Кратные и криволинейные интегралы (1077063), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE REZULXTAT NE ZAWISIT OT PROFILQ L I OPREDELQETSQ LI[X KONCEWYMITO^KAMI.Z−yxdx + 2dy =22x +yx + y2x = cos t ; dx = − sin tdty = sin t ; dy = cos tdtZ2πno=sin2 t + cos2 t dt = 2π0x2 +y 2 =1fORMULA gRINAÔÍ-12ÔÍ-12pRIMER 2.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓpRI DALXNEJ[IH RASSUVDENIQH OBLASTX G ⊂ R, OGRANI^ENNU@ ZAMKNUTYM KONTUROM L, BUDEMNAZYWATX ODNOSWQZNOJ, ESLI L@BOJ ZAMKNUTYJ KONTUR l ⊂ G MOVET BYTX STQNUT W TO^KU BEZ PERESE^ENIQ ΓG .rIS. 17pUSTX G ⊂ R2 - ODNOSWQZNAQ OBLASTX, OGRANI^ENNAQ KUSO^NO-GLADKIM ZAMKNUTYM KONTUROM L, IW ZAMKNUTOJ OBLASTI G ∪ L OPREDELENY I NEPRERYWNY SKALQRNYE FUNKCII P (x, y), Py0 (x, y), Q(x, y),ÔÍ-1214ÌÃÒÓQ0x (x, y).ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12xx;xBDA : y = ϕ2 (x)DAC : x = ψ1 (y)xACB : y = ϕ1 (x)CBD : y = ψ2 (x)ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12pUSTX PRQMYE, PARALLELXNYE KOORDINATNYM OSQM, PERESEKA@T L NE BOLEE ^EM W DWUH TO^KAH(PRQMYE x = a, x = b I y = c, y = d MOGUT PERESEKATX ΓG I PO OTREZKAM PRQMYH) I pROX G = [a, b],pROY G = [c, d], A U^ASTKI KONTURA L OPISYWA@TSQ URAWNENIQMI:w \TOM SLU^AEÔÍ-12ACBBDAZaP (x, ϕ1 (x))dx +=aP (x, y)dx +xZbP (x, y)dx +Qdy =LZZcP (x, ϕ2 (x))dx +bZdQ(ψ1 (y), y)dy +ZQ(x, y)dy +DACCBDZb nϕ2 (x) odx+Q(ψ2 (y), y)dy = −P (x, y)ϕ1 (x)cdQ(x, y)dy =ÔÍ-12LZZxP dx +LP dx + Qdy =ZxZxZaϕZ2 (x)ψZ2 (y)Zd nZbZdZZ nψ2 (y) oo∂P (x, y)∂Q(x, y)00+Q(x, y)dy = − dxQx − Py dxdydy + dydx =∂y∂xψ1 (y)pOLU^ENNOE RAWENSTWOZÌÃÒÓacϕ1 (x)Gψ1 (y)ZZ noP dx + Q dy =Q0x − Py0 dxdy IZWESTNO KAKLFORMULA gRINA.GÌÃÒÓcpRIMER 2 .

w USLOWIQH PRIMERA 2P =(x2 + y 2 ) − 2y 2y 2 − x2−y0=⇒P=−=yx2 + y 2(x2 + y 2 )2(x2 + y 2 )2ÔÍ-12ÔÍ-12∗xy 2 − x2(x2 + y 2 − 2x20Q= 2=⇒ Qx == 2x + y2(x2 + y 2 )2(x + y 2 )2fORMALXNO PO FORMULE gRINAZÌÃÒÓx2 +y 1 =1x2 +y 2 ≤10 · dxdy = 0.ÌÃÒÓZZ nZZo00P dx + Qdy =Qx − Py dxdy =x2 +y 2 ≤1nESOOTWETSTWIE S RANEE POLU^ENNYM REZULXTATOM OBUSLOWLENO TEM, ^TO FORMULA gRINA BYLA POLU^ENA W PREDPOLOVENII NEPRERYWNOSTI W G ∪ ΓG FUNKCIJ P , Py0 , Q I Q0x , A W RASSMATRIWAEMOM PRIMERE\TO USLOWIE NE WYPOLNQETSQ W TO^KE θ.ABBABCCBÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12xxx15x(SM.RIS.)ÔÍ-12zAME^ANIE 1.

pUSTX PRQMYE, PARALLELXNYE KOORDINATNYM OSQM, PERESEKA@T ΓG BOLEE, ^EM WDWUH TO^KAH, NO WSE OSTALXNYE DOPU]ENIQ, PRI KOTORYH POLU^ENA FORMULA gRINA WYPOLNENY.ZZZZ+= 0 =+ , POLU^AEMwOSPOLXZOWAW[ISX SWOJSTWAMI KRIWOLINEJNOGO INTEGRALAÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓZZZ++Z++Z+xxxxxxBαAABAβCCBBACγBBCrIS. 18ZZ nZZ noo00=Qx − Py dxdy +Q0x − Py0 dxdy+G1G2G3GÔÍ-12ZZ nZZo 000Qx − Py0 dx dy,+Qx − Py dxdy =ÔÍ-12ΓG+Zx=ZZÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12++Z o+nZZ+rIS. 19ZZ o ZZ nZZ noo00++=Qx − Py dxdy +Q0x − Py0 dxdy =xxxxxxÔÍ-12+ZxAM DDCCβBBADN AABBαCCDG1G2GT.E. FORMULA gRINA PRIMENIMA I DLQ NEODNOSWQZNYH OBLASTEJ.uSLOWIQ NEZAWISIMOSTI KRIWOLINEJNOGO INTEGRALA OT PUTI INTEGRIROWANIQÌÃÒÓZZ no=Q0x − Py0 dxdy,ÌÃÒÓΓGZx=n ZÔÍ-12ZÌÃÒÓÌÃÒÓT.E.

FORMULA gRINA PRIMENIMA I DLQ NEWYPUKLYH OBLASTEJ.zAME^ANIE 2. pUSTX PRI WYWODE FORMULY gRINA NARU[ENO USLOWIE ODNOSWQZNOSTI OBLASTI G.pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI G - DWUHSWQZNAQ OBLASTX S POLOVITELXNOJ ORIENTACIEJ ΓG - PRI EE OBHODEG OSTAETSQ SLEWA.

rAZREZAMI AB I CD PREWRA]AEM G W DWE ODNOSWQZNYE OBLASTI G1 , G2 IPROFILQ AB ∈ G;(4)≡Q0y, ∀xy∈ G.xAB16ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12P dx + QdyPy0ÌÃÒÓ(2)NE ZAWISIT OTxZlÔÍ-12tEOREMA. eSLI P (x, y), Py0 (x, y), Q(x, y), Q0x (x, y) OPREDELENY I NEPRERYWNY W ZAMKNUTOJ OGRANI^ENNOJ ODNOSWQZNOJ OBLASTI G ∪ L, GDE L , ΓG , TO SLEDU@]IE ^ETYRE USLOWIQ \KWIWALENTNY:ZP dx + Qdy = 0, ∀ l ∈ G ;(1)(3) W G OPREDELENA u(x, y) : du = P dx + Qdy ;ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12dOSTATO^NO DOKAZATX, ^TO (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1).ÔÍ-12ÔÍ-12dOKAZATELXSTWO.ÌÃÒÓÔÍ-12rIS.

20Z≡≡+Z, T.E.−Zxxxxx(AαB)∪(BβA)ZZAαBBβAAαBAβBABxZAWISIT OT PROFILQ AB ∈ G.NEÌÃÒÓÌÃÒÓ(1) ⇒ (2). pUSTX (1) IMEET MESTO. tOGDA 0 ≡ZP dx + Qdy IxÌÃÒÓrIS. 21ABu(x + ∆x, y) − u(x, y)1∂u= lim= lim∆x→0 ∆x∂x ∆x→0∆xn≡ T.K. BB1 k OXoZP dx + Qdy ≡−−→BB 11≡ lim∆x→0 ∆xZ∆xP (x, y)dx = lim P (x + θ∆x, y)∆x→0xÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓtOGDA u(x, y) ,ZÔÍ-12ÔÍ-12(2) ⇒ (3).

pUSTX (2) IMEET MESTO. pUSTX TO^KA A = [x0 , y0 ]T ∈ G - FIKSIROWANA I TO^KA B = [x, y] –PROIZWOLXNA.= P (x, y),0≤θ≤1T.K. P (x, y) NEPRERYWNA W G. aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ: u0y = Q. t.O. du = u0x dx + u0y dy = P dx + Qdy,^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.ÌÃÒÓÌÃÒÓ(3) ⇒ (4). pUSTX (3) IMEET MESTO, T.E. ∃ u(x, y) : du = P dx + Qdy. a T.K. Py0 , Q0x OPREDELENY INEPRERYWNY W G ∪ ΓG , TO PO TEOREME O SME[ANNYH PROIZWODNYH IMEEM: Q0x = {u0y }0x ≡ {u0x }0y = Py0 WG, ^TO I T.D.(4) ⇒ (1). pUSTX (4) IMEET MESTO I l - L@BOJ ZAMKNUTYJ KONTUR, OHWATYWA@]IJ OBLASTX D ⊂ G.tOGDA WYPOLNENY WSE USLOWIQ REALIZACII FORMULY gRINA IZP dx + Qdy ={Q0y−Px0 }ZZdxdy =D0 · dxdy = 0, ^TO I T.D.DpOWERHNOSTNYE INTEGRALYÔÍ-12ÔÍ-12lZZpONQTIE POWERHNOSTNOGO INTEGRALA I-GO RODA.

pUSTX W TO^KAH KUSO^NO-GLADKOJ POWERHNOSTI S, OGRANI^ENNOJ KUSO^NO-GLADKIM ZAMKNUTYM KONTUROM ΓS , OPREDELENA OGRANI^ENNAQ FUNKCIQÔÍ-1217ÌÃÒÓf (x, y, z).ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓrIS. 22pUSTX Π - RAZBIENIE S NA SISTEMU PODOBLASTEJ {Sk }, PERESEKA@]IHSQ, BYTX MOVET, LI[X POGRANICAM, S OTME^ENNYMI TO^KAMI {Mk }, GDE Mk ∈ Sk . eSLI ∆σk , m(Sk ) - PLO]ADX Sk I WNEZAWISIMOSTI OT WYBORA RAZBIENIQ Π SU]ESTWUET I KONE^ENf (Mk )∆σk , TO EGO NAZYWA@TkZZf (x, y, z)dσ.FUNKCII f PO POWERHNOSTI S I OBOZNA^A@Tmax d(Sk )→0SÔÍ-12ÔÍ-12POWERHNOSTNYM INTEGRALOM I-GO RODAXlimÌÃÒÓÌÃÒÓzAME^ANIQ.1.

pEREMENNYE x, y, z W POWERHNOSTNOM INTEGRALE I-GO RODA NE QWLQ@TSQ SWOBODNYMI. oNI SWQZANYURAWNENIEM POWERHNOSTI.   xx32y2. eSLI, NAPRIMER, S ,∈ R : z = z(x, y),– GLADKAQ POWERHNOSTX,∈G⊂RyzNA KOTOROJ OPREDELENA NEPRERYWNAQ FUNKCIQ f (x, y, z), TO G = pRXOY S I Gk , pRXOY Sk ,Pk , pRXOY Mk - \LEMENTY RAZBIENIQ OBLASTI G. kROME TOGO, qZZ qT.OSREDNEM0 )2 + (z 0 )2 ·m(G ).1 + (zx0 )2 + (zy0 )2 dxdy ==1+(z∆σk , m(Sk ) = ∗kxy∃ Pk∗ ∈ GkPkGka T.K. Mk =q"1+{zx0 (Pk∗ )}2+{(zy0 (Pk∗ )}2−−→∗1 + {zx0 (Pk )}2 + {(zy0 (Pk )}2 + o( kPk P k k ).#Pk, TO, PEREHODQ K PREDELU W INTEGRALXNOJ SUMME, POLU^AEM:z(Pk )ZZZZf (x, y, z) dσ =Sqf (x, y, z(x, y)) 1 + {zx0 (x, y)}2 + {(zy0 (x, y)}2 dxdyGÌÃÒÓÌÃÒÓ=qÔÍ-12ÔÍ-12nO zx0 I zy0 - NEPRERYWNY W G, T.K.

S - GLADKAQ POWERHNOSTX, T.E.pOWERHNOSTNYJ INTEGRAL II-GO RODAÔÍ-12ÔÍ-123. pOWERHNOSTNYJ INTEGRAL I-GO RODA OBLADAET STANDARTNYMI SWOJSTWAMI, ^TO SLEDUET IZ EGOSWQZI S DWOJNYM INTEGRALOM. oN ISPOLXZUETSQ, W ^ASTNOSTI, PRI OPREDELENII STATI^ESKIH MOMENTOWI MOMENTOW INERCII TONKIH NEODNORODNYH POWERHNOSTEJ.oPREDELENIE 1. gLADKU@ POWERHNOSTX S NAZYWA@T DWUHSTORONNEJ, ESLI OBHOD PO L@BOMU ZAMKNUTOMU KONTURU, LEVA]EMU NA POWERHNOSTI S I NE IME@]EMU S EE GRANICEJ ΓS OB]IH TO^EK, NEMENQET NAPRAWLENIE NORMALI K S NA PROTIWOPOLOVNOE.ÌÃÒÓÔÍ-1218ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓrIS.

23ÌÃÒÓÌÃÒÓzADA^A O POTOKE NESVIMAEMOJ VIDKOSTI^EREZ PROZRA^NU@ ORIENTIROWANNU@ POWERHNOSTXÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12zAME^ANIQ K OPREDELENI@ 1.1. l@BU@ POWERHNOSTX, KOTORAQ NE QWLQETSQ DWUHSTORONNEJ, NAZYWA@T ODNOSTORONNEJ POWERHNOSTX@ - PRIMER TAKOWOJ - LIST m<BIUSA.2.

wSQKAQ GLADKAQ POWERHNOSTX, ZADANNAQ URAWNENIEM z = z(x, y) - DWUHSTRONQQ.3. l@BAQ ZAMKNUTAQ POWERHNOSTX BEZ SAMOPERESE^ENIJ (NAPRIMER SFERA) - DWUHSTORONNQQ POWERHNOSTX.oPREDELENIE 2. pUSTX W R3 S FIKSIROWANNOJ LEWOJ (PRAWOJ) DEKARTOWOJ SISTEMOJ KOORDINATOPREDELENA DWUHSTORONNQQ POWERHNOSTX S, OGRANI^ENNAQ ZAMKNUTYMI KONTURAMI {Lk }nk=1 . gOWORQT,^TO S ORIENTIROWANA PO PRAWILU WNE[NEJ NORMALI, ESLI NABL@DATELX, RASPOLOVENNYJ NA POWERHNOSTI TAK, ^TO NAPRAWLENIE OT NOG K GOLOWE SOWPADAET S NAPRAWLENIEM WEKTORA NORMALI ~n, NABL@DAETnPOLOVITELXNYJ OBHOD KONTUROW {Lk }k=1 - OBLASTX (POWERHNOSTX) S OSTAETSQ SLEWA (SPRAWA DLQ PRAWOJSISTEMY KOORDINAT).pUSTX R3 ZAPOLNENO STACIONARNO DWIVU]EJSQ NESVIMAEMOJ VIDKOSTX@ S WEKTOROM SKOROSTIÔÍ-12ÔÍ-12V~ (x, y, z) = ~iP (x, y, z) + ~jQ(x, y, z) + ~kR(x, y, z).nEOBHODIMO OPREDELITX KOLI^ESTWO VIDKOSTI, PROTEKA@]EE W EDINICU WREMENI ^EREZ ORIENTIROWANNU@ PO PRAWILU WNE[NEJ NORMALI POWERHNOSTX S, PROZRA^NU@ DLQ VIDKOSTI.rIS.

24rE[ENIEΠ=limmax d(Sk )→0XV~ (Mk ); ~n0 (Mk ) · m(Sk )kÌÃÒÓÌÃÒÓ. pUSTX IMEEM RAZBIENIE {Sk } POWERHNOSTI S I {Mk } - PROIZWOLXNYE OTME^ENNYE TO^KI.tOGDA ISKOMYJ POTOK (KOLI^ESTWO VIDKOSTI W EDINICU WREMENI)(∗)ÔÍ-12Sσ , m(S), ~n0 - EDINI^NYJ WEKTOR DLQ ~n.ÔÍ-1219ÌÃÒÓSÔÍ-12zAME^ANIQ.1. eSLI PREDEL W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA (∗) SU]ESTWUET, KONE^EN I NE ZAWISIT OT WYBORA RAZBIENIQ S I WYBORA OTME^ENNYH TO^EK, TO EGO NAZYWA@T POWERHNOSTNYM INTEGRALOM WEKTORNOJ FUNKCIIV~ (x, y, z) PO POWERHNOSTI S, ORIENTIROWANNOJ PO PRAWILU WNE[NEJ NORMALI (POWERHNOSTNYM INTEGRALOM II-GO RODA) I OBOZNA^A@TZZZZd cd(V~ (x, y, z); ~n0 (x, y, z))dσ ≡P cos(~n;~i) + Q cos(~n; ~j) + R cos(~n; ~k) dσÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-122.

pOWERHNOSTNYJ INTEGRAL II-GO RODA - POWERHNOSTNYJ INTEGRAL I-GO RODA, ZAWIcQ]IJ NE TOLXKO~ = ~i P + ~j Q + ~k R, NO I OT NAPRAWLENIQ WNE[NEJ NORMALI W KAVDOJ TO^KEOT WEKTORNOJ FUNKCII VPOWERHNOSTI S.3.ZZd cdP cos(~n;~i) + Q cos(~n; ~j) + R cos(~n; ~k) dσ ≡ZZcP cos(~n;~i)dσ +ZZZZdR cos(~n; ~k)dσ.SSSSdQ cos(~n; ~j)dσ +GxyÌÃÒÓÌÃÒÓSÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ4.

dLQ ODNOSTORONNEJ POWERHNOSTI PONQTIE POWERHNOSTNOGO INTEGRALA II-GO RODA NE WWODITSQ.5. pRI PEREHODE NA PROTIWOPOLOVNU@ STORONU POWERHNOSTI S POWERHNOSTNYJ INTEGRAL II-GO RODAMENQET ZNAK.   xx6. eSLI S =  y  : z = z(x, y);∈ Gxy I WEKTOR NORMALI ~n(x, y, z) OBRAZUET S OZyzOSTRYJ UGOL, T.E. INTEGRAL BERETSQ PO ”WERHNEJ” ^ASTI POWERHNOSTI S, TOZZZZd~R(x, y, z) cos(~n; k)dσ =R x, y, z(x, y) dxdyrIS.

25ÔÍ-12ZZZZP dydz +SÔÍ-12pO\TOMU (SM. RIS.) PRI ZAPISI POWERHNOSTNOGO INTEGRALA II-GO RODA ISPOLXZU@T I SLEDU@]U@ FORMU:ZZQ dzdx +SR dxdy.SÌÃÒÓÌÃÒÓpRIMER 1. pUSTX S - WNE[NQQ ^ASTX WERHNEJ POLUSFERY RADIUSA a S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT,T.E.  xpS =  y  : z = a2 − x 2 − y 2 ; x 2 + y 2 ≤ a2 .zw \TOM SLU^AEZZJ,z 3 dxdy = +ÔÍ-12{a2 − x2 − y 2 }3/2 dxdy =x = r cos ϕy = r sin ϕZ2π=Zadϕ0x2 +y 1 ≤a2= 2π −12(a2 − r2 )3/2 rdr =0(a2 − r2 )5/2 ·2 a 2π 5a =5 0 5ÔÍ-12SZZ7. sOWER[ENNO ANALOGI^NO MOVNO RASSMATRIWATX POWERHNOSTNYJ INTEGRAL II-GO RODA PO ORIENTIROWANNOJ ZAMKNUTOJ POWERHNOSTI.ÌÃÒÓÔÍ-1220ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12pRIMER 2.Rdxdy ≡P dydz ≡xdydz + ydxdy ≡ J1 + J2 , GDE J1 ,ÔÍ-12pUSTX S OGRANI^IWAET PRQMOJ KRUGOWOJ CILINDR WYSOTY h I S RADIUSOMpUSTX S ORIENTIROWANA PO PRAWILUWNE[NEJWY^ISLITXZZZZ NORMALI I NEOBHODIMOZZZZJ =ÌÃÒÓÔÍ-12SSSSSydxdy.ÌÃÒÓÌÃÒÓsOGLASNO RIS.

IMEEM:xdydz, J2 ,ÔÍ-12OSNOWANIQa.ZZÌÃÒÓrIS. 26ZZZZd~y cos(~n; k) dσ++=−ydxdy +ydxdy≡0.J2,−| {z }=0S2S1x2 +y 2 ≤a2x2 +y 2 ≤a2ZZZZ S3ZZccJ1 =x cos(~n;~i) dσ +x cos(~n;~i) dσ +xdydz.| {z }| {z }=0=0S1S3  S2 x2222ya T.K. S3 =: x + y = a ∧ 0 ≤ z ≤ h , TO S3 = S3+ ∪ S3− , GDE S3+ - ”PEREDNQQ” ^ASTX S3 ,zWNE[NQQ NORMALX K KOTOROJ OBRAZUET OSTRYJ UGOL S OX, A S3− - ”ZADNQQ” ^ASTX S3 . tAKIM OBRAZOM:ÔÍ-12ÌÃÒÓZZ−J1 =Zhdz=20ZZ≡S3−Za p−aZZ p+ a2 − y 2 dydz −−a ≤ y ≤ a0≤z≤hon p− a2 − y 2 dydz =−a ≤ y ≤ a0≤z≤hZa pZπ/2πy=asintcos2 tdt =a2 − y 2 dy = 4ha2 − y 2 dy =;0 ≤ ϕ ≤= 4ha2dy = a cos tdt200= 2ha2Zπ/20ÔÍ-12ÔÍ-12fORMULA oSTROGRADSKOGO-gAUSSA1 + cos 2t dt = πha2ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12S3+ZZÌÃÒÓZZZZÔÍ-12ZZpUSTX TREHMERNAQ OBLASTX T ⊂ R3 OGRANI^ENA KUSO^NO-GLADKIMI POWERHNOSTQMI S1 , S2 I CILINDRI^ESKOJ POWERHNOSTX@ S3 , OBRAZU@]AQ KOTOROJ PARALLELXNA OZ.

Характеристики

Список файлов лекций