Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Соответствуяощая частОта Возмущающей силы называется щРииичГскОЙ. Рассматривая Выражеййе (20.20), графическое йзображеййе которого преДстаВлено на рис. 525, видим, что при частоте ВозмуЩающей сйлы р, большей собственйой частоты о~ колебаййй системы, т. е. при ~9 ~ ~и амплитуда Сдннамического перемещения уменьшается й прй р ф~ а делается Очейь ~АЛЛОЙ по сравнению со статйческйм перемещением. В этом случае груз (~ мОжиО рассматривать как непо движный. При Р < о) Вынужденные колебания и ВОзмущающая сила находятся в ОДНОЙ фазе, т. е.
сдвиг фаз и = О, Это значит, что в момент, когда колеблющийся груз (см. рис. 518) достигает своего наибольшего ОтклОнения, предположим, Вниз, возмущающая сила получает наивысп1ее значение в этом же направлении. При р а1 разница в фазах вынужденных колебаиий и Возмущающей силы составляет величину и = и, т. е. НОлебаниЯ прОисхОДят В противофазе с Возмущающей силой. Это значит, что в то время, когда возмущающая сила имеет максимальное значение В направлении вниз, колеблющийся груз достигает своего максимального отклонения Вверх. Такое явление можно хороню понять на примере вынужде11ных колебаний математического маятника (рис.
526), возбуждения которого Осуществля(От путем ГОризОнтальнОГО ВозвратнО-поступательнОГО периодического перемещения точки подвеса с различной частотой. Положение маятника, колеблющегося В ~дн~й фазе с Возмущающим фактором, приведено иа рис. 526, и; колебание ма~тинка в противо. фазе с ВОзмуща(ощей силой показано на М' (Ф' Амплитуду собственных (независи- 8 8", у ю мь1х) колюбанпй мОжно Определить из Г ~ т общего реп1ения (20.)9) при рассмотре- ~ =2, ~ нии начальных условий. Чак, полагая, что в начальный момент (при 1 = О) перемещение и скорость равнь1 нулю, т.
е, Р<~~ Р: и дно р=я' (х)» — о — О и (х)1 о = 0 из Л1ВВнениЯ 12 д' (20 19) будем иметь Рма. ИЬ 8=0; Л=— ь' — р~ Подставляя найденные значения в уравнение (20. 19), окончательно получаем х =,„~ (соз р1 — соз в1). (26.22) В начале действия Возмущающей силы возникают вынужденные и свободные кОлебания ОднОЙ амплит) ды. Если частота ВозмущаюЩей силы приближ~тся к часТОте собственных колебаи11Й имеет место биенпе.
Пусть н — Р = 21ъ. 1'Огда уравнение (20.22) при Ь = — (а1 — )1) 1 2 2Ч - (Р+и)1 . (11 — ю)1 Х=— З1П З1П— РР— ф 2 2 , З1П( — Ь)ГЗ1П 2ф (р+ в) 1 2дяд(д . (р+ е)1 2 е~ — р' 2 з1П вЂ”, (2().23) т. е. пОлучим уравнение синусОНДальнОГО колебательнОГО движения С ПЕРИОДОМ и переменнОЙ амплитудОЙ а =,„,„З1П И„ ~Ч период изменения которой, или период биения, характеризуется вел~ч~~~й 2я Tб Ь Графическое представление колебания с биением приведено иа рис.
527. Из последней Формулы следует, что период биения увелич11вается с приближением частоты Возбуждения р к частоте собствен- иь1х колебаний Я и стаповитсЯ равнь1М бесконечности В случае резонанса (прн р = и). В последнем случае когда р -+ О и Ь -+ О, уравнение (20.23) может бь1ть предстаВленО так: т. е. амплитуда с течением Времени Возрастает безгранично. Заметим, что последнее закл1очение справедливо тОлькО при ОтсутстВии В КО- лебательной системе сил сопротивления.
Таких ре~лЬныХ колебательных снстем не су1цествует. Прежде Всего рассмотрим колебания системы с Одной степенью свободы (рис, 528) в случае, когда силы сопротивления при колебании пропорциональны скорости движю1ия. Для пОлучения уравне- НИЯ ДВНЖЕИИЯ ГРУЗа ВОСПОЛЬЗУЕМ ся принципОМ Д'Аламбера (услО- вия динамического равновесия груза рассматриваем при Отклонении %~ 1~6 " его на расстояние х от положения =-,у -'Ъ статического раВНОВеси я): Ф вЂ” — Х вЂ” ЯХ= (~+СХ, — Ь$4- ~ ~ ь И ГДЕ Я вЂ” КозффиЦИЕНТ ПРОПОРЦИО- нальнОсти; Ума, ИВ яж — сила трения~ прОпОрциональная скорОсти (действу1О1цая В направлении, Обрат- НОМ ДВИЖЕНИ1О)* Отаода дифференниальное уравнение колебаний системы с учетом рассеяния энергии можно представить в виде обшее решение дифференциального уравнения (2ОЖ) можно представить так; где а = 2,718.
Иа ~~~~~ уров~~~~~ следуе~, что ~ер~~д колебчний рассматри- ВаемОЙ системы с Затуханием т. 6, Он Зависит От аатухания, характериауемого коэффициентом л, Общее решение (2О.28) может быть представлено также и так: к=Ее "~31п(в„ф+ф, (26.39) Где Е н 'ф — некоторые постоянные» которые 33Висят Отначальных условий и могут быть наидены таким же путем, как в ~ 124.
При и ~~ и рааность между кругОВОЛ частотОЙ (0~ системы с 3атуханием и собственноЙ частотОЙ ю„т. е. а = и~ О»» ЯВлЯется Величиной второго порядка малости, поэтому период 7' будет мало О-.- личаться от периода собственных колебаний Т=— т. е. можно считать, что небольшая сила сопротивления не влияет на период (частоту) колебаний системы. Рассматривая решение (2О.28), видим, что иа-3а множителя е-"' амплитуда Колебаний с течение~ времени убывает. Посто~нные интег- рирОВаниЯ А и В» входящие В решение, Определим и3 начальных услОВии. Так, полагая в начальный момент (при 1 = О) х = хе и х = хр, иа уравнения (20.28) найдем, что 1 В= х,, А = — (х,+пхД.
6»~ Подставлии эти дзинь»е В уравнение (20.28), пОлучзем Х 8 83П От~ + Х»» Соз Ы»Г + ЗШ И»»Г е Я~ Ь»~ В частном случае, когда А = О, т. е. когда — + — =0 »»«ц »»»» И» ПОСЛЕДНЕЕ УРЗВНЕИИЕ ПРИМЕТ ВИД К = Х»»Е СОЗ а»,1. (20.31) Графически ззВисймость (2О.ЗЦ предсгзВленз нз рис. 528. УрзВне- ния Верхней и нижней Огибающих приведенной затухающей Вибро- Граммы соответственно х = х»»В и х = — х»»В . ТОчки и~, »»»~, Щ», ., касании ОГибзющей к ВибрОГрзмме имеют координаты време- ни ~ = 0„1 = Т; 1 = 2Т и т. д., а точки и», »»»«, из, ...
касании к ниж- ней ОГибзюЩей кривОЙ координаты 1 = ~ ~ Г = ~ и т Д У' ЗУ Прй атом указанные точкй йе совпадают с *Очкзмй крзйййх переме- щений системы из полОжении рзвновесйЯ. ЛеГко убедитьси, что Вследствие затухания Время перемещения системы из среднеГО по- лОжения к следующему крайнему пОлОжению меньше времени, не- обходимого длй возвращении из крайнего в следующее среднее по- ЛОЖЕН ИЕ. Степень ззтухаййя колебзййй сйстемм ззвйсйт От велйчййы по- стоиннОЙ и (характеристики ззтухзниЯ), АмплитуДз кОлебаний после КЗЖДОГО Никла УМЕНЬШЗЕТСЯ В ОТНОШЕНИИ -и1. 1 8 что видно из уравнении (20.31), т. е.
уменыпение змплитудь» соот- ветствует геометрической прогрессии. Йействительно, последова- тельнь»е амплитуды при 1 = 0'„1 = Т; 1 = 2Т и т. д. имеют значении — »»г. — 2»»Г. П„= Х„; П~= Хф; »2« — — Хф; .*. ', -»»Т — 2лг й» «ф дг. й~ «ф -»»у ю = 8 й Т. Д. »Ъ «»» '»1 «ф ОтнОшенйе кзкОЙ-либО амплитуДЬг кОлебзннй к непосреДственнО сле ду»ощей зз йей амплйтуде Ч~рез одйй перйод Ц~ »»»»»»~ «»» »»~ »»~ »»»,+» «»~-В+»»»»»' Величина о нззьгвается лющ)ифмичсс»зим дак~РГЖГмибм зя»»»уищ»»л кОЯаб»тйий и ОбычнО ЯвлЯетсЯ ОсиОвнОЙ характеристикой затухании колебаний. Тогда, имея В Виду, что Х = КРСОЬр$ — ЕРЫПф; х = — Рф' з1п ф — 7.р' соз ~$, и подставляя Внражеиия х, х и х В дифференциальное ураВнение (20.33), а затем приравниВая козффициенти при 31п ф~ и соз ф пра- ВОЙ и левой частей, пОлучим — 1.р'+ 2Крп + Ео = О; — КР".
— 21.РП+,КаР = д. Рси~аи совмсстно полученну|О систему двух уравнений Относительно иеизвестиых постояннь$х К и Г., найдем, чтО Ф(6»' — Р') ( — РР+4Ф~ Р ( 2ф9й ( — г""Р + оп Тогда обпвее решение уравиеиии (20.ЖЗ) может быть представлено В ВИДЕ Первые слагаемые, именицие мно~итель В, со Временем умеи~- шаются (затухиот), два других слагаемых„пропорциональных о„ характвризу®т Вынужденные колебан~и; они со Временем не затухают. Период незатухаюших колебаний тот же, что и период возмун(а~ошей силы: 2Я T, Р а их амплитуда пропорциональна Величине Возмун(а~он(ей силм.
Эта амплитуда, как легко убедип СЯ, зависит также От характеристики и затухания, а также От соотношения периОда независимых коле баиий то вынужденные колебаний можно представить несколько проп1е: х(=й (соз а з1п р( — з(п асоз р() = йз1П (р1 — ж). (20.39) Амплитуда 2( вынужденных колебаний на основании уравнсний (20.37) и (().38) определится из выражений ((еР— р")" + 4п~лЧ~ = й'соз'а К ' — Ф)'+4~Рл Р складывай которые и решай относительно Я„находим Щ Ф'4ч'Ф~'+ ч'(~ — Р5' ю (2О 4()) (~ Р ) + 4РЛ~~ )~(ьР— р~~+ 4р~п~ Угол сдвига фаз а на основании тех же уравнений (20.37) и(20. 38) можно определить делением первоГо из них на второе: (Яи = (20.43) При О > Р угол Я положительный и меньше — т.
е. О<" Я ~ ~' —. Из уравнения (20.39) следует, что при этом вынужденные колебаний отста'от по фазе от возмуЯакацей силы. )(Огда О ~ Р, 2 '. :: а "и, т. е. вынужденные колебания отстаит больше чем на Я = —. КОГДа И = Р„(Я Ф = оо, Т. Е. ВО ВрЕМИ КОЛЕбаТЕЛЬНОГО движений система занимаег свое среднее положение в тот момент, когда возмущаишая сила достигает максимального значения. Анализируй выражение длй амплитуды Я вынужденных колебаний, имея при зтом В Вид)', что д, ° ~)3 аР. Е Ф () Ф находим Ю ЯРД Р йУ фф (26.42) Где о — перемнцение, которое Возникло бы при статическом приложении максимального амплитудноГо значения Возмуп(акхней сильк Имей в аиду формулу (20.42) и деля числитель и знаменатель выражений (20.40) длй амплигуды 5 на квадрат круговой частоты собстВенных колебании а)', получаем ГДЕ '1р = — — КОЭффиПИЕНТе ЭЗВИСЯЩИЙ ОТ ВЕЛИЧИНЫ СИЛЫ СОПрОЭрр тнВлеНия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
