS. 2rASSEKAEM TELO T PLOSKOSTX@ x1= x01 ∈ (a; b) I POLU^AEM PLASTINU P S PLO]ADX@ψ2 (x01 )Z=f (x01 , x2 )dx2 .ψ1 (x01 )rIS. 3a T.K. TO^KA x01 ∈ (a; b) – PROIZWOLXNAQ, TO, S ISPOLXZOWANIEM IZWESTNOJ FORMULY, NAHODIM:ZbZZf dσ =aGaaψ1 (x1 )ψ1 (x1 )ÌÃÒÓÌÃÒÓV (T ) =)ψZ2 (x1 )Zb ( ψZ2 (x1 )ZbS(x1 )dx1 =f (x1 , x2 )dx2 dx1 ≡ dx1f (x1 , x2 )dx2 dx2ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓS(x01 )ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓpUSTX pROX1 G = [a; b] I GRANICA ΓG OBLASTI G PERESEKAETSQ PRQMOJ, ORTOGONALXNOJ OX1 I PROHODQ]EJ ^EREZ L@BU@ TO^KU (a; b), W DWUH TO^KAH.

tOGDA x2 = ψ1 (x1 ) I x2 = ψ2 (x1 ) – URAWNENIQ NIVNEGOI WERHNEGO U^ASTKOW ΓG SOOTWETSTWENNO.0√1=2√Z2/2nonn √2 √2 o √23 o 2/21x11 − x22 − x22 dx2 =x2 − 2 =−=.23 02 26603ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12x2ÔÍ-120ÌÃÒÓGÔÍ-12P.S. oSI Ox1 I Ox2 – RAWNOPRAWNY I PRI WYPOLNENII OGOWORENNYH USLOWIJ MY MOVEM PROEKTIROWATXG NA Ox2 .pRIMER. pUSTX G PREDSTAWLENA NA RIS.4.

tOGDA√ 2√√ZZZ2/2Z1−x2Z2/2 2 √1−x2x1 2x1 dσ =dx2x1 dx1 =dx2 =2 x2ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12rIS. 4ÌÃÒÓaGZZÔÍ-12dx1aGf dx2 .ψ1 (x1 )ÔÍ-12G{−f }dσ =ψ1 (x1 )ψZ2 (x1 )ZbZZf dσ = −aψ1 (x1 )ÌÃÒÓlekciq 2. pUSTX f (x1 , x2 ) < 0 NA G. w \TOM SLU^AE – f (x1 , x2 ) > 0 W G I OB_EM V (T )ψZψZ2 (x1 )2 (x1 )ZbZZZb{−f }dσ =dx1CILINDRI^ESKOGO TELA T RAWEN:{−f }dx2 = − dx1f dx2 .

pRI \TOMeSLI W G FUNKCIQ f MENQET ZNAK, TO RAZBIWAEM G NA SISTEMU PODOBLASTEJ {GZZPERESEk }, KOI MOGUT ZZXKATXSQ LI[X PO GRANICAM I W KAVDOJ PODOBLASTI {Gk } f SOHRANQET ZNAK. tOGDAI KAVDYJ INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI WY^ISLQEM STANDARTNYM SPOSOBOM.f dσf dσ =GkGkpUSTX SU]ESTWUETZZÌÃÒÓÌÃÒÓzAMENA PEREMENNYH W DWOJNOM INTEGRALE.f (x1 , dx2 )dx1 dx2 , NO EGO NEPOSREDSTWENNOE WY^ISLENIE ZATRUDNITELXNO.GpROIZWEDEM ZAMENU PEREMENNYH:x1 = ϕ1 (u, v)x2 = ϕ2 (u, v)(1),ÔÍ-12ÔÍ-12GDE ϕ1 I ϕ2 OPREDELENY I NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMY W NEKOTOROJ OBLASTI D ⊂ R2 IZMENENIQNOWYH NEZAWISIMYH PEREMENNYH.

kROME TOGO, BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO NI W ODNOJ TO^KE OBLASTI DFUNKCIONALXNYJ OPREDELITELX ∂ϕ1 /∂u ∂ϕ1 /∂v J(u, v) , ∂ϕ2 /∂u ∂ϕ2 /∂v (2),QKOBIANOMrIS. 5pRI \TOM GRANI^NYE TO^KI PEREHODQT W GRANI^NYE, A WNUTRENNIE TO^KI – WO WNUTRENNIE.ÔÍ-124ÔÍ-12ÔÍ-12(3).ÌÃÒÓu = Φ(x1 , x2 )v = Ψ(x1 , x2 )ÌÃÒÓÌÃÒÓNAZYWAEMYJ, NE OBRA]AETSQ W NULX, T.E. J(u, v) – NEPRERYWNAQ ZNAKOPOSTOQNNAQ W DFUNKCIQ.sDELANNYE PREDPOLOVENIQ GARANTIRU@T SU]ESTWOWANIE OBRATNOGO K (1) OTOBRAVENIQ G W D:ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12dLQ ZAPISI ISKOMOGO INTEGRALA PRI ISPOLXZOWANII PREOBRAZOWANIQ (1) RAZBIWAEM D NA SISTEMUPODOBLASTEJ DWUMQ SEMEJSTWAMI PRQMYH {u = uk } ∧ {v = vi }.

w \TOM SLU^AE OBLASTX G DWUMQSEMEJSTWAMI KRIWYH {uk = Φ(x1 , x2 )} ∧ {vi = Ψ(x1 , x2 )} TAKVE RAZBIWAETSQ NA SISTEMU PODOBLASTEJ{Gki }, KOTORYE MOGUT PERESEKATXSQ LI[X PO GRANICAM.pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI Mki ←→ Pki I Ni ↔ Pi . s TO^NOSTX@ DO BESKONE^NO MALYH BOLEE−−−→ −−−→WYSOKOGO PORQDKA m(Gki ) RAWNA PLO]ADI PARALLELOGRAMMA, ”NATQNUTOGO” NA WEKTORY Pki P1 I Pki P2 ,T.E.ÌÃÒÓ≡ |J(Mki )| · m(Dki )ÔÍ-12ZZf (x1 , x2 )dx1 dx2 =Xlimmax d(Gki )→0Gf (Pki )m(Gki ) =k,i=limmax d(Dki )→0Xf (Pki )|J(Mki )|m(Dki ) =k,i=f (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v) |J(u, v)|dudvGzAME^ANIQ.ÌÃÒÓÌÃÒÓZZÔÍ-12tAKIM OBRAZOM, IMEEM:1.1 0 ≡0 ∆uk · ∆vi ≡ÌÃÒÓ ϕ1 (Mki ) ϕ2 (Mki ) 1 ϕ1 (Mki )ϕ2 (Mki )m(Gki ) ≈ mod ϕ1 (N1 ) ϕ2 (N1 ) 1 ≡ mod ϕ1 (N1 ) − ϕ1 (Mki ) ϕ2 (N1 ) − ϕ2 (Mki ) ϕ1 (N2 ) ϕ2 (N2 ) 1 ϕ1 (N2 ) − ϕ1 (Mki ) ϕ2 (N2 ) − ϕ2 (Mki ) ϕ1 (N1 ) − ϕ1 (Mki ) ϕ2 (N1 ) − ϕ2 (Mki ) ≈ mod ∂ϕ1 (Mki )/∂u ∂ϕ2 (Mki )/∂u≡ mod ∂ϕ1 (Mki )/∂v ∂ϕ2 (Mki )/∂vϕ1 (N2 ) − ϕ1 (Mki ) ϕ2 (N2 ) − ϕ2 (Mki )mOVNO POKAZATX KORREKTNOSTX POLU^ENNOGO REZULXTATA I W SLU^AE OBRA]ENIQ W NULX QKOBIANAÔÍ-12rIS.

6ÔÍ-125ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12J(u, v) PREOBRAZOWANIQ (1) W ODNOJ ILI NESKOLXKIH TO^KAH OBLASTI D.RβxRbpRIMER 1. pUSTX d > 0 I 0 < α < β. w INTEGRALE dx f (x, y)dy NUVNO SDELATX ZAMENUαx a 1 − v −u x = u − uv = u.PEREMENNYH:. iMEEM J(u, v) = y = uvvu α u = x + y = (1 + α)xy = αx =⇒=⇒ v =uv = αx1+αβ y = βx =⇒ (SOWER[ENNO ANALOGI^NO) =⇒ v =.1+βαβ<.a TAK KAK (0 < α < β), TO1+α1+βd(x = d) =⇒ (d = u − uv) =⇒ v = 1 −.u(x = 0 = y) =⇒ (u = 0).rAWENSTWO J(0, v) = 0 PRIWODIT K WYROVDENI@ UGLOWOJ TO^KI W OTREZOK (SM. RIS.6 I RIS.7).ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12RddxRβxf (x, y)dy =αxβ/(1+β)Rdvd/(1−v)Rf (u − uv; uv)udu.0α/(1+α)ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12rIS. 702.ÌÃÒÓÔÍ-12pEREHOD K POLQRNYM KOORDINATAM: cos ϕ −r sin ϕ ≡r=⇒ J(r, ϕ) = sin ϕsin ϕ ZZf (r cos ϕ, r sin ϕ)r dr dϕf (x1 , x2 )dx1 dx2 =x1 = r cos ϕx2 = r sin ϕZZDpRIMER 2.3.ZZZ2π Z2q1 re · rdr = 2π(e2 − e).(x21 + x22 )−1/2 exp( x21 + x22 )dx1 dx2 = dϕr01≤x21 +x22 ≤41pLO]ADX PLOSKOJ FIGURY G = {r = r(ϕ); ϕ1 < ϕ < ϕ2 }:Zϕ2ZZdx1 dx2 =r(ϕ)ZZϕ21dϕrdr =r2 (ϕ)dϕ2ϕ1G0ÌÃÒÓÌÃÒÓm(G) =4.ÔÍ-12ÔÍ-12Gϕ1pEREHOD K OBOB]ENNYM POLQRNYM KOORDINATAM: a cos ϕ −ar sin ϕ = abr=⇒ J(r, ϕ) = bsinϕbsinϕZZf (x1 , x2 )dx1 dx2 =f (ar cos ϕ, br sin ϕ)abrdrdϕGDpRIMER 3.nAJTI OB_EM V , OGRANI^ENNYJ \LLIPSOIDOM S2 222 22x1 /a + x2 /b + x3 /c = 1.rZZx21 x22x1 = ar cos ϕ 0 ≤ r ≤ 1=V =2c 1 − 2 − 2 dx1 dx2 =x2 = br sin ϕ 0 ≤ ϕ ≤ 2πabPOLUOSQMIÔÍ-12ÔÍ-12x1 = ar cos ϕx2 = br sin ϕZZa, b, c:Z2π= 2abcdϕ0Z1 √1 − r2 r dr = 4πabc0Z1 √41 − r2 rdr = πabc30pLO]ADX POWERHNOSTIÌÃÒÓÌÃÒÓ2x21 + x2 ≤1a2b2ÔÍ-12ÔÍ-12lekciq 3.

pUSTX FUNKCIQ z = f (x1 , x2 ) OPREDELENA I NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA W ZAMKNUTOJ OBLASTI G ⊂ R2 : d(G) < ∞, m(G) < ∞. w \TOM SLU^AE POWERHNOSTX x1x1S =  x2  ∈ R3 : z = f (x1 , x2 ), ∀∈ G ⊂ R2x2zQWLQETSQ GLADKOJ, T.E. W L@BOJ TO^KE K NEJ MOVET BYTX PROWEDENA KASATELXNAQ PLOSKOSTX, NORMALXKOTOROJ NEPRERYWNO ZAWISIT OT TO^KI KASANIQ.ÌÃÒÓÔÍ-126ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12rIS.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций