Числовые и функциональные ряды (1077065)
Текст из файла
ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12~islowye rqdyÌÃÒÓÔÍ-12lekciq 1.oPREDELENIE 1. pARU ^ISLOWYH POSLEDOWATELXNOSTEJ {a }k k>1 , {Sn }n>1 NAZYWA@T ^ISLOWYM RQDOM,ESLI IH \LEMENTY QWLQ@TSQ WE]ESTWENNYMI ^ISLAMI I Sn = a1 + a2 + · · · + an , ∀ n > 1. pRI \TOM akNAZYWA@T k-YM ILI OB]IM ^LENOM RQDA, A Sn – n-OJ ^ASTNOJ SUMMOJ RQDA.1. ~ISLOWOJ RQD {ak }k>1 , {Sn }n>1 ^ASTO NAZYWA@T RQDOM S OB]IM ^LENOM ak ILIzAME^ANIEÌÃÒÓak .k=1pRIMER 1. aoPREDELENIE 2.∞X1ÌÃÒÓPROSTO RQDOM {ak }k>1 , A INOGDA RQDOM∞X1 11+ + ··· + + ···k2 3kk=1~ISLOWOJ RQD {ak }k>1 NAZYWA@T SHODQ]IMSQ, ESLI ∃ lim Sn = S I |S| < ∞. pRIn→∞∞X\TOM ^ISLO S NAZYWA@T SUMMOJ SHODQ]EGOSQ ^ISLOWOGO RQDA {ak }k>1 I PI[UT S =ak .k= 1/k – OB]IJ ^LEN GARMONI^ESKOGO RQDAÔÍ-12n=1k k>14∞X4pRI \TOM, ESLI S =nÔÍ-12zAME^ANIE 2.
~ISLOWOJ RQD {a }zAME^ANIE 3. wELI^INU R = a=1+NAZYWA@T RASHODQ]IMSQ, ESLI @ lim Sn ILI ∃ lim Sn = ±∞.n→∞n+1 + an+2 + . . .n→∞NAZYWA@T n-YM OSTATKOM ^ISLOWOGO RQDA {ak }k>1 .ak – SUMMA ^ISLOWOGO RQDA {ak }k>1 , A ONA MOVET BYTX RAWNOJ ±∞ ILI NEk=1SU]ESTWOWATX, TO S = Sn + Rn . eSLI VE ^ISLOWOJ RQD {ak }k>1 SHODITSQ, TO ∃ lim Sn = S I |S| < ∞,n→∞ÌÃÒÓn→∞n→∞tEOREMAn→∞(nEOBHODIMYJ PRIZNAK SHODIMOSTI).1.∃ lim ak = 0.ÌÃÒÓT.E. ∃ lim Rn = lim (S − Sn ) = S − lim Sn = S − S = 0.eSLI ^ISLOWOJ RQD {ak }k>1 SHODITSQ, TOn→∞dOKAZATELXSTWO.pO USLOWI@ ∃ lim Sn = S I |S| < ∞.n→∞a TAK KAK an = Sn − Sn−1 , TO∃ lim an = lim (Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0.n→∞n→∞n→∞n→∞ÔÍ-12k= 1/k.
∃ lim ak = 0, T.E. NEOBHO-ÔÍ-12pRIMER 2. rASSMOTRIM GARMONI^ESKIJ RQD S OB]IM ^LENOM an→∞DIMYJ PRIZNAK IMEET MESTO I RQD MOVET SHODITXSQ. rASSMOTRIM ^ASTNU@ SUMMUÌÃÒÓÌÃÒÓ 111 11 1 1 11 1S2n+1 = 1 + + + · · · + n+1 ≡ 1 + ++++ + ++ ···+2 3223 45 6 7 8222nn+111112+++···+>1++++···+=1+.nnnn23n+12 +1 2 +22 +22 2222n+1tAKIM OBRAZOM lim S2n+1 > lim 1 += ∞ I RASSMATRIWAEMYJ RQD RASHODITSQ.n→∞n→∞23. rASSMOTRIM ^ISLOWOJ RQD S OB]IM ^LENOM ak = α0 q k , GDE k > 0, A α0 I q – NENULEWYEKONE^NYE FIKSIROWANNYE ^ISLA. w \TOM SLU^AE IMEEM:(|q| < 1) =⇒ (∃ lim ak = 0) I RQD MOVET SHODITXSQ;pRIMERk→∞(q > +1) =⇒ (∃ lim ak = +∞) I RQD RASHODITSQ;(q 6 −1) =⇒ (@ lim ak ) I RQD RASHODITSQ.eSLI |q| < 1, TO Sn = α0 (1 + q + .
. . + q n ) = α0 (1 − q n+1 )/(1 − q) I, KAK SLEDSTWIE, ∃ lim Sn =n→∞ÔÍ-121α0.1−qÌÃÒÓtAKIM OBRAZOM RASSMATRIWAEMYJ ^ISLOWOJ RQD SHODITSQ.ÔÍ-12ÔÍ-12(q = +1) =⇒ (∃ lim ak = α0 6= 0) I RQD RASHODITSQ;ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12tEOREMA 2.ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12dOKAZATELXSTWO.sOGLASNO USLOWI@ ∃ limn→∞\TOMnXak=Sa I ∃ limn→∞k=1nXbk=Sb .k=1ÔÍ-12eSLI {ak }k>1 I {bk }k>1 – SHODQ]IESQ ^ISLOWYE RQDY, A Sa I Sb – IH SUMMY SOOTWETSTWENNO, TO DLQ L@BYH KONE^NYH λ, µ, ∈ R1 ^ISLOWOJ RQD {λ ak + µ bk }k>1 QWLQETSQ SHODQ]IMSQ I(λSa + µSb ) – EGO SUMMA.pRI|Sa | < ∞ I |Sb | < ∞.tAKIM OBRAZOM, PRI |λ|< ∞ I |µ| < ∞nnnXXX∃ lim(λak +µbk ) = λ limak +µ limbk = λSa +µSb .
a T.K. |λSa +µSb | 6 |λ||Sa |+|µ||Sb | < ∞,ÌÃÒÓn→∞k=1k=1n→∞TO TEOREMA DOKAZANA POLNOSTX@.sLEDSTWIE IZ TEOREMY 2.ÌÃÒÓn→∞k=1lINEJNAQ KOMBINACIQ SHODQ]EGOSQ I RASHODQ]EGOSQ ^ISLOWYH RQDOW –RASHODQ]IJSQ ^ISLOWOJ RQD.ÔÍ-12ÔÍ-12pREDWARITELXNYE RASSUVDENIQ.41. RN = S − SN = aN +1 + aN +2 + . .
. + aN +k + . . ., T.E. N -YJ OSTATOK ^ISLOWOGO RQDA {ak }k>1MOVNO RASSMATRIWATX KAK SUMMU ^ISLOWOGO RQDA S OB]IM ^LENOM aN +k , GDE N – FIKSIROWANNOE CELOEPOLOVITELXNOE ^ISLO. dLQ \TOGO ^ISLOWOGO RQDA {aN +k }k>1 MOVNO RASSMATRIWATX ^ASTNYE SUMMY IOSTATKI.2. pUSTX N - FIKSIROWANO. rASSMOTRIM ^ASTNU@ SUMMU SN +p ≡ SN + (aN +1 + . . . + aN +p ). SN –4ÌÃÒÓÌÃÒÓKONE^NOE ^ISLO, A σpN = (aN +1 + . . .
+ aN +p ) – p-AQ ^ASTNAQ SUMMA ^ISLOWOGO RQDA {aN +k }k>1 , TO ESTXp-AQ ^ASTNAQ SUMMA N -GO OSTATKA ISHODNOGO RQDA. tAKIM OBRAZOM, SN +p = SN + σpN I KONE^NYEPREDELY PRI p → +∞ DLQ SN +p I σpN LIBO ODNOWREMENNO SU]ESTWU@T, LIBO NET. oTS@DA WYTEKAETSLEDU@]AQ TEOREMA.tEOREMA 3.
l@BOJ ^ISLOWOJ RQD SHODITSQ ILI RASHODITSQ ODNOWREMENNO S L@BYM SWOIM OSTATKOM.sLEDSTWIE IZ TEOREMY 3. pUSTX ^ISLOWOJ RQD {b } POLU^EN IZ ^ISLOWOGO RQDA {a } PUTEMj j>1k k>1ÔÍ-12ÔÍ-12(α) ZAMENY W NEM KONE^NOGO ^ISLA \LEMENTOW NOWYMI;(β) OTBRASYWANIQ ILI PRIPISYWANIQ KONE^NOGO ^ISLA \LEMENTOW;(γ) PERESTANOWKI W NEM KONE^NOGO ^ISLA \LEMENTOW.w \TOM SLU^AE ^ISLOWYE RQDY {bj }j>1 I {ak }k>1 SHODQTSQ ILI RASHODQTSQ ODNOWREMENNO.zNAKOPOLOVITELXNYE ^ISLOWYE RQDYÌÃÒÓÌÃÒÓeSLI ak > 0; ∀ k > 1, TO Sn = Sn−1 + an > Sn−1 I POSLEDOWATELXNOSTX ^ASTNYH SUMM ZNAKOPOLOVITELXNOGO ^ISLOWOGO RQDA {ak }k>1 QWLQETSQ MONOTONNO WOZRASTA@]EJ.
a TAK KAK MONOTONNOWOZRASTA@]AQ ^ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX MOVET IMETX KONE^NYJ PREDEL LI[X W SLU^AE SWOEJ OGRANI^ENNOSTI, TO IMEET MESTO SLEDU@]AQ TEOREMA.tEOREMA 1.zNAKOPOLOVITELXNYJ ^ISLOWOJ RQD SHODITSQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA MONOTONNOWOZRASTA@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX EGO ^ASTNYH SUMM OGRANI^ENA SWERHU.iNTEGRALXNYJ PRIZNAK kO[IÔÍ-12ISHODNYJ RQD SHODITSQ ILI RASHODITSQ ODNOWREMENNO S NESOBSTWENNYM INTEGRALOMZ∞f (x)dx.NÌÃÒÓÔÍ-122ÔÍ-12.
eSLI, NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA N , ^LENY ZNAKOPOLOVITELXNOGO ^ISLOWOGO RQDA {ak }k>1 MOGUT BYTX PREDSTAWLENY KAK ZNA^ENIQ NEKOTOROJ NEPRERYWNOJ, POLOVITELXNOJ, MONOTONNO UBYWA@]EJ FUNKCII f (x) : ak = f (k); ∀ k > N , TOÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12aNaN +1aN +2aN +kÌÃÒÓÔÍ-12f (x)xNN +1 N +2rIS.30N +k4kσN+1 =NZ+kk−1f (x)dx < aN + σN+1 ≡ aN + aN +1 + . . . + aN +k−1 ,aN +1 + .
. . + aN +k <NmGDE σN+1 - m-AQ ^ASTNAQ SUMMA OSTATKA RN +1 ISHODNOGO RQDA.k(α). pUSTX RASSMATRIWAEMYJ INTEGRAL SHODITSQ. tOGDA σN+1 <Z∞NZ+k(β). pUSTX RASSMATRIWAEMYJ INTEGRAL RASHODITSQ. nO TOGDA IZ NERAWENSTWANNZ+kÔÍ-12NÔÍ-12f (x)dx < ∞, ∀ k > 1f (x)dx <I, SOGLASNO TEOREME 1 I TEOREME OB OSTATKAH, ISHODNYJ RQD SHODITSQ.ÌÃÒÓÌÃÒÓdOKAZATELXSTWO. pUSTX WYPOLNENY USLOWIQ TEOREMY. tOGDA IZ SWOJSTW PLO]ADEJ OB_EMLEMYHI OB_EML@]IH PLOSKIH FIGUR SLEDUET (SM. RIS.
30):kf (x)dx < aN +σN+1 ,NÌÃÒÓÌÃÒÓSPRAWEDLIWOGO ∀ k > 1 SLEDUET MONOTONNOE NEOGRANI^ENNOE WOZRASTANIE ZNAKOPOLOVITELXNOJ ^ISLOkWOJ POSLEDOWATELXNOSTI {σN+1 }k>1 , T.E. RASHODIMOSTX OSTATKA RN +1 I, KAK SLEDSTWIE (SM. TEOREMUOB OSTATKAH), RASHODIMOSTX ISHODNOGO RQDA.(γ). pUSTX SHODITSQ ISHODNYJ ^ISLOWOJ RQD. tOGDA ODNOWREMENNO S NIM SHODQTSQ I WSE EGO OSTATKI,NZ+kk−1k−1T.E. aN + σN +1 6 b < ∞, I, KAK SLEDSTWIE, IME@T MESTO NERAWENSTWAf (x)dx < aN + σN+1 < b < ∞,NIZ KOTORYH I SLEDUET SHODIMOSTX RASSMATRIWAEMOGO NESOBSTWENNOGO INTEGRALA.ÔÍ-12ÔÍ-12k(δ).
pUSTX ISHODNYJ ^ISLOWOJ RQD RASHODITSQ. tOGDA σN+1 → ∞ PRI k → ∞ I IZ NERAWENSTWANZ+kkσNf (x)dx SLEDUET RASHODIMOSTX RASSMATRIWAEMOGO NESOBSTWENNOGO INTEGRALA.+1 <NpRIMER1, ∀ k > 1. pRI λ = 1 IMEEM RASHODQ]IJSQ GARMONI^ESKIJ RQD,kλA PRI λ 6 0 ^ISLOWOJ RQD {ak }k>1 RASHODITSQ PO NEOBHODIMOMU PRIZNAKU. rASSMOTRIM SLU^AJ(λ > 0) ∧ (λ 6= 1):Z∞dxx1−λ ∞= – SHODITSQ PRI λ > 1 I RASHODITSQ PRI 0 < λ < 1.xλ1−λ 11 1tAKIM OBRAZOM ZNAKOPOLOVITELXNYJ ^ISLOWOJ RQDSHODITSQ PRI λ > 1 I RASHODITSQ PRIk λ k>1λ 6 1.12. pUSTX ak =, GDE k > 2.
w \TOM SLU^AEk(ln k)µZ∞Z∞no Z∞ dydxd ln x== y = ln x =.x(ln x)µ(ln x)µyµ22ln 21tAKIM OBRAZOM (SM. PRIMER 1) ZNAKOPOLOVITELXNYJ ^ISLOWOJ RQDSHODITSQ PRIk(ln k)µ k>2ÌÃÒÓÌÃÒÓ1. pUSTX ak =ÔÍ-12ÔÍ-12pRIMERÌÃÒÓÔÍ-123ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12µ > 1 I RASHODITSQ PRI µ 6 1.. pUSTX {an }n>1 I {bn }n>1 – DWA ZNAKOPOLOVITELXNYH ^ISLOWYH RQDA I∃ N > 1 : ∀ n > N an > bn . w \TOM SLU^AE IZ SHODIMOSTI RQDA {an }n>1 SLEDUET SHODIMOSTXRQDA {bn }n>1 , A IZ RASHODIMOSTI RQDA {bn }n>1 SLEDUET RASHODIMOSTX RQDA {an }n>1 .N +pN +pXXdOKAZATELXSTWO. pO USLOWI@ ∀ p > 1 IMEEMak >bk .ÔÍ-12k=NÔÍ-12pRIZNAK SRAWNENIQk=NÌÃÒÓN +pXXk=Nbk 6ak <k=N∞Xk=N< ∞.ÌÃÒÓα).
eSLI ZNAKOPOLOVITELXNYJ ^ISLOWOJ RQD {an }n>1 – SHODITSQ, TON +ptAKIM OBRAZOM, POSLEDOWATELXNOSTX ^ASTNYH SUMM DLQ ZNAKOPOLOVITELXNOGO ^ISLOWOGO RQDA {bk }n>1 ,MONOTONNO WOZRASTAQ, OGRANI^ENA SWERHU, T.E. ONA IMEET KONE^NYJ PREDEL I RQD {bk }k>1 – SHODITSQ.N +pβ). eSLI RQD {bn }n>1 RASHODITSQ, TOXk=NN +pak >Xbk → ∞ I RQD {an }n>1 – RASHODITSQ.k=NpRIMERÔÍ-12ÔÍ-12 11121. bn = 2 sin n 6 2 = an . rQD {an }n>1 SHODITSQ KAK RQDPRI λ = 2 > 1, T.E.nnk λ k>1I RQD {bn }n>1 SHODITSQ.an. eSLI ∃ lim= q ∈ (0; ∞), TO RQDY {an }n>1 I {bn }n>1n→∞ bnSHODQTSQ ILI RASHODQTSQ ODNOWREMENNO.dOKAZATELXSTWO. kAK IZWESTNO IH KURSA MATEMATI^ESKOGO ANALIZAan= q ∈ (0; ∞) ⇐⇒ (∀ ε > 0)(∃ N (ε) > 0) : (n > N (ε) =⇒ |an /bn − q| < ε .
pOLAGAEM∃ limn→∞ bnε = q/2. tOGDA ∀ n > N (q/2) IMEEM: an q3qqaa<1,5qb(∗)nnn − q < bn 2 ⇐⇒ 2 < bn < 2 ⇐⇒ an > 0, 5q bn (∗∗) T.E.SOGLASNO (*) IZ SHODIMOSTI RQDA {bn }n>1 SLEDUET SHODIMOSTX RQDA {an }n>1 , A IZ RASHODIMOSTI RQDA{an }n>1 SLEDUET RASHODIMOSTX RQDA {bn }n>1 ;ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓzAME^ANIE K PRIZNAKU SRAWNENIQSOGLASNO (**) IZ SHODIMOSTI RQDA {an }n>1 SLEDUET SHODIMOSTX RQDA {bn }n>1 , A IZ RASHODIMOSTI RQDA{bn }n>1 SLEDUET RASHODIMOSTX RQDA {an }n>1 .pRIMER112.
rQD S OB]IM ^LENOM an = 1 − cos= 2n sin2 RASHODITSQ, T.K. RQD S OB]IMnn122 1^LENOM bn =RASHODITSQ I lim an /bn = lim 2n sin= 2 ∈ (0; ∞).n→∞n→∞nn0. eSLI SU]ESTWUET N > 1 I DLQ L@BOGO n > N IMEET MESTO NERAWENSTWO an+1 /an 6 q < 1, TO ZNAKOPOLOVITELXNYJ ^ISLOWOJ RQD {ak }k>1 SHODITSQ I RASHODITSQ, ESLIan+1 /an > q > 1.dOKAZATELXSTWO.ÌÃÒÓÌÃÒÓpRIZNAK DE aLAMBERAÔÍ-12ÔÍ-12(α).eSLI ∀ n > N> 1 IMEET MESTO NERAWENSTWO an+1 /an 6 q < 1, TOaN +1 6 q aN , aN +2 6 q aN +1 6 q 2 aN , . .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
