Теория функций комплексной переменной (1077064)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1.ÌÃÒÓÔÍ-12tfkpoB]IE ZAME^ANIQÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓlekciq 1.eSLI KAVDOJ TO^KE z MNOVESTWA G ⊂ C PO ZAKONU f STAWITSQ W SOOTWETSTWIE EDINSTWENNYJ\LEMENT w ∈ Q ⊂ C, TO GOWORQT, ^TO NA MNOVESTWE G OPREDELENA KOMPLEKSNAQ FUNKCIQ w = f (z)KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO z I Q ⊂ C – EE OBLASTX ZNA^ENIJ.2.ÌÃÒÓ3.pUSTX ZADANA FUNKCIQ w = f (z), GDE z = x + iy ≡x. tAKIM OBRAZOM f (z) ≡ f (x, y). eSLIy4u(x, y) = Re f (z), v(x, y) = Im f (z),ÔÍ-12ÔÍ-124ÌÃÒÓtAK KAK C OTLI^AETSQ OT R2 NALI^IEM WTOROGO WNUTRENNEGO ZAKONA – OPERACIQ UMNOVENIQ KOMPLEKSNYH ^ISEL, TO f (z) OBLADAET WSEMI STANDARTNYMI SWOJSTWAMI WEKTORNYH FUNKCIJ WEKTORNOGOARGUMENTA. pO\TOMU PREDMET ISSLEDOWANIJ tfkp – SPECIFI^ESKIE OSOBENNOSTI KOMPLEKSNYH FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO, OBUSLOWLENNYE NALI^IEM WTOROGO WNUTRENNOGO ZAKONA.TO IMEEM:f (z) = u(x, y) + iv(x, y),GDE u(x, y), v(x, y) – SKALQRNYE FUNKCII DWUH WE]ESTWENNYH PEREMENNYH x I y.pRIMER.f (z) = z 2 , T.E.f (z) = (x + iy)2 = (x2 − y 2 ) + i 2xy.u(x, y) ≡ Re f (z) = x2 − y 2 I v(x, y) ≡ Im f (z) = 2xy.tAKIM OBRAZOM,I.z 4e =∞Xzkk=0k!ÌÃÒÓÌÃÒÓtRANSCENDENTNYE FUNKCII|z| < ∞.;sWOJSTWA ez .eSLI ϕ – WE]ESTWENNOE ^ISLO, TO cos ϕ = (eiϕ + e−iϕ ) 2 I sin ϕ = (eiϕ − e−iϕ ) 2i.J pRI z ≡ iϕ IMEEM:∞Xϕ2kϕ2k+1(−1)(−1)k=+i= cos ϕ + i sin ϕ.e =k!(2k)!(2k + 1)!k=0k=0k=0pOLAGAQ z = i(−ϕ), POLU^IM e−iϕ = cos ϕ − i sin ϕ.

iZ POLU^ENNYH RAWENSTW I SLEDU@T ISKOMYEPREDSTAWLENIQ DLQ cos ϕ I sin ϕ. Iiϕ 4∞ k kXi ϕ∞XÔÍ-12ÔÍ-121.k12. ez1 +z2 = ez∞· ez2ÌÃÒÓÌÃÒÓ()∞∞ X∞nknX zk XXm=k+nm>0;06S6m,T.K.n>0,Iz2z1 · z21J ez1 · ez2 ==== n=m−Sk! n=0 n!k! n!S=kk=0k=0 n=0∞ Xm∞m∞ Xm−SSXXXz1 · z21m!(z1 + z2 )mSm−S=z1 · z2== ez1 +z2 I=S!(m−S)!m!S!(m−S)!m!m=0 S=0m=0{z} m=0 S=0 |3. ez – PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ S PERIODOM 2πi.J ez+2πi = ez · e2πi = ez (cos 2π + i sin 2π) = ez .

I4.eSLI z = x + iy, TO |ez | = ex I arg ez = y; Re az = ex cos y I Im ez = ex sin y.J ez = ex+iy = ex · eiy = ex {cos y + i sin y}, OTKUDA I SLEDU@T ISKOMYE RAWENSTWA. I= cos 1 + i sin 1.1ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12iÌÃÒÓpRIMER 1. eÔÍ-12ÔÍ-12SCmÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-121+i π4∞X√ e 2= e · cos π 4 + i sin π 4 =(1 + i)2z 2k;cos z =(−1)(2k)!k=0II.4k4sin z =∞X(−1)kk=0z 2k+1;(2k + 1)!ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12pRIMER 2. eÌÃÒÓÔÍ-12|z| < ∞sWOJSTWA cos z I sin z.1.

cos z = (eiz + e−iz ) 2; sin z = (eiz − e−iz ) 2i – FORMULY |JLERA.ÌÃÒÓÌÃÒÓJ oBOSNOWANIE IDENTI^NO OBOSNOWANI@ SWOJSTWA 1 FUNKCII ez . I2. cos zI sin z – PERIODI^ESKIE FUNKCII S PERIODOM 2π.J sLEDUET IZ FORMUL |JLERA I SWOJSTWA 3 FUNKCII ez . I3.dLQ cos z I sin z OSTA@TSQ KORREKTNYMI WSE FORMULY TRIGONOMETRII.J dLQ ILL@STRACII OGRANI^IMSQ DWUMQ RAWENSTWAMI:ÔÍ-12ÌÃÒÓ4.w C FUNKCII cos z I sin z NE QWLQ@TSQ OGRANI^ENNYMI.ÔÍ-12ÔÍ-12J pUSTX z = x + iy. w \TOM SLU^AE 1 −y ix 1 −y1 i (x+iy)e+ e−i(x+iy) =e · e + ey · e−ix =e (cos x + i sin x)+cos z =(1)222y+ e (cos x − i sin x)} = ch y cos x − i sh y sin x ,Re cos z = ch y cos x I Im cos z = − sh y sin x ;1 i (x+iy)1 −ysin z =e+ e−i(x+iy) =e (cos x + i sin x) − ey (cos x − i sin x) =(2)2i2i= ch y sin x + i sh y cos x ,ÌÃÒÓa TAK KAK ch y I sh y – NEOGRANI^ENNYE FUNKCII, TO | cos z| I | sin z| – NEOGRANI^ENY W C.

I,4sh z =∞Xk=0z 2k+1;(2k + 1)!|z| < ∞ÔÍ-121. ch z = {ez + e−z }/2 , sh z = {ez − e−z }/2 – FORMULY |JLERA.J fORMULY |JLERA NEPOSREDSTWENNO SLEDU@T IZ O^EWIDNYH RAWENSTW:−ze = ch z − sh z Iez = ch z + sh z ;I sh z – PERIODI^ESKIE FUNKCII S KOMPLEKSNYM PERIODOM, RAWNYM 2πi.2ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-122. ch zÔÍ-12sWOJSTWA ch z I sh z.ÌÃÒÓIII.∞Xz 2kch z =(2k)!k=0ÌÃÒÓRe sin z = ch y sin x ; Im sin z = sh y cos x.4ÌÃÒÓpRIMERÔÍ-121 iz1 iz21 i(z1 +z2 )1e− e−i(z1 +z2 ) =e · e − e−iz1 · e−iz2 = {(cos z1 + i sin z1 ) ×(1)2i2i2i× (cos z2 + i sin z2 ) − (cos z1 − i sin z1 )(cos z2 − i sin z2 )} = cos z1 sin z2 + sin z1 cos z2 ; 1 iz2 1 1 i(z1 +z2 )1 iz1−iz1−iz2cos z1 · cos z2 =e +ee +ee+ e−i(z1 +z2 ) +·=222 2(2)1 i(z1 −z2 )e+ e−i(z1 −z2 )= 0, 5 cos(z1 + z2 ) + cos(z1 − z2 )+2 1π 1 − ln 2 iπ/2+ i ln 2 =ei (π/2+i ln 2) + e−i (π/2+i ln 2) =e·e+ eln 2 · e−iπ/2 =3. cos2221 1ππππ3i=cos + i sin+ 2 cos − i sin=− .2 222224sin(z1 + z2 ) =ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓJ tAK KAK 2πi – PERIOD FUNKCII e , TO OSTALOSX WOSPOLXZOWATXSQ FORMULAMI |JLERA DLQ GIPERBOLI^ESKIH FUNKCIJ.

IÔÍ-12ÔÍ-12z3. ch zI sh z OBLADA@T STANDARTNYMI SWOJSTWAMI GIPERBOLI^ESKIH FUNKCIJ.J dLQ ILL@STRACII OGRANI^IMSQ DWUMQ RAWENSTWAMI:2 1 z21 ze + e−z −e − e−z ≡ 1 ;44 1 1 z1 +z21 z11 z2−z1−z2sh z1 · ch z2 =e −e·e +e=e− e−(z1 +z2 ) +222 2(2)1 z1 −z21+e− e−(z1 −z2 )= {sh(z1 + z2 ) − sh(z1 − z2 )} . I22ÌÃÒÓÌÃÒÓ(1) ch2 z − sh2 z =4. ch(iz) = cos z , sh(iz) = i sin zJ nEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ FORMUL |JLERA. IJ oBOSNOWANIE \TIH RAWENSTW ANALOGI^NO OBOSNOWANI@ SWOJSTWA 4 cos z I sin z. IIV.ÔÍ-12ÔÍ-125. ch z = ch x cos y + i sh x sin y ; sh z = sh x cos y + i ch x sin ylOGARIFMI^ESKAQ FUNKCIQ.

pUSTX W = ln z OPREDELQETSQ KAK FUNKCIQ, OBRATNAQ PO OTNO[ENI@ K POKAZATELXNOJ FUNCII z = exp(W ). eSLI W = u + iv I z = |z|exp(i arg z) 6= θ, TOz = exp(W ) ⇐⇒ |z| exp(i arg z) = exp(u + iv) = exp(u) · exp(iv) ⇐⇒ |z| = exp(u) ∧ (arg z = v).tAKIM OBRAZOM ln z = u + iv = ln |z| + i arg z PRI z 6= θ.pRIMER 4. (A) ln(−1) = ln | − 1| + i arg(−1) = iπ ;ÌÃÒÓÌÃÒÓ(B) ln(i) = ln |i| + i arg(i) = i π/2 ;(W) ln(3 + 4i) = ln |3 + 4i| + i arg(3 + 4i) = ln 5 + i arctg(4/3).zAME^ANIQ.41.

Ln z = ln |z| + i Arg z ≡ ln |z| + i{arg z + 2πk} = ln z + i 2πk.2. ln(z1 · z2 ) = ln z1 + ln z2 .ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12J ln(z1 · z2 ) = ln |z1 · z2 | + i arg(z1 · z2 ) = ln{|z1 | · |z2 |} + i{arg z1 + arg z2 } = ln |z1 | + i arg z1 ++ ln |z2 | + i arg z2 = ln z1 + ln z2 I3. ln(z1 z2 ) = ln z1 − ln z2 .J ln(z1 z2 ) = ln |z1 z2 | + i arg(z1 z2 ) = ln{|z1 | |z2 |} + i{arg z1 − arg z2 } = ln |z1 | + i arg z1 −− ln |z2 | − i arg z2 = ln z1 − ln z2 I4.aNALOGI^NOFUNKCIIln zWWODQTOBRATNYETRIGONOMETRI^ESKIEIGIPERBOLI^ESKIEFUNKCII.dLQILL@STRACIIRASSMOTRIMFUNKCI@W = Arcsin z ⇐⇒ z = sin W ⇐⇒ z = {exp(iW ) − exp(−iW )} 2i ⇐⇒ (eiW )2 − 2iz eiW − 1 = 0 ⇐⇒√, GDE BERUTSQ OBA ZNA^ENIQ KWADRATNOGO KORNQ.tAKIM OBRAZOM,⇐⇒ eiW = iz + 1 − z 2√2Arcsin(z) = W = −i Ln(iz + 1 − z ).√√ √5.Arcsin2=−iLn(2i+1−4)=−iLn(2i±3i)=−iLn(2±3)i =nπo π√√= −i ln |2 ± 3| + i+ 2πk=+ 2πk − i ln(2 ± 3).22pRIMERÔÍ-12ÔÍ-12lekciq 2.oPREDELENIE 1. fUNKCI@ f (x) = u(x, y) + iv(x, y) NAZYWA@T DIFFERENCIRUEMOJ W TO^KE z = x + iyOBLASTI G ⊂ C EE OPREDELENIQ, ESLI DLQ L@BOGO ∆z = ∆z + i∆y TAKOGO, ^TO (z + ∆z) ∈ G SU]ESTWUET o(|∆z|) 4 = 0.

pRI \TOMA = α + iβ TAKOE, ^TO ∆f = f (z + ∆z) − f (z) = A∆z + o(|∆z|), GDE lim ∆z→0∆z WELI^INU A = α + iβ NAZYWA@T PROIZWODNOJ f W TO^KE z I OBOZNA^A@T f 0 (z).ÌÃÒÓÔÍ-123ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓzAME^ANIEÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-121. ∆f (z) = ∆u(x, y) + i∆v(x, y), GDE ∆u(x, y) = u(x + ∆x, y + ∆y) − u(x, y) I∆v(x, y) = v(x + ∆x, y + ∆y) − v(x, y)tEOREMA1. eSLI f (z) – DIFFERENCIRUEMA W TO^KE z ∈ G, TO W \TOJ TO^KE WYPOLNENY USLOWIQkO[I-rIMANA: {u0x (x, y) = vy0 (x, y)} ∧ {u0y (x, y) = −vx0 (x, y)}, GDE u(x, y) = Re f (z) I v(x, y) = Im f (z).dOKAZATELXSTWO.ÌÃÒÓÌÃÒÓsOGLASNO USLOWIQM TEOREMY ∆u + i∆v = (α + iβ)(∆x + i∆y) + o(|∆z|), ∀ ∆z : z + ∆z ∈ G.

tAKIMOBRAZOM, IMEEM ∆u+i∆v = (α∆x−β∆y)+i(α∆y+β∆x)+ou (|∆z|)+iov (|∆z|), GDE ou (|∆z|) = Re o(|∆z|)I ov (|∆z|) = Im o(|∆z|). wOSPOLXZOWAW[ISX OPREDELENIEM RAWENSTWA KOMPLEKSNYH ^ISEL, POLU^AEM:∆u = α∆x + β∆y + ou (|∆z|) =⇒ α = u0x I β = −u0y∆v = α∆y + β∆x + ov (|∆z|) =⇒ α = vy0 I β = vx0OTKUDA I SLEDUET ISKOMOE UTWERVDENIE.sLEDSTWIE. eSLI f (z) DIFFERENCIRUEMA W TO^KE z ∈ G, TOf 0 (z) = u0x − iu0y = vy0 + ivx0 = u0x + ivx0 = vy0 − iu0y .ÔÍ-12ÔÍ-12tEOREMA 2.

eSLI f (z) OPREDELENA W G, A W TO^KE z ∈ G DLQ NEE WYPOLNENY USLOWIQ kO[I-rIMANA ISU]ESTWUET POLNYE DIFFERENCIALY EE WE]ESTWENNOJ I MNIMOJ ^ASTEJ, T.E.∆u(x, y) = u0x ∆x + u0y ∆y + ou (|∆z|), ∆v(x, y) = vx0 ∆x + vy0 ∆y + ov (|∆z|),ou (|∆z|)ov (|∆z|)GDE lim= 0 = lim, TOGDA ∃ f 0 (z).∆z→0∆z→0|∆z||∆z|ÌÃÒÓ(u0x = vy0 ) ∧ (u0y = −vx0 )} = vy0 ∆x − vx0 ∆y + ou (|∆z|) + ivy0 ∆y + ivx0 ∆x + iov (|∆z|) = {o(|∆z|) == ou (|∆z|) + iov (|∆z|)} = vy0 (∆x + i∆y) + ivx0 (∆x + i∆y) + o(|∆z|) = {∆z = ∆x + i∆y} == {vy0 + ivx0 }∆z + o(|∆z|), T.E. ∃ f 0 (z) = vy0 (x, y) + ivx0 (x, y), ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.ÌÃÒÓdOKAZATELXSTWO.

sOGLASNO USLOWIQM TEOREMY W TO^KE z ∈ G IME@T MESTO SLEDU@]IE RAWENSTWA:∆f (z) = ∆u + i∆v = u0x ∆x + u0y ∆y + ou (|∆z|) + ivx0 ∆x + ivy0 ∆y + iov (|∆z|) = {USLOWIQ kO[I-rIMANA :oPREDELENIE 2. eSLI FUNKCIQ w = f (z) DIFFERENCIRUEMA NE TOLXKO W TO^KE z OBLASTI G EE OPREDE-ÔÍ-12ÔÍ-12LENIQ, NO W NEKOTOROJ EE OKRESTNOSTI, TO \TU FUNKCI@ NAZYWA@T ANALITI^ESKOJ W \TOJ TO^KE. eSLIFUNKCIQ QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W KAVDOJ TO^KE OBLASTI G1 ⊂ G, TO EE NAZYWA@T ANALITI^ESKOJ W\TOJ OBLASTI.zAME^ANIE 2. sOGLASNO OPREDELENI@ 1 OPERACIQ DIFFERENCIROWANIQ KOMPLEKSNYH FUNKCIJ KOM-PLEKSNOGO PEREMENNOGO OBLADAET STANDARTNYMI SWOJSTWAMI, A SPECIFIKA SWQZANA LI[X S NALI^IEMW C WTOROGO WNUTRENNEGO ZAKONA.pRIMER 1.

pUSTX f (z) = eAz= e(α+iβ)(x+iy) = e(αx−βy)+i (βx+αy) .w \TOM SLU^AE u = Re eAz = eαx−βy cos(βx + αy) ; v = Im eAz = eαx−βy sin(βx + αy).ÌÃÒÓÌÃÒÓ4fUNKCII u(x, y), v(x, y) QWLQ@TSQ GLADKIMI I SU]ESTWOWANIE DLQ NIH POLNYH DIFFERENCIALOW O^EWIDNO. pROWERIM WYPOLNENIE USLOWIJ kO[I-rIMANA. iMEEM:u0x = αeαx−βy cos(βx + αy) − βeαx−βy sin(βx + αy)vy0 = −βeαx−βy sin(βx + αy) + αeαx−βy cos(βx + αy))=⇒ u0x ≡ vy0 W R2ÔÍ-12ÔÍ-12)u0y = −βeαx−βy cos(βx + αy) − αeαx−βy sin(βx + αy)=⇒ u0y ≡ −vx0 W R20αx−βyαx−βyvx = αesin(βx + αy) + βecos(βx + αy)tAKIM OBRAZOM, W L@BOJ TO^KE z ∈ C SU]ESTWUETf 0 (z) = u0x + ivy0 = αeαx−βy cos(βx + αy) + i sin(βx + αy) + iβeαx−βy cos(βx + αy) + i sin(βx + αy) =ÔÍ-124ÌÃÒÓ= e(αx−βy)+i(βx+αy) · (α + iβ) = AeAz .ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-124u = Re f (z) = x;4v = Im f (z) = −y. tAKIM OBRAZOMÌÃÒÓÔÍ-12pRIMER 2.

pUSTX f (z) = z̄ = x − iy, T.E.ÔÍ-124ÔÍ-12ÔÍ-12zAME^ANIEÌÃÒÓÌÃÒÓ)u0x ≡ 1 vx0 ≡ 0T.E. USLOWIQ kO[I-rIMANA NE WYPOLNENY NI W ODNOJ TO^KE C I 6 ∃ f 0 (z)vy0 ≡ 0 vy0 ≡ −1zAMETIM, ^TO ESLI ϕ - DIFFERENCIRUEMA I f (z) = ϕ(z̄), TOdf 0 (z) = ϕ0 (w) · z̄ I 6 ∃ f 0 (z).w=z̄ dz3. pUSTX f (z) = u(x, y) + iv(x, y) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W OBLASTI G1 ⊂ G ⊂ C,T.E. W KAVDOJ TO^KE G1 WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ kO[I-rIMANA: (u0x = vy0 ) ∧ (u0y = −vx0 ). dALEE MYPOKAVEM, ^TO ANALITI^ESKAQ W G1 FUNKCIQ – BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMA W G1 . iZ \TOGO SLEDUETSU]ESTWOWANIE I NEPRERYWNOSTX W G1 WTORYH SME[ANNYH PROIZWODNYH DLQ SKALQRNYH FUNKCIJ uI v I PO TEOREME O SME[ANNYH PROIZWODNYH W KAVDOJ TO^KE OBLASTI G1 IME@T MESTO RAWENSTWA:00000000(u00xy = u00yx ) ∧ (vxy= vyx). tAKIM OBRAZOM (u00xx = vxy) ∧ (u00yy = −vyx) W G1 , T.E. u00xx + u00yy = 0 W G1 .0000aNALOGI^NO vxx+vyy= 0 W G1 .

tAKIM OBRAZOM WE]ESTWENNAQ I MNIMAQ ^ASTI ANALITI^ESKOJ FUNKCII– GARMONI^ESKIE FUNKCII.zAME^ANIE4. aNALITI^ESKAQ FUNKCIQ f (z) = u(x, y) + iv(x, y) MOVET BYTX POSTROENA PUTEMZADANIQ ODNOJ IZ GARMONI^ESKIH FUNKCIJ: u(x, y) ILI v(x, y) I PODBORA WTOROJ GARMONI^ESKOJ FUNKCII, UDOWLETWORQ@]EJ USLOWIQM kO[I-rIMANA, ^TO \KWIWALENTNO ZADA^E NAHOVDENIQ FUNKCII PO EEPOLNOMU DIFFERENCIALU S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO. pO\TOMU WE]ESTWENNU@ I MNIMU@^ASTI ANALITI^ESKOJ FUNKCII NAZYWA@T SOPRQVENNYMI GARMONI^ESKIMI FUNKCIQMI.ÌÃÒÓ200vxx− y + 1. tOGDA2R(u0x = vy0 = −2y) =⇒ u = vy0 dx = −2xy + C1 (y)R(u0y = −vx0 = −2x) =⇒ u = (−vx0 )dy = −2xy + C2 (x)C1 (y) ≡ C2 (x) ≡ C0 − const.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций