Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Если необходимо добиться наименьших изменений формы конструкции, например при проектировании отражателя прожектора или системы зеркал астрономического прибора, проводят расчет по допускаемым перемещениям, или, как говорят, расчет на жесткость. Это не исключает, понятно, одновременной проверки системы на прочность по напряжениям. Наряду с упомянутыми существуют многие другие методы, связанные с качественно отличными явлениями, такими как устойчивость, эффект повторных нагрузок, динамическое воздействие и др.

Курс сопротивления материалов не претендует на то, чтобы точно указать, где и когда следует пользоваться тем или иным из упомянутых методов расчета конкретных конструкций. Сопротивление материалов дает в основном только изложение практически приемлемых средств для решения вопросов, связанных с определением напряжений, деформаций, перемещений, разрушающих нагрузок и пр. в типичных элементах конструкции. Вопрос о степени надежности конструкции в конкретных условиях изучают в основном в курсах деталей машин, прочности самолета, прочности корабля и т.д. Тем не менее, изучая сопротивление материалов, не следует забывать, что определение напряжений и перемещений не является самоцелью и что за определением этих величин стоит неизбежный вопрос о возможности использования полученных результатов в оценке надежности конструкции.

Глава 1 РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 1.1. Внутренние силы и напряжения, возникающие в поперечных сечениях стержня при растяжении — сжатии Под растяжением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы, а все прочие внутренние силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю. Обычным является растяжение стержня силами, приложенными к его концам. Передача усилий к стержню может быть осуществлена различными способами, как это показано на рис. 1.1, а — в.

Во всех случаях, однако, система внешних сил образует равнодействующую Р, направленную вдоль оси стержня. Поэтому независимо от условий крепления растянутого стержня расчетная схема в рассматриваемых случаях оказывается единой. Она показана на рис. 1.1, г. Если воспользоваться методом сечений, то становится очевидным, что во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы Ж, равные силе Р (рис. 1.2): Ф Р Рис, 1.3 Рис. 1,2 Сжатие отличается от растяжения формально только знаком силы У. При растяжении нормальная сила У направлена от сечения, а при сжатии — к сечению. Таким образом, при анализе внутренних сил сохраняется единство подхода к вопросам растяжения и сжатия. Вместе с тем между этими двумя типами нагружения могут обнаружиться и качественные различия, например при изучении процессов разрушения материалов или при исследовании поведения длинных и тонких стержней, для которых сжатие сопровождается, как правило, изгибом.

Рассмотрим напряжения, возникающие в поперечном сечении растянутого стержня. Нормальная сила У является равнодействующей внутренних сил в сечении (рис. 1.3). Естественно предположить, что для однородного стержня внутренние силы распределены по сечению равномерно. Тогда нормальное напряжение для всех точек сечения будет одним и тем же: У <У = (1.1) где à — площадь поперечного сечения.

зв Понятно, что высказанное предположение о равномерном распределении внутренних сил в поперечном сечении справедливо лишь постольку, поскольку из рассмотрения исключаются особенности конкретно взятого стержня в связи с условиями его закрепления на концах. Здесь руководствуются правилом, которое принято называть ириниилом Сен-Венана по имени известного французского ученого прошлого века. Принцип Сен-Венана является общим, но применительно к стержням он может быть сформулирован следующим образом: особенности приложения внешних сил к растянутому стержню проявляются, как правило, на расстояниях, не превышающих характерных размеров поперечного сечения стержня. Это значит, что при изучении растянутого стержня достаточно принимать во внимание только равнодействующую внешних сил Р, не интересуясь особенностями приложения нагрузки.

Лля этого надо исключить из рассмотрения часть стержня, расположенную в зоне приложения внешних сил. На рис. 1.1 это как раз и показано. Отбрасывая части стержня, примыкающие к его концам, получаем единую расчетную схему (см. рис. 1.1, а), независимо от способа приложения внешних сил. Приведенные рассуждения могут быть отнесены также и к особым участкам стержня, содержащим резкое изменение геометрических форм.

Например, для ступенчатого бруса, показанного на рис. 1.4, следует исключить из рассмотрения зону скачкообразного перехода от одного диаметра к другому и зоны, примыкающие к отверстиям. Во всех остальных участках напряжения в поперечных сечениях будут распределены равномерно и их можно определить по формуле (1.1). Фаиючаенис участки Рис. 1.4 39 Лля нагруженного по концам растянутого однородного стержня напряжения остаются постоянными как по сечению, так и по длине, т.е.

сохраняются неизменными для всех точек объема, занимаемого телом. Такое напряженное состояние называется однородным. При однородном напряженном состоянии все точки тела находятся в одинаковых условиях. Понятие однородного напряженного состояния тесно связано с понятием сплошной среды. Ясно, что распределение внутренних сил в реальных условиях не может быть равномерным из-за неоднородности кристаллических зерен металла и молекулярного строения вещества. Поэтому, когда говорят о равномерном распределении внутренних сил по сечению, имеют в виду распределение без микроскопической детализации в пределах площадок, существенно превышающих размеры сечений кристаллических зерен. Сделанная оговорка относится не только к растяжению и сжатию, но и ко всем другим видам нагружения, которые будут рассмотрены в дальнейшем.

Й~ы щяжасти Рис. 1.5 11ри растяжении, однако, не всегда возникает однородное напряженное состояние. Например, у стержня с переменной площадью поперечного сечения (рис. 1.5, а) напряжения меняются по длине и напряженное состояние неоднородно. То же самое имеет место и для стержня, нагруженного собственным весом (рис. 1.5, 6). 40 1.2. удлинения стержня и закон Гука. ~равнения равновесия Размеры растянутого стержня меняются в зависимости от величины приложенных сил.

Если до нагружения стержня его длина была равна 1, то после нагружения она станет равной 1+ Л1 (рис. 1.6). Величину Ы называют абсолютным удлинением стержня. л ~,в Рис. 1.6 Будем считать, что абсолютное удлинение и деформации связаны только с напряжениями, возникающими в стержне. В действительности имеются и другие факторы, влияющие на деформации. Так, деформации зависят от температуры и времени действия нагрузки. Неупругие деформации зависят от "истории" нагружения, т.е. от порядка возрастания и убывания внешних сил.

Пока, однако, этих вопросов мы касаться не будем. Если стержень нагружен только силой Р, то напряженное состояние является однородным и все участки растянутого стержня находятся в одинаковых условиях; деформация е по оси стержня остается одной и той же, равной своему среднему значению по длине 1: Ы Е =— (1.2) Эта величина называется относительным удлинением стерж- ня. Если стержень нагружен сосредоточенной силой Р и распределенными силами д (наиболее общий случай), то относительное удлинение е не будет постоянным по длине стержня.

Получим выражение для относительного удлинения стержня, рассматривая элемент стержня между плоскостями АА и ВВ 41 до и после нагружения (см. рнс. 1.6). Если обозначить перемещение плоскости АА элемента стержня через и, то плоскость ВВ будет иметь перемещение, равное и+ Ни, где Ни = Ь(ЫЗ)— дополнительное перемещение нэ-за растяжения элемента Нл стержня. Тогда относительное удлинение элемента будет рав- но и+ Ии — и, Йи Е (1.3) Н2 Ы2 Заметим, что вследствне равномерного распределения напряжений по сечению удлннения для всех элементарных отрезков (см. рис.

1.6), взятых на участке Ня, оказываются одинаковыми. Следовательно, если концы отрезков до нагружения образуют плоскость, то и после нагружения стержня они образуют плоскость, но смещенную вдоль оси стержня. Это положение может быть взято в основу толкования механизма растяжения и сжатия и трактуется как гипотеэа плоских сечений (гипотеза Бернулли). Если эту гипотезу принять как основную, то тогда из нее, уже как следствие, вытекает высказанное ранее предположение о равномерности распределения напряжений в поперечном сечении, В пределах малых удлинений для подавляющего большинства материалов справедлив закон Гука, который устанавливает прямую пропорциональность между напряжениями и деформациями: (1.4) 42 Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модуле,ы упругости первого рода. Модуль упругости является физической константой материала и определяется экспериментально.

Величина Е измеряется в тех же единицах, что и ~т, т.е. в мегапаскалях. Вместе с тем, поскольку модуль упругости может иметь довольно большие числовые значения, его предпочтительнее измерять не в мега-, а в гигапаскалях: 1 ГПа=1000 МПа. Лля наиболее часто прнменяемых материалов модуль упругости Е имеет следующие значения, ГПа: 310-345 220-250 2 — 3 ( 690 ( 530 170 Закон Гука представляет собой простейшую и очевидную аппроксимацию наблюдаемой в опытах зависимости удлинения от напряжения. Естественно, что точность этой аппроксимации определяется в первую очередь тем, сколь широкий диапазон изменения напряжения имеется в виду. Всегда можно подобрать достаточно малый интервал напряжений, чтобы в его пределах функцию я = ~(с) можно было бы с заданной точностью рассматривать как линейную.

Характеристики

Список файлов книги