Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Очевидно В том случае„когда масса стержня значительно меньше массы груза, данная система ничем не отличается от ранее рассмотренной (рис. 5Щ. Поэтому для нахождения частоты, перйода и амплитуды собственных колебаййй Г«~уза, подвешенного к упругому стержню, можно пользоваться полученными выше формулами для груза, подвешенного к пружине. Прн этом необходймо у~та~ов~~ь жесткость стержня, аквйвалентную жесткосгй с пружины. При растяжении стержня длинОЙ 1 и площадью поперечноГО се- чеииЯ г абсолюгнОе уДлинение стержня» как известнО определяетси фОрМуЛОЙ Усилие, соответствующее статическОЙ деформаций б,„равной едйнйце, представляет СобоЙ йскомую жес~кос~ь: (2К7) Из формул (20.8) и (20.9) видно, что частота свободных колеба.
ийй системы Возрастает с уВеличенйем жесткОсти» или» что тО же, с уменьщениеьь'статической деформации, вызываемой данным грузом. Легко убедиться, что груз, подвешеннь1й к упругому стержню„ обладает значительно более высокой собственной частотой колебания, чем тот же груз, подвешенный к податливой пружине, Отношение частот с~бственных колебаний груза прикреп,лен" ного к двум раз~~чным стержняьГ, обра*но пропорционально корню квадратному нз отношения статических удлинений стержней.
Примай 79. Определить собстве пнув частоту колебаний груза весом Я = 20 кгс, подвешенного к конку стального стержня длиной 40 см и плошадью поперечного сечения Р= 1 см", при модуле упругости материала Е= 2 Х Х 106 кгс~см". Круговая частота колебаний, согласно формула (20.8), Пример Ю. Определить, как изменится частота собственных козебаннй груза Р, если От йервого способа крейления его йерей*н ко ~тор~~у, пружину на две равные части и закрепив груз посредине 1рис. 5191. Частота колебаний Груза~ подвешеннОГО на йружине 1 й бст 4РКза Р Ф~у Р Ь =Х= — = —, 6Г" где с — жесткость пружины; Й вЂ” средний радиус витка пружины; Р г г — радиус проволоки пружины.„ рис.
ИФ б — модуль упругости при сдвиге, Для первой схемы Во второй схеме каждая часть пружины будет обладать большей жесткостью бг'2 сз = — — — 2с1. 4Д'и В первом случае перемещение Груза Р бг = —. С, Во втором случае каждая половина пружины воспримет нагрузку И2. Поэтому перемещение Груза Р Р бГ 2сз 2 ° 2с~ 4 Частота колебаний груза, подвешенного на пружине по первой схеме, Частота колебаний груза, подзешейного по Второй схеме, СоотиОшение частот кОлебзний М т.
е. при замене спосОба пОдвесз Груза частота увеличится з дВВ раза. Приор 8А Н~йти период ~ебаннй рузз 9, ~~~~~н~м~ ~~~йй нити (рис. 620), пренебрегая трением в блоке. Жесткость верхней н нижней пру- ЖИН СООТИЕТСтвенно Ст И СЗ. Определяем перемещение статически подзегпенного Груза (~, 3то перемпдение складывается яз удлинения Верхней пружины Ьз под действием силы Я» и удлинения нижней пружины бз под действием силы 9, т.
е. опускание груза (,( 6,, = 4. + бз — — + — (с~+ 2сз>. 2Ю Ю С, СГГ, Тогда период колебаний С г Изложенная выше теория расчета продольных колебаний может быть распространена также н на случаи расчетз поперечных и кру. тильных колебаний. Например, рассматривая невесоыу1о балку с одной степеньго свободы, получим уравнение движения в виде (2О. 1). В этом случае вместо переменной х следует принять перемещение Груза в направлении, перпендикулярном к оси> т. и.
прогиб Гп. Выражения для собственной частоты и периода колебаний сохраняют прежний вид (20.5) н (20.6). Прн этом Ь,, представляст Соб~й прогиб под груэом (~ при С~~Тичесиом его Рис. В24 приложении. Для Случая изображенного на Рпс. 521, Прилер 82. Определить частоту.собственРмс. 122 ных поперечных колебаний стального Вала диа" метром д = 60 мм* нес~чЦего Диск ВесОм (~ = = 100 кгс (ряс.
522). Собственная частота поперечных колебаний рассматриваемой системы с мной степенью сзободы определится по формуле (20.5); К ыс— где б — статический прогиб вала в месте расположения диска: 9а"Ь~ 100» 40" - 60з ° 64 '="- — ЗЫ вЂ” З 2-10'З,14 б'100 ~"ООЗ12 ~- Примером упруГОЙ системы, С~особноЙ совершать крутильиые колебания, может служить диск„сопряженный со стержнем по схеме, НОказаннОЙ нз рис. 523.
Если к Диску В еГО плоскости прилОженз и Внезапно удалсна пара сил, то Возникнут свободные колебания КРУЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ ВМЕСТЕ С ДИСКОМ. Обозначим крутильнув жесткость вала (скручивающий момент, блд' необходимый длЯ закрутки Вала из Одни радиан) через с = у у а (и — диаметр стержня„1 — еГО длина), 3 пОлный уГОл ззкручивз" ния стержня — через я~. Крутящий момент в циклически закручиваемом при колебаниях стержне В проНЗВОльный мОмеит Времени будет Щ. ПренебрегаЯ сн лами инерции массы стержня по сравнению с массой диска и приравнивая крутящий момент В стержне моменту сил инерции диска, получаем следующее днфференциальнОе УРзвнение дВНЖЕния Дискй: ф» Где 3 — момент инерции диска Относительно Оси стержня, перпеи дикулярной к плОскОсти диска. Для круглого диска постоянной толщины диаметром В с удельным' Весом еГО материала 'у ле~'%т ~х~ Х=- 32ф 8; Где Я вЂ” Вес диска. Б случае диска переменнОЙ толшины Ь (р) О~~ ~= —" ~ЙИч'Ф.
( Обозначая е' = —, уравнение (20.1О) можно переписать В Виде (2О. Ц: — + ЗР~р = О, общее решение когорого ~р = АСОЗИ+ Вз1пе(. Отсюда Видно, чтО период колебаний кручения рассматриВземОЙ СИСТЕМЫ Т= — =2я Дд аУ / Ю вЂ” Г Для стержня постоянного сечения диаметром Д период и частота колебаний соответственно Полученный результат применим такие и к системам с двумя Вращжощимися дисками (рис, 524). Действительно, если закрутить дис* ки Один ОтнОсительно другого„а затем МГНОВЕННО СНЯТЬ ПРИЛОИЮННЫЮ ВНСШНИЕ моменты, то диски начн ут соВершать кр утильные кОлебания навстречу друГ друГу.
При этом некоторою промеифточною сечение Вала Останется неподвижным. Положение этого так называемого дзладою сачГиая и — ш мОГКПО найти из условия равенства частот колебаний Обоих дисков с примыка~ощнми к ним участками вала длиной а и Ь, Для которых применимы формулы (2О.11): а Г~ Ь Где У, и ~', — моменты инерции соответственно перВОГО и второго ДИСКОВ. ИспОльзуя пОследнее соотношение, а также имея В Виду, что а+ Ь = 1, найдем З, 1 "= х,+~, ' Ь= ~,+.г, ' Тогда период и часгота крутильных колебаний системы, согласно формулам (20.11), В которыя ~~енто 1 следует подст~~и~ь Выражение для а (пли Ь), будут следу1ощимн: ЗИ У ~ 1 ~,/" лбФ(Х +ХД Заметим что рассмотрюннаЯ колебательная система нмюет бОльшое практическое значение, так как она является прототипом колебательной системы, к которой могут приводиться многие упругие системы, встреча~ощиеся в инкенерном деле, в частности Валы с двумя Вращающимися массамн.
Если принять, что кроме постоянной силы тягкести груза Я (см. рис. 518) на ИЮГО Действует периодическая ВозмущанхЦЗЯ сила Р, тО В Отличию От рассмотренных В предыдущем параГрафе свободнык колебаний будем иметь случай Вынужденных колебаний. Уравнение этих колебаний получим иа Выражении (20.1), прибавлЯЯ к его праной части силу Р (ф Деля Все члены уравнения на —, ПОлучаем (1 й' Х+ аРХ =— (29.13) Рассмотрим частный случай, когда сила Р (1) пропорциональна сО8 Р1» т. е.
когДЗ периОД силы T~ = —, а частОтз ~'~ = —. 2 Р Р Обозначив При седле~но~ изменении Р (г)» т. е. при Р» мало~ по сравнению с ю» можно пренебречь членом х„содержзгЦим ускорение В уравнении (20.14), и тогда получить статическую деформацию (26.1$) Для Определения динамической деформации нужнО рипить дифференциальное уравнение (20.14). Это региение, как иавестно, можно получить, если к решению однородного уравнения (20. 1) Х = А СОЗЕ+ 88$П М (26.16) ПОДсгзвлЯЯ частное решение (20.17) В дифференциальное уравнение (20.И), найдем, что Х вЂ” РС 81П ~М» Х = — р'ССО8ф; — Р'Ссо8Р1+ ОРССО8ф = дсоаф'. Отсюда после сокращения на со8 Рг получим С(ю — Р ) =ч» Т Е, ЗМПЛИТУДЗ Первых два слагаемых правой части уравнения (20.19) характеризуют сВ060дные кочебзниЯ, которые Обычпо быстро затухают; пОследнее слагаемОе характеризует Вынужденные установившиеся колебания системы, которые происходят с частотой внешней возмуща~ощей силы.
Амплитуда С Вынужденных колебаний, как следует из формулы ((). 18), зависит от частоты этих колебаний р, Отношение амплитуды С к статической деформации (20.15) определяет так называемый коэффиЦиент нарастаниЯ кОлебаний (3: С 4' . ф йУ 1 Р— „=,,: ~ — р — -р. —, (26.Щ "е$ 1 —— йР ИЛИ 7"~ = — ", т 2П „ 2Д ф й Из формулы (20.20) следует, по при малом отношении ~ коэф. фициент р близОк к еДннице и амплитуДЗ ВынужДеиных колебаний лишь немного отличается от статической дефор- мзцйи. Х(0Гдй Згс чйопойш зынпЯгдайных Колебаний Щ3ибйижОепкЯ к чпсиопм сббй7иВйних ИОЯЗ- бойнй й4слммы, Пмплихпфп зийДжденй6% кОЯеЙиий сифВяияся к бзсюяечйбсии, ш, Г. прш ~ -+ 1 амплшпуда С-+ оо, При р = о имеем состояние ~изож7нсй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
