Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 8
Текст из файла (страница 8)
1.4. Статически определимые и статически неопределимые стержневые системы Во всех рассмотренных до сих пор задачах нормальные силы в поперечных сечениях стержня определяли при помощи метода сечений из условий равновесия отсеченной части. Но такое нахождение нормальных сил, да и вообще внутренних сил, далеко не всегда возможно. На практике постоянно встречаются системы, в которых имеется большое число наложенных связей, и для определения внутренних сил уравнений статики оказывается недостаточно. Такие системы называются статически неопределимыми. А Р И, А Рис. 1.12 На рис. 1.12, а показан обычный кронштейн, состоящий из двух стержней.
Усилия в стержнях легко определить из условий равновесия узла А. Если конструкцию кронштейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 1.12,6), то усилия в 51 стержнях прежним способом уже найдены быть не могут: для узла А может быть по-прежнему составлено только два уравнения равновесия, а число неизвестных сил равно трем.
В таких случаях говорят, что система один раз статически неопределима. Усложняя конструкцию дальше и вводя новые стержни, можно получить два (рис, 1,12, в), три и т.д. раза статически неопределимые системы. На рис. 1.13 показано еще три системы. Первая из них статически определимая, вторая и третья— соответственно олин и два раза статически неопределимые. Рис. 1.13 Для всех вариантов конструкций, показанных на рис.
1.13, можно получить только два независимых уравнения равновесия. Лля варианта а этих уравнений достаточно, чтобы однозначно определить силы в двух стержнях; для вариантов б и в число сил в стержнях больше числа уравнений, поэтому определить три (случай б) или четыре (случай в) силы из двух уравнений невозможно.
В теоретической механике подобные задачи определенного решения не имеют, в то время как это наиболее распространненый случай в технике. Если стержни, например в варианте в, прикрепить к динамометрам, то при нагружении силой Р они покажут, какие силы в них возникли. Причем сколько бы раз стержни не нагружали силой Р, возникающие в них силы будут одни и те же. Определить их в так называемых статически неопределимых задачах можно только с учетом реальных свойств элементов конструкций. В этом принципиальное отличие теоретической механики от сопротивления материалов. Учет реальных свойств материалов позволяет рассчитывать любые конструкции, когда число связей в системе превышает число независимых уравнении статики.
52 Можно сказать, что под ть раз статически неопределимой системой понимается такая, в которой число связей превышает число независимых уравнений статики на и единиц. Определение всех неизвестных сил, или, как говорят, раскрытие статической неопределимости, возможно только путем составления уравнений, дополняющих число уравнений статики до числа неизвестных. Эти дополнительные уравнения отражают особенности геометрических связей, наложенных на деформируемые системы, и условно называются уравнениями перемещений.
Для стержневых систем, показанных на рис. 1.12, уравнения перемещений должны выразить тот факт, что узел А деформированной системы должен быть общим для всех стержней. В примере, показанном на рис. 1.13, уравнения перемещений в случае, если брус А — жесткий, должны показать, что все нижние концы тяг после нагружения остаются на одной прямой и т.п.
Рассмотрим принципы составления уравнений перемещений на простейших примерах раскрытия статической неопределимости систем. П р к м е р 1.5. Прямой однородный стержень (рис. 1.14) жестко закреплен по концам и нагружен продольной силой Р, приложенной на расстоянии одной трети длины от верхней заделки. Требуется определить наибольшие напряжения, возникающие в стержне. Рис.
1.14 53 Система, очевидно, один раз статически неопределима, поскольку две реакции опор Вл и Вв ме могут быть определены мз одного уравнения равновесия Вл + Вв = Р. Уравнение перемещений должно выразить тот факт, что общая длина стержня не меняется. На сколько удлмнится верхняя часть, на столько же сократится нижняя. Следовательно, ~Ымс1 = ~Мвс~. Выражая удлинения через силы, получим г Вл — 1 Вв — 1 3 3 Ег" ЕГ или Вл = 2Вв Решая это уравнение совместно с уравнением равновесия, находим: В,~ —— = 2(ЗР, Кв —— 1/ЗР. Наибольшее напряжение е„, „= 2Р((ЗГ).
П р и м е р 1.б. Система трех стержней одинаковых сечений (рис. 1.15, а) нагружена вертикальной силой Р. Определить усилия в стержнях. Рис. 1.15 При составлении уравнений равновесия узла А (рнс. 1.15, 6) восцользуемся принципом неизменности начальных размеров. Поскольку под действием силы Р угол а меняется незначительно, будем считать его неизменным. Тогда имеем № = Уз, 2№сояа+№ = Р.
Полученных уравнений недостаточно для определения всех сил. Необходимо составить дополнительно одно уравнение перемещений. Для этого сопоставим форму узла А до и после нагруження (рнс. 1.15, е). Отрезок АА' представляет собой вертикальное перемещение узла А.
Оно равно, очевидно, удлинению среднего стержня: АА' = ~Х1з. Из точки А проводим дугу окружности АВ с центром в точке С. Отрезок А'В представляет собой удлинение бокового стержня: А'В = Ь1~. 54 Вследствие малости перемещений дугу АВ можно принять за отрезок, перпендикулярный прямой А'С, и тогда, учитывал, что угол а в результате удлинений стержней меыяется незначительно, получим Ю~ — — Ыг сов а. Это и есть искомое уравнение перемещений.
№1 Фг~ силы: Ы~ = , Ыг = — , 'тогда .ЕГ сов а ' ЕГ ' Выразим удлинения через № —— №сов а. г Решая это уравнение совместно с уравнением равновесия, получим Рсов а № = ~з = ' ~г = 1+ 2 совз а ' 1+ 2совз а П р н м е р 1.7, Жесткая невесомая балка шарнирно закреплена в точке О н связана с двумя одинаковымн упругими тягами (рис. 1.1б, а). Определить усилия, возникающие в тягах, при нагреве их на Ь|'. Рис.
1.16 Разрезаем тяги и вводим силы № н Фг (рис. 1.1б, 6). Палее, приравнивая нулю сумму моментов сил относительно шарнира Р, получим №а+ 2№а = О. 55 Положим, далее, что в результате нагрева стержней жесткая балка повернется и займет положение А'В' (см. рис.1.1б, б). Из подобия треугольников ОАА' н ОВВ' получаем Ыз — — 2Ы1 или, согласно формуле (1.7), №Ю / %11 — + Гаям = 2 ~ — +!аВ юг ~ег откуда № 2№ Решая полученное уравнение совместно с уравнением равновесия, найдем № = — (2(5) ЕРаИ; Ф2 = (Цб) ЕГа Ю. Знак минус перед № указывает на то, что первый стержень не растянут, как это предполагалось ранее, а сжат. П р и м е р 1.8.
При сборке стержневой системы (рис. 1.17, а) было обнаружено несоответствие длин стержней (см. узел А). Сборка была произведена путем принудительного совмещения шарниров А и С. Определить усилия в стержнях после сборки. Рис. 1.17 Имеем пять стержней и, следовательно, пять искомых сил. Лля узлов А н В может быть составлено четыре уравнения равновесия, по два на каждый узел. Следовательно, система один раз статически неопределнма. Из условий равновесия узлов А и В (рис.
1.17, 6 н в) получаем Ф1 = Ю2 = Рlз> Ма = №; Фз + 2Фа соз 30' = О. Положим, что после сборни шарнир А сместился вниз на величину и~ и занял положение А', а шарнир В сместился вверх на ив (рис. 1.17, г и д). Тогда, очевидно, Ы1 — — и„з1в 30'; Ы~ = — ив соа 30'. Удлинение среднего стержня Ыз = Ь вЂ” и.а — ив. Исключая из этих выражений и„и ив, получим уравнение перемешений Ыз = ~ — 2М+ 2 ~/з Преобразуем это уравнение, выразив удлинения через силы, 㹠— 2№+ мз = — ег. После совместного решения уравнения перемешении с уравнениями рав- новесия получим ~Г3 №=№=Уз= — ЕГ; 2+ 31/3 1 Ь №=№= — — ЕГ. г+34з ! Рассмотренные примеры уже дают достаточное представление о принципиальной стороне приемов, используемых при раскрытии статической неопределимости.
Прочное овладение этими приемами может быть достигнуто при решении достаточно большого числа задач. Более общий метод раскрытия статической неопределимости будет рассмотрен в гл. 6. В заключение необходимо обратить внимание на два последних примера. В одном определялись температурные, а в другом — монтажные усилия.
И те и другие могут возникать только в статически неопределимых системах, и это достаточно очевидно. Температурные и монтажные деформации принимаются в расчет только при составлении уравнений деформаций. А для статически определимых систем в этих уравнениях нет никакой надобности. 1.5. Напряженное и деформированное состояния при растяжении — сжатии Рассмотрим более детально особенности напряженного состояния, возникающего в однородном растянутом стержне. Рис. 1.18 Определим сначала напряжения в некоторой наклонной площадке, составляющей угол а с плоскостью нормального сечения (рис. 1.18).
Полное напряжение р на этой площадке, согласно условию однородности напряженного состояния для всех точек площадки, будет одним и тем же. Равнодействующая же внутренних сил в сечении должна быть направлена по оси стержня и равна растягивающей силе сГ, т.е. где Г~ — площадь косого сечения, Г,„= Г/сояа, Таким образом, полное напряжение на наклонной площадке р = ~тсова. Раскладывая это напряжение по нормали и по касательной к наклонной площадке (рис. 1.18, б), находим или па = сгсоа а; г тс, = 1/2оып2а. Как видим, для одной и той же точки растянутого стержня значения возникающих в сечении напряжений оказываются различными в зависимости от ориентации секущей площадки, Поэтому, в частности, неточным было бы утверждение, что при растяжении возникают только нормальные напряжения.
Это верно только для площадок, нормальных к оси стержня. Если положить а = О, то из выражений (1.10) и (1.11) мы получим напряжения в поперечном сечении стержня, т.е. Оа —— О; При а = 900, т.е. в продольных сечениях, а,„= т~ = О. Это значит, что продольные слои растянутого стержня не имеют между собой силового взаимодействия по боковым поверхностям. В этом смысле растяжение стержня можно уподобить растяжению пучка не связанных между собой параллельных нитей. Касательное напряжение т, обращаясь в нуль в продольных и поперечных сечениях, имеет наибольшее значение на площадках, наклоненных под углом 45О к оси растянутого стержня: Ттах = ~/2 Если из растянутой полосы мы выделим прямоугольник (рис.
1.19, а), то на его гранях АВ и СВ следует приложить напряжения а,„и т,„, определяемые выражениями (1.10) и (1.11). а Рис. 1.19 69 На рис. 1.19, б эти напряжения отмечены сверху штрихом. На гранях ВС и АЮ напряжения вычисляют также по формулам (1.10), (1.11), в которых только угол а заменяют углом а+ к/2. Эти напряжения отмечены двумя штрихами. Таким образом, то напряженное состояние, которое показано на рис. 1.19, 6, представляет собой обыкновенное растяжение, но изображенное в непривычном для нас ракурсе.
Существенно отметить, что переход от произвольной площадки а к площадке (а + 90О) не сказывается на абсолютной величине касательного напряжения т . Действительно, — сз~п2(а+90 ) 1 о 2 1 — с з~п 2а 2 Следовательно, на двух взаимно перпендикулярных площадках (если отвлечься пока от знаков) касательные напряжения должны быть равными. Это условие является общей особенностью любого напряженного состояния и носит название закона пармостпи хасатпельмых мапряжемий. Этому закону можно дать наглядное толкование. Если рассмотреть произвольно взятый элемент АВСР (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
