Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 7
Текст из файла (страница 7)
И конечно, для разных материалов это выглядит по-разному. Для некоторых материалов, таких как, например, сталь, закон Гука соблюдается с высокой степенью точности в широких пределах изменения напряжений. Для отожженной меди, для чугуна этот интервал изменения напряжений существенно меньше. В тех случаях, когда закон Гука явно не соблюдается, деформацию задают в виде некоторой нелинейной функции от напряжения б = Дю) с таким расчетом, чтобы эта функция отвечала кривой, полученной при испытании материала.
43 Сталь . Медь .. Латунь,,,...... Алюминий и алюминиево-магниевые сплавы . Бериллий... Вольфрам Молибден Титан .. Алмаз .Перево вдоль волокон Стекловолокно . Кварцевое волокно . Боровоаокно Карбидное волокно .. Промышленное углеродное волокно высокомодульное . Промышленное углеродное волокно высокопрочное . Эпоксидные смолы . Усы (нитевидные кристаллы): Графит..
Сапфир (А1зОз) Асбест 190-200 120 100-120 70-80 240 410 ззо 1ОО 1О5О 8-12 70-85 7О 430 430 Вернемся к выражению (1.4) и заменим в нем ~т на Ф/Р, а с на Ыи/Ыл. Тогда получим или Ии Л вЂ” — — = О. Ыл ЕГ (1.5) В результате получаем систему, состоящую из двух уравнений: первого уравнения системы (В9) (полагая Я = Ф) и уравнения (1.5), которая позволяет определить напряженно- деформированное состояние прямолинейного стержня, нагруженного осевыми силами: ЖЧ вЂ” +д(~) = О; Ии У вЂ” — — = О.
Ил ЕГ ! ! Ии = (1.7) о О В том случае, когда стержень нагружен только по концам, нормальная сила Л = Р не зависит от ~. Если, кроме того, стержень имеет постоянные размеры поперечного сечения Р, то нз выражения (1.5) получаем Ь= Р! (1.7 а) При решении многих практических задач возникает необходимость наряду с удлинениями, обусловленными напряжением с, учитывать также удлинения, связанные с температурным воздействием. В этом случае пользуются способом 44 Из первого уравнения системы (1.6) находим осевое усилие 1Ч(л), а из второго — и(х).
Получаемые выражения для Ю и и будут содержать две произвольные постоянные, определяемые из двух краевых условий: при ~ = О и л = 1. Абсолютное удлинение стержня переменного сечения на длине 1 будет равно наложения и деформацию е рассматривают как сумму силовои и чисто температурной деформации: ~У е= — +Ы, Е где сг — коэффициент температурного расширения материала. Лля однородного стержня, нагруженного по концам и равномерно нагретого, получаем Р1 Ы = — + йз~. ЕР Таким образом, силовая и температурная деформации рассматриваются как независимые. Основанием этому служит экспериментально установленный факт, что модуль упругости Е при умеренном нагреве слабо меняется с температурой, точно так же как и сг практически не зависит от гт.
Для стали это имеет место до температуры порядка 300...400 оС. При более высоких температурах необходимо учитывать зависимость Е от 1. Рассмотрим примеры определения напряжений и перемещений в некоторых простейших случаях растяжения и сжатия. П р к м е р 1.1. Требуется выявить закон изменения нормальных снл, напряжений и перемещений по длине ступенчатого стержня, нагруженного на конце силой Р (рис. 1.7, а), определить числовые значения наибольшего напряжения и наибольшего перемещения, если Р = 50 кН, Р = 2 см,! = 1 м.
Материал — сталь, Е = 200 ГПа. Поскольку сила Р велика, собственный вес стержня можно не учитывать. Р Ю ЛРй 1Г Рис. 1.7 Из условий равновесия любой отсеченной части стержня вытекает, что нормальная сила Ф в каждом сечении стержня равна внешней силе Р. Построим графкк изменения силы У вдоль оск стержня. Графики подобного рода называются в сопротивлении материалов эпюрами.
Они дают наглядное представление о законах изменения различных исследуемых величин. В данном случае эпюра нормальной силы представлена иа рис. 1.7, 6 прямоугольником, поскольку Ф = Р = сонями. На рисунке эпюра М заштрихована лиииямн, которые проведены параллельно откладываемым иа графике значениям У. В данном случае значение силы Ю откладывают вверх. поэтому штриховка проведена вертикально, Лля того чтобы получить эпюру напряжений е, надо ордиыаты эпюры У изменить обратыо пропорционально величине Г (рнс. 1.7, в).
Большее значение е равно к, = Р(Гы = 50 кН/2 см = 250 МПа. Определим перемещекие и (см) каждого сечения стержня по направлению силы Р. Перемещение я-го сечения равно удлинению отрезка длиной г. Следовательно, согласно формуле (1.б), и = Ря((ЕГ). Таким образом, ыа участке изменения я от нуля до ! перемещение и пропорционально я (рис, 1.7, г), На втором участке стержня перемещение и = РЦ(ЕГ) + Рл~((2ЕГ). Зависимость и от э~ также будет линейной. Наибольшее перемещение имеет торцевое сечение стержня: и = ЗРЦ(2ЕГ) = 1,87 мм. П р и м е р 1.2. Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений для свободно подвешенного цилиндрического стержня, нагруженного силами собственного веса (рнс. 1.8, а). Алина стержня 1, площадь поперечного сечения Г, плотность материала .у.
Рис. 1.8 Нормальная сила в сечении я равна весу нижележащей части стержня: Ю = уГл. Следовательно, нормальная сила нропорциоиальиа я. Эпюру У в данном случае штрихуют горизонтальными линиями, поскольку 46 значения У откладывают в горизонтальном направлении (рнс. 1.8, 6). Ыа пряжение в сечении равно и = 7я (см, рыс. 1.8, е). Перемещение а в сеченкн я равно удлинению верхнего участка стержня.
Согласно формуле (1,5), и= / — = — (1 — я). ~ 7Г~41 7 з з ЕЕ 2Е Таким образом, закон изменения н изображается квадратичной функцией я. Наибольшее перемещение и, имеет нижнее торцевое сечение (рис. 1.8, г): 71 и„,~, = —. 2Ю П р к м е р 1.3. Колонна (рис. 1.9, о) нагружена силой Р и силами собственного веса. Требуется подобрать такой закон изменения площади поперечного сечения Г = Г(я), чтобы напряжения во всех сечениях были одинаковы и равны Р(Го. Построить эпюры нормальных сыл, напряжений и перемещений.
Рв~~ г Рис. 1.9 На расстоянии я от торца нормальная сжимающая сила У равна И = Р+7 ГЫ~. 47 По условию задачи Р+7 Р~ о = сопв1, го откуда Р Р+7 ~о о Дифференцируя обе части этого равенства по я, получим 7Г Р пг Р ИГ = — —, или Ия = — —. После интегрирования находим Ро Ия' 7го г (1п Р— 1пС), или Г = Се17~"~ 7го При я = О Г = Го, следовательно, С = Го и тогда искомый закон изменения плошади Р принимает вид Г = Гое~~оа~~.
Построение эпюр удобнее всего начинать с эпюры напряжения е, которое вдоль оси колонны по условию не меняется (рис. 1.9, 6). Поскольку напряжение постоянно, то постоянным будет и относительное удлинение е. Поэтому перемещение и возрастает пропорционально расстоянию от основания колонны (рис 1.9, в). Нормальная сила в сечении я равна У = еГ = Ре~ '~~ . Эпюра Ф показана на рис.
1.9, а. Рассмотренная задача относится к числу часто встречающихся в сопротивлении материалов задач на отыскание условий равнопрочности. Если напряжение в некотором теле (в данном случае в колонне) будет постоянно для всех точек объема, такую конструкцию называют равнопрочной. В подобных конструкциях материал используется наиболее эффекты вно. П р и м е р 1.4. Кронштейн АВС нагружен на конце силой Р (рис.
1.10, а). Требуется подобрать поперечное сечение стержней АВ и ВС с таким расчетом, чтобы возникающие в них напряжения имели одинаковую заданную величину а. При этом угол а должен быть выбран из условия минимального веса конструкции при заданном вылете кронштейна 1. Из условий равновесия узла В (рис. 1.10, б) находим нормальные силы в стержнях: У1 — — Рсфа, Фг = Р/в1па. Лалее определяем плошади поперечного сечения стержней по величине заданного напряжения а: Ю1 Р ~г 1 Г1 — — — — — с1ы а; Гг = — —. ю (г ю в1па 48 Вес конструкции кронштейна пропорционален объему: У = 11Г1 + Ь~Р2. Подставляя длины н площади стержней, находим 1l = — с4иа+ Величина У имеет минимум при сояк а = 1/3; а = 55'.
1.3. Потенциальная энергия деформации при растяжении — сжатии стержня Рассмотрим энергетические процессы деформирования упругого тела. Внешние силы, приложенные к упругому телу, совершают работу. Обозначим ее через А. В результате этой работы накапливается потенциальная энергия деформированного тела У. Кроме того, работа идет на сообщение скорости массе тела, т.е. преобразуется в кинетическую энергию К. Баланс энергий имеет вид А = У + К. Если нагружение производится медленно, скорость перемещения масс тела будет весьма малой. Такой процесс нагружения называется сшатлическим. Тело в любой момент времени находится в состоянии равновесия.
В этом случае А = У, и работа внешних сил целиком преобразуется в потенциальную энергию деформации. При разгрузке тела за счет потенциальной энергии производится работа. Таким образом, упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругих тел широко используется, например, в заводных пружинах часовых механизмах 49 и в различных упругих амортизирующих элементах (рессоры, пружины, торсионные валы и др.). На рис, 1,11 показан растянутый стержень. Йля большей наглядности последующих рассуждений удлинение стержня изображено в увеличенном масштабе и соответственно отрезку Ж внизу показан график изменения силы Р.
Рис. 1.11 Поскольку на пути Ь! сила Р не остается постоянной, работа, затраченная на растяжение стержня, должна быть определена интегрированием по элементарным участкам пути. На элементарном перемещении И(Ы) работа текущей силы Р равна ЫА = Р Н(Ы).
Очевидно, работа на перемещении Ь! численно равна площади треугольника ОВС, т.е. А = У = Ц2РЫ. Таким образом, работа силы на упругом перемещении определяется половиной произведения наибольшего значения силы и перемещения Ы. Если бы между силой и перемещением не было прямой пропорциональности, вместо коэффициента 1/2 был бы получен какой-то другой коэффициент. В частности, при постоянной силе он равен единице. В дальнейшем при определении работы внешних сил коэффициент 1/2 будем ставить без пояснений.
Исключая из полученного для У выражения Ы, найдем Рг~ 2ЕР Если нормальная сила Х меняется вдоль оси стержня, то потенциальная энергия деформации должна определяться суммированием по участкам Ыл (см. рис. 1.11). Лля элементарного ~1.8) 50 участка ИУ =, а для всего стержня 2ЕГ ' ,/ 2ЕГ (1.9) Энергетические соотношения широко используются при определении перемещения в сложных упругих системах. Общие теоремы, относящиеся к этому вопросу, будут рассмотрены в гл. 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
