Кратные и криволинейные интегралы (1077063), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

tAKIM OBRAZOM ΓT = S1 ∪ S2 ∪ S3 ,A SAMU OBLASTX NAZYWA@T z-CILINDRI^ESKOJ.pUSTX DALEE R(x, y, z) I Rz0 (x, y, z) OPREDELENY I NEPRERYWNY W ZAMKNUTOJ OBLASTI T ∪ ΓT , AZAMKNUTAQ POWERHNOSTX ΓT ORIENTIROWANA PO PRAWILU WNE[NEJ NORMALI.ÌÃÒÓÔÍ-1221ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓrIS. 27tOGDAZZZZR cos(~n; ~k) dσ +| {z }R cos(~n; ~k)dσ =<0S1ΓTS2R cos(~n; ~k) dσ +| {z }>0ZZS3R cos(~n; ~k) dσ =| {z }R(x, y, ϕ2 (x, y)) dxdy ≡R(x, y, ϕ1 (x, y)) dxdy +∂R(x, y, z)dz ≡∂zϕ1 (x,y)ZZZ≡Rz0 (x, y, z) dxdydzdxdyGxyGxyGxyϕZ2 (x,y)TÔÍ-12=−=0ZZZZZZÔÍ-12ZZPx0ZZdxdydz ;TΓTI MY PRIHODIM K RAWENSTWU, IZWESTNOMU KAKQ cos(~n; ~j)dσ =Q0y dxdydzTΓTFORMULA oSTROGRADSKOGO-gAUSSA:ZZZZZP dydz + Q dzdx + R dxdy ≡Px0 + Q0y + Rz0 dxdydzÔÍ-12ÔÍ-12ZZZP cos(~n;~i)dσ =ZZZÌÃÒÓZZÌÃÒÓsOWER[ENNO ANALOGI^NO, ESLI T QWLQETSQ E]E I x-CILINDRI^ESKOJ I y-CILINDRI^ESKOJ, A W T ∪ ΓTOPREDELENY I NEPRERYWNY FUNKCII P (x, y, z), Q(x, y, z), Px0 (x, y, z), Q0y (x, y, z), TOTΓTpRIMER 3.

pUSTX S - SFERA S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT, RADIUSOM a I WNE[NEJ ORIENTACIEJ.ZZZZZ333x dydz + y dzdx + z dxdy = 3(x2 + y 2 + z 2 ) dxdydz =x2 +y 2 +x2 ≤a2 x = r cos ϕ cos ψy = r sin ϕ cos ψ=z = r sin ψ 0 ≤ ϕ < 2πZ2πZπ/2Za12 5 −π/2 < ψ < π/2= 3 dϕcos ψ dψ r2 · r2 dr =πa5 0≤r≤a00−π/2ÌÃÒÓÌÃÒÓSÔÍ-12T22ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓΓTtAKIM OBRAZOMÌÃÒÓTwZZZUSLOWIQH PRIMERA 2 : P ≡ x, Q ≡ 0, R ≡ y.ZZ pRIMER 4.xdydz + ydxdy ={1 + 0 + 0} dxdydz = m(T ) = πa2 h.ÔÍ-12zAME^ANIQ.1. oBLASTX, QWLQ@]AQSQ ODNOWREMENNO x, y, I z-CILINDRI^ESKOJ, NAZYWA@T PROSTOJ.2.

fORMULA oSTROGRADSKOGO-gAUSSA MOVET BYTX POLU^ENA I PRI MENEE VESTKIH OGRANI^ENIQH: TW R3 IMEET KONE^NYJ DIAMETR, A ΓT - OB_EDINENIE KONE^NOGO ^ISLAZZZ KUSO^NO-GLADKIH POWERHNOSTEJ; 0000P, Q, R NEPRERYWNY W T ∪ ΓT ; Px , Qy , Rz - NEPRERYWNY W T I ∃Px + Q0y + Rz dxdydz.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12x3 dydz + y 3 dzdx + z 3 dxdy = {SM.RIS.} = J1 − J2 .ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12pRIMER 5. J ,ZZÌÃÒÓÌÃÒÓS1 x = r cos ϕ 0 ≤ r ≤ a y = r sin ϕ 0 ≤ t ≤ Ha={3x2 + 3y 2 + 3z 2 } dxdydz ==J1 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π z=tS1 ∪S2T at/HZ2π ZH at/HZZH 4ZH 42r3πa2 4ra 42 22+t dt =t + 2 2 t dt == 3 dϕ dt{r + t }rdr = 6π422H4HZZZZZ00000=ZZJ2 ,S2{x cos(~n;~i) +y cos(~n; ~j) +z cos(~n; ~k) }dσ ≡| {z }| {z }| {z }330301ZZ3ZZz dxdy =S23π 2 2a (a + 2H 2 )H.10H 3 dxdy = πa2 H 3x2 +y 2 ≤a2ÔÍ-12J = J1 − J 2 =3π 2 2a (a + 2H 2 )H − πa2 H 3 = πa2 (0.3a2 − 0.4H 2 )H10fORMULA sTOKSAÔÍ-12tAKIM OBRAZOMÌÃÒÓÌÃÒÓ0ÔÍ-12ÔÍ-12  rIS.

28  x x22pHx +y ≤a2222yyS1 =: z=x + y , x + y ≤ a , S2 =:z=HazzÔÍ-12rIS. 29ÔÍ-1223ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓfORMULA sTOKSA USTANAWLIWAET SWQZX MEVDU KRIWOLINEJNYM INTEGRALOM W R3 I POWERHNOSTNYMINTEGRALOM II-GO RODA.pUSTX S - GLADKAQ POWERHNOSTX, ORIENTIROWANNAQ PO PRAWILU WNE[NEJ NORMALI I OGRANI^ENNAQORIENTIROWANNYM ZAMKNUTYM KONTUROM λ , ΓS .ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓpUSTX W NEKOTOROJ OBLASTI IZ R , SODERVA]EJ POWERHNOSTX S, OPREDELENA I NEPRERYWNO DIFFE~ y, z) = ~iP (x, y, z)+~j Q(x, y, z)+~k R(x, y, z). pUSTX DLQ OPREDELENRENCIRUEMAWEKTORNAQFUNKCIQ A(x, ÔÍ-12ÔÍ-123  xx2yNOSTI S =: z = z(x, y),∈ Gxy ⊂ R .

w \TOM SLU^AE Gxy = pRXOY S; L = pRXOY λ.yzrASSMOTRIMZZÌÃÒÓλLP (x, y, z)dx =FORMULAgRINAZZ =−∂P∂P ∂z+·∂y∂z ∂ydxdy,ÌÃÒÓP x, y, z(x, y) dx =J1 ,ZZGxyccos(~n,~i)dcos(~n, ~j)0d= γ ~n0 = γ  cos(~n, ~j)  =⇒ zy = −T.K. P x, y, z(x, y) - SLOVNAQ FUNKCIQ. ~n=.d~cos(~n,k)−1dcos(~n, ~k)zx0zy0ZZ (J1 =Gxy∂P cos(~n, ~j)∂P−·∂y∂z cos(~n, ~k)ÔÍ-12ÔÍ-12tAKIM OBRAZOM)d dxdy = dxdy = dσ cos(~n, ~k ) =ZZ =∂P∂Pddcos(~n, ~j ) −cos(~n, ~k ) dσ (1)∂z∂yÌÃÒÓÌÃÒÓS   xx2y: y = y(x, z),∈ Gxz ⊂ R , TO RAWENSTWO (1) POLU^AEM PO TOJ VE SHEME.eSLI S =zzeSLI S - ^ASTX PLOSKOSTI, ORTOGONALXNOJ OX, TO RAWENSTWO (1) O^EWIDNO, T.K.

pRXOY S - OTREZOK IpRXOZ S - OTREZOK.aNALOGI^NO RAWENSTWU (1) POLU^AEM:ÔÍ-12λZZ ÔÍ-12∂Q∂Qdc~~Q dy =cos(~n, k ) −cos(~n, i ) dσ ;∂x∂zSλZZ Z∂R∂Rc~dR dz =cos(~n, i ) −cos(~n, ~j ) dσ.∂y∂xZStAKIM OBRAZOM IMEEM:ÌÃÒÓZZP dx + Q dy + R dz =λdd c(Q0x − Py0 ) cos(~n, ~k ) + (Ry0 − Q0z ) cos(~n,~i ) + (Pz0 − Rx0 ) cos(~n, ~j ) dσ =ZZ S=(Q0x − Py0 )dxdy + (Ry0 − Q0z )dydz + (Pz0 − Rx0 )dzdx ≡SZZÔÍ-12SÔÍ-12≡ ~i~k ~j ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂k ; ~i dydz + ~j dzdx + ~k dxdy  PQR ÌÃÒÓZzAME^ANIQ.1. mOVNO POKAZATX, ^TO FORMULA sTOKSA OSTAETSQ SPRAWEDLIWOJ I W TOM SLU^AE, KOGDA S - OB_EDINENIE KONE^NOGO ^ISLA KUSO^NO-GLADKIH POWERHNOSTEJ.ÌÃÒÓÔÍ-1224ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓP dx + Q dy + R dz ≡ 0, ∀ L ⊂ T ;LZ(2)xÔÍ-12(1)P dx + Q dy + R dz NE ZAWISIT OT PROFILQ DUGI AB, SODERVA]IEJSQ W T ;ÔÍ-122.

kAK I W PLOSKOM SLU^AE MOVET BYTX SFORMULIROWANA I DOKAZANA TEOREMA O ^ETYREH \KWIWALENTNYH USLOWIQH: ESLI P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) OPREDELENY I NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMY WZAMKNUTOJOGRANI^ENNOJ ODNOSWQHNOJ OBLASTI T ⊂ R3 , TO SLEDU@]IE ^ETYRE USLOWIQ \KWIWALENTNY:ZWT ;ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Ry0 ≡ Q0zRx0 ≡ Pz0 .Q0x ≡ Py0ÔÍ-1225ÌÃÒÓÌÃÒÓx(3) ∃ u(x, y, z) : du = P dx + Q dy + R dz ~i~k ~j~ W T , T.E.(4) ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂k ≡ Θ PQR ÌÃÒÓABÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.

Характеристики

Список файлов лекций