Автоматихация производства ЭВА (1075779), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Две следующие проблемы затрудняют вычисление _R по формуле (1.3):

- должна быть известна аналитическая зависимость выходного параметра (y) от входных параметров (x₁, x₂, …, x_n), которая записывается в виде:

y = f(x₁ , x₂, …x_n) (1.4)

• величины _Ri не известны точно, – в технических условиях задаются только минимальные и максимальные допустимые отклонения входного параметра от номинального значения.

Все аналитические методы расчета ПП предполагают, что зависимость (1.4) известна. На практике широко используют следующие методы расчета _R:

• метод статистических испытаний (метод Монте-Карло);

• вероятностный метод;

• метод наихудшего случая.

Последний метод часто используется на практике, поскольку позволяет определить ориентировочное значение _R , причем такое, которое наверняка не превысит реальная величина ПП выходного параметра.

Сущность метода заключается в непосредственном использовании выражения (1.2), в левую часть которого подставляются экстремальные значения производственных погрешностей входных параметров. При этом вычисления проводят в два этапа: на первом – определяют максимальное (по модулю) отклонение ПП выходного параметра в сторону уменьшения номинала, а на втором – то же отклонение, но в сторону увеличения номинала. Поясним сказанное на конкретном примере.

Пример 1.1.

По техническим условиям заданы следующие значения номиналов двух последовательно соединенных резисторов: R₁=10Ком 20%; R₂=1Ком5%. Требуется определить относительную производственную погрешность суммарного сопротивления (_R) этих резисторов методом наихудшего случая.

Решение .

1. Вычисляем суммарное сопротивление: R_= R₁+ R₂ =10+1 = 11 Ком.

2. Вычисляем коэффициент влияния резисторjd на выходной параметр по формуле (1.8), в которой: y=R_, x_i=R_i. Для 1-го резистора имеем:

Аналогично для 2-го резистора:

В сумме коэффициенты влияния должны давать единицу (для выходных импедансов радиотехнических цепей), что в данном случае соблюдается.

3. Определяем максимальное отклонение _R в сторону уменьшения номинала, для чего в формулу (1.7) подставляем минимальные значения погрешностей _Ri: _R =0.91 (-20%) + 0.1 (-5%) = -17,9%

4. Определяем максимальное отклонение _R в сторону увеличения номинала, для чего в формулу (1.7) подставляем максимальные значения погрешностей _Ri: _R =0.91 (+20%) + 0.1 (+5%) = +17,9%

5. Записываем искомый результат: R_ = 11 Ком  17,9%.

Рассмотренный пример показывает, что для уменьшения погрешности выходного параметра в данном случае необходимо уменьшить допуск на номинал большего резистора. Действительно, назначая допуски на относительные погрешности резисторов в пределеах: при R₁=10Ком 5%; R₂=1Ком20%, получим: _R =0.91 (5%) + 0.1 (20%) = 6,75%, и: R_ = 11Ком  6,75%.

Вернемся теперь к методу Монте-Карло определения параметров M(Y) и D(Y) производственной погрешности выходного параметра. Сущность метода состоит в следующем:

На первом шаге для каждого i-го входного параметра (x_i) на ЭВМ генерируется псевдослучайная последовательность значений x_i в пределах его ПП. В частоте появления значений x_i отражается плотность распределения случайной величины х. Приведем текст машинной программы, выполняющей эту процедуру:

const n=10; NN=1000;

var delta,Min,Max,a,s:word; m,zMin,zMax:array[1..n]of word; i,j:word;

BEGIN {randomize}

for i:=1 to n do m[i]:=0; Min:=NN; for i:=1 to NN Do

begin s:=0; For j:=1 To 25 Do s:=s+1+Random(24); If s<Min Then Min:=s End;

Max:=Min; for i:=1 to NN Do

begin s:=0; For j:=1 To 25 Do s:=s+1+Random(24); If s>Max Then Max:=s End;

Delta:=(Max-Min) div n;

For i:=1 to n do begin zMin[i]:=Min+delta*(i-1);zMax[i]:=Min+delta*i end;

for i:=1 to NN Do begin s:=0; For j:=1 To 25 Do s:=s+1+Random(24);

For j:=1 to n do If (s<zMax[j]) and (s>zMin[j]) then inc(m[j]) end END.

Результатом работы этой программы является сформированный в массиве m вариационный ряд – (3, 22, 85, 180, 215, 218, 140, 58, 23, 4).

На втором шаге для каждого i-го из К значения всех входных параметров вычисляется величина i-го значения выходного параметра по формуле (1.4). В результате получаем выборку из N значений случайной величины Y (выходного параметра). Чем больше величина N задаваемых значений входных параметров, тем точнее могут быть определены величины M(Y) и D(Y). Попробуем ответить на вопрос насколько можно доверять этой выборке, то есть: насколько точно мы приблизились к истинным значениям величин M(Y) и D(Y), если мы вычислили, проведя всего одну серию экспериментов? То есть: насколько можно доверять массиву m в смысле вычисления M(Y) и D(Y)? Действительно, сняв комментарии с оператора randomize, и запустив дважды приведенную программу, получим следующие вариационные ряды:

m⁽¹⁾ = (5, 19, 76, 145, 222, 204, 162, 78, 30, 7)

m⁽²⁾ = (13, 36, 113, 175, 208, 190, 124, 60, 17, 5)

В выражении m⁽ⁱ⁾ величина i представляет номер (i=1…N) серии экспериментов из К опытов каждый. Различие легко объяснить, если вспомнить, что мы оперируем со случайной величиной производственной погрешности (в данном случае ее заменяет сумма первых 25 случайных целых чисел натурального ряда). Но после проведения двойной серии вычислений становится ясным и другое: сами величины M(Y) и D(Y) являются величинами случайными! Они, как и все случайные величины имеют свое математическое ожидание M(Y) и дисперсию D(Y). Поставим далее цель уменьшить влияние случайной погрешности вычисления истинных величин M(Y) и D(Y). Этот вопрос требует отдельного рассмотрения.

1.3. Методы уменьшения влияния случайных погрешностей

Случайная составляющая погрешности статистических испытаний при повторных измерениях в одних и тех же условиях изменяется случайным образом. Отдельное испытание, в результате которого получается вариационный ряд (m), будем называть наблюдением. При использовании ЭВМ имеется возможность многократно повторить наблюдения, в результате можно уменьшить влияние случайных погрешностей. В соответствии с основными положениями классической теории ошибок сделаем следующие допущения: (1) погрешности наблюдений являются случайными и распределены по нормальному закону; (2) cреднее значение погрешностей наблюдений равно нулю; (3) погрешности наблюдений являются статистически независимыми.

Обработав результаты всех N наблюдений, мы получим результат, который назовем оценкой (^X) истинного значения ПП выходного параметра. Итак, Пусть имеется N наблюдений X_i случайной величины Х, (i = 1, 2, ..., N). Если X_ИСТ – истинное значение X, то погрешность i-го наблюдения (_Xi) равна: _Xi = Xi – X_ИСТ. Плотность распределения _Xi согласно допущению 1 описывается нормальным законом:

Для погрешностей, распределенных по нормальному закону, справедливо утверждение, что малые значения погрешностей более вероятны, чем большие. Поскольку X_ИСТ в выражении (1.5) неизвестно, то неизвестны и значения погрешностей _Xi. Поэтому воспользоваться выражением (1.5) нельзя. Однако, предполагая, что имеется оценка Х^ истинного значения, можно вместо погрешности _Xi записать отклонение результата наблюдения от оценочного значения:

^_Xi = Xi – ^X (1.6)

Подставляя (1.13) в (1.12) получим плотность распределения оценки погрешности :

Распределение L(^_Xi) называется правдоподобием разности (Xi – ^X) или правдоподобием оценки ^X . Если имеется одно единственное наблюдение (N=1), то максимально правдоподобную оценку можно получить, если исследовать функцию L на максимум-минимум. Сделаем это, приняв во внимание, что положение максимума L не измениться, если вместо функции использовать ее логарифм. Итак, приняв i=1, логарифмируем функцию правдоподобия:

Дифференцируем полученное выражение по ^X и приравниваем результат нулю: ^_X1=(X₁–^X)=0, или X₁=^X, то есть максимально правдоподобной оценкой одного наблюдения является результат этого наблюдения.

Пусть теперь имеется два наблюдения. В этом случае для определения максимально правдоподобной оценки (^Х) необходимо получить выражение для вычисления правдоподобия разностей ^_X1=(X₁–^X) и ^_X2=(X₂–^X) и также исследовать его на максимум-минимум. Сделаем и это. Так как ^_X1 и ^_X2 не зависимы (согласно исходным допущениям), то: f(_X1, _X2) = f(_X1) f(_X2), откуда:

Заменяя ^_Xi на (Xi – ^X) и логарифмируя, получим:

Дифференцируем и приравниваем результат нулю:

Пусть все наблюдения равноточные, то есть: ₁ = ₂ = … = _N. Тогда, решая полученное выражение относительно ^X, получим: ^X = (Х1+Х2)/2. В общем случае, при числе наблюдений N оценка составит:

то есть, при равноточных наблюдениях максимально–правдоподобной оценкой истинного значения производственной погрешности выходного параметра является среднее арифметическое значение результатов наблюдений.

Характеристики

Список файлов книги