Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Такой случай нагружения называется поперечным изгибом (в плоскости яОу). Возможны случаи нагрузок, когда стержень работает на кручение, изгиб и растяжение (сжатие) одновременно. В4. Напряжения Чтобы характеризовать распределение внутренних сил по сечению, необходимо ввести для них числовую меру. За такую меру принимается напряжение. Рис.
В15 Рассмотрим сечение А некоторого тела (рис. В15). В окрестности точки К выделим элементарную площадку ЬГ, в пределах которой выявлена внутренняя сила ЬЯ. За среднее напряжение на площадке ЬГ принимаем отношение ЬЯ/ЬГ = = р,р. Будем уменьшать площадку ЬГ, стягивая ее в точку К. Поскольку среда непрерывна, возможен предельный переход при ЬГ ~ 0.
В пределе получаем ЛЯ 1пп = р. ьР оЬГ Векторная величина р представляет собой полное напряжение в точке К сечения А. В Международной системе единиц (СИ) напряжение измеряется в паскалях (Па). Полное напряжение р может быть разложено на три составляющие: по нормали к плоскости сечения и по двум осям Рр Рис. В16 в плоскости сечения (рис.
В16). Составляющую вектора полного напряжения по нормали обозначают через о и называют нормальным напряжением. Составляющие в плоскости сечения называются касатпельными напряжениями и обозначаются через т. В зависимости от расположения и наименования осей обозначения о и т снабжают системой индексов, порядок которых будет установлен в дальнейшем. Если через точку К в теле провести другую секущую площадку, напряжение р в той же точке будет, вообще говоря, другим.
Совокупность напряжений для всего множества площадок, проходящих через точку, образует напряженное состояние в точке. Напряженное состояние, как мы узнаем в дальнейшем, определяется шестью числовыми величинами и является в сопротивлении материалов одним иэ наиболее важных понятий. Оно будет подробно рассмотрено в гл.
7. Начало же курса связано с рассмотрением наиболее простых и часто встречающихся частных случаев напряженного состояния. В5. Перемещения и деформации Ни один из существующих в природе материалов не является абсолютно твердым; под действием внешних сил все тела в той или иной мере меняют свою форму (деформируются). Изменение формы напряженного тела существенно влияет на распределение в нем внутренних сил, хотя само по себе это изменение формы является, как правило, незначительным и обнаруживается в большинстве случаев только при помощи чувствительных инструментов.
25 Под действием внешних сил точки тела меняют свое положение в пространстве. Вектор, имеющий начало в точке недеформированного тела, а конец — в соответствующей точке деформированного, называется вектором иолного иеремещения тпочки. Его проекции на оси координат носят название перемещения по осхм. Они обозначаются через и, ю и и соответственно осям х, у и л (рис. В17). Рис.
В17 Кроме линейного перемещения, введем понятие углового иеремещеких. Если рассмотреть отрезок прямой между двумя близкими точками до и после изменения формы тела, то легко установить, что этот отрезок поворачивается в пространстве на некоторый угол. Этот угол поворота также характеризуется вектором, который может быть разложен по осям х, у и г. Если на систему наложены связи, достаточные для того, чтобы исключить ее перемещение в пространстве как жесткого целого, то система называется кияематически неизменяемой.
Именно такие системы и рассматривают, как правило, в сопротивлении материалов. В противном случае из перемещений всех точек исключают слагающую переноса тела как абсолютно жесткого и сохраняют ту часть, которая характеризует только изменение формы. Тогда для большинства рассматриваемых в сопротивлении материалов систем перемещения и, о и ш любой точки являются малыми по сравнению с геометрическими размерами тела. На основе малости перемещений в сопротивлении материалов в методику анализа внутренних сил вводят упрощения, носящие принципиальный характер. Одно из них носит название принципа начальных размеров, Согласно этому принципу, при составлении уравнений статики (уравнений равновесия) тело рассматривают как недеформированное, имеющее те же геометрические размеры, какие оно имело до нагружения внешними силами.
'1'ак, если в точке А системы, показанной на рис. В18, а, приложить некоторую силу Р, то канат АВ удлинится, стержень АС несколько укоротится, да и вообще система изменится (рис. В18, 6). Для определения внутренних сил в канате и стержне надо воспользоваться методом сечений и составить уравнения равновесия для отсеченного деформированного узла А (рис.
В18, в). Здесь, однако, возникает затруднение, связанное с тем, что новые геометрические размеры системы остаются неизвестными, пока не определены внутренние силы, зависящие, в свою очередь, от геометрических размеров. При малых перемещениях указанным обстоятельством можно пренебречь, поскольку деформированная система мало отличается от недеформированной. В этом случае в соответствии с принципом начальных размеров уравнения равновесия составляют для недеформированного узла (рис.
В18, г), и тогда Л'1 = РГ2; Л~2 = — Р. %~ Рис. В18 Понятно, что изложенный принцип нельзя применять в случае больших перемещений. Кроме того, принцип начальных размеров может оказаться неприемлемым и при малых перемещениях, если при этом форма системы меняется качественно. Например, для двух шарнирно связанных стержней, расположенных на одной прямой, условия равновесия узла А (рис. В19) следует составлять обязательно с учетом угла наклона а, возникающего вследствие удлинения стержней. Рис.
В19 Системы подобного рода называются мгновенными механизмами. Это означает, что в какой-то момент система является кинематически изменяемой, т.е. допускает перемещения элементов, не сопровождающиеся деформациями. В данном случае кинематическая изменяемость имеет место в окрестности исходного положения, в котором три шарнира находятся на одной прямой, В отличие от мгновенного обычный механизм обладает кинематической изменяемостью независимо от взаимного расположения составляющих элементов.
Особый класс задач, где, по существу, необходимо отступить от принципа начальных размеров, образуют задачи устойчивости, приведенные в гл. 13. Для того чтобы характеризовать интенсивность изменения формы и размеров, рассмотрим точки А и В недеформированного тела, расположенные одна относительно другой на расстоянии л (рис. В20). Пусть в результате изменения формы тела это расстояние увеличится на Ьл. Отношение приращения длины отрезка Ьв к его начальной длине назовем средним Рис. В20 удлинением на отрезке в: Ьз/в = г . Будем, далее, уменьшать отрезок в, приближая точку В к точке А. В пределе получим 11п~ ~в/в = АГАВ в- О величина глв называется линейной деформаиией (или просто деформаиией) в точке А по направлению АВ.
В той же точке в другом направлении деформация, вообще говоря, будет другой. Если рассматривают деформации в направлении координатных осей х, у и з, в обозначение г вводятся соответствующие индексы. Тогда имеем г~, г„и г,. Следует подчеркнуть, что слово "деформация" имеет двоякий смысл.
В обиходном языке под деформацией понимается вообще всякое изменение формы без количественной оценки. В сопротивлении материалов и в теории упругости деформация имеет данное выше строгое определение и является количественной мерой изменения геометрических размеров в окрестности точки. Деформация является безразмерной величиной (ее измеряют также в процентах Ьв по отношению к в). Поскольку форма тела меняется незначительно, деформации также имеют малую величину. Для конструкционных материалов, в частности, деформации лежат в пределах долей процента.
Кроме линейной деформации введем понятие угловой деформации. Рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном теле двумя отрезками ОР и ОС (см. рис. В20). После нагружения тела внешними силами этот угол изменится и станет равным С'О'Ю'. Будем уменьшать отрезки ОС н ОР, приближая точки С и Р к точке О и оставляя при этом угол СОР прямым. Предел разности углов СОР и С'О'Р~ 'усоп = 1пп СОР— С'О'Р' оп-о называется угловой деформацией, или углом сдвига в точке 0 в плоскости СОР. В координатных плоскостях углы сдвига обозначают через уу~, у~ .
и у~я. Совокупность линейных деформаций по различным направлениям и угловых деформаций в различных плоскостях для 29 одной точки образует деформированное состпояние в точке. Де- формированное состояние, так же как и напряженное состоя- ние, определяется шестью числовыми величинами. Более по- дробно этот вопрос будет рассмотрен в гл. 7. Рис.
В21 Следует четко различать понятия деформации и перемещения и не допускать довольно распространенной ошибки, когда абсолютное удлинение стержня или осадку витой пружины называют деформацией. Это — не деформации, а перемещения, Заметим также, что если какой-то участок стержня перемещается, то это вовсе не значит, что он деформируется. Наглядный тому пример показан на рис.
В21. Участок стержня ВС получает перемещения вследствие деформации участка АВ, но сам не деформируется. 86. Закон Гука и принцип независимости действия сил Многочисленные наблюдения за поведением твердых тел показывают, что в большинстве случаев перемещения 6 определенных пределах пропорциональны дейстпвукицим силам. Эта закономерность была дана Гуком в 1660 г, в формулировке "каково удлинение, такова сила", что по латыни звучало "ц~ ~едз1о ыс ч1з". Но закон был опубликован только в 1676 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
