Автоматихация производства ЭВА (1075779), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Интересно отметить одну особенность, касающуюся полученных матриц квадратичных элементов: поверхностный интеграл в матрице теплопроводности (16.4) содержит отрицательные коэффициенты, чего не было в случае линейного элемента и что является обычным делом при использовании элементов высокого порядка. Есть и другие особенности. Это говорит о том, что бессмысленно предугадывать результаты интегрирования, когда мы имеем дело с элементами высокого порядка.
17.1 Вывод уравнений элементов методом Галеркина
Метод Галеркина является приближенным методом решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка. Преимуществом его использования является то, что он исключает необходимость вариационной формулировки задачи, поскольку оперирует непосредственно с самим дифференциальным уравнением () = 0. Решение задачи методом конечных элементов в контексте использования метода Галеркина начинается непосредственно с записи общего вида искомой системы уравнений вида:
ne=1 L [N(e)] T () dx = 0 (17.1)
где: n – общее число конечных элементов; L – верхний предел интегрирования, равный длине одномерной области, в которой производится поиск решения.
Обязательным условием построения системы (17.1) является то, что в неё могут включаться производные порядка не выше первого. Таким образом, если исходное дифференциальное уравнение () = 0 имеет первый порядок, то никаких дополнительных выкладок при выводе системы уравнений для конечных элементов делать не нужно. Рассмотрим вначале именно такое уравнение.
Осевое нагружение стержня
Известно, что перемещение (u [см]) стержня с площадью поперечного сечения S[см2], подверженного осевому нагружению (силой F [H]), описывается дифференциальным уравнением 1-го порядка вида:
| du | - | F | = 0 | (17.2) | ||
| dx | AE |
где: Е – модуль упругости [H/см2].
Рассмотрим методику составления матриц элементов и системы линейных уравнений для (17.2), взяв исходные данные из примера 13.1.
-
Разбиваем стержень на 2 элемента, как показано на рисунке 13.3.
-
Запишем ДУ (17.2) для e–го (е=1,2) элемента:
du(е)
-
F
= 0
(17.3)
dx
A(е)E
-
Подставляя (17.3) в (17.1), получим систему уравнений 1-го элемента:
| L [N(1)] T ( | du(1) | - | F | ) dx = 0 | (17.4) | |||
| dx | S(1)E |
4. Заменив в (17.4) функцию перемещений u(x) ее интерполяционным полиномом первого порядка, получим:
| L [N(1)] T ( | d([N(1)] { U(1)}) | - | F | ) dx = 0 | (17.5) | |||
| dx | S(1)E |
Записываем выражения для матриц ФФ и градиентов:
N (1) = [ (1-x/L) (x/L)] ; B (1) = 1/L [ -1 1]
Подставляем найденные матрицы в (17.5) и выполняем перемножение:
| 1 | L | ( | L-x | [ -1 1] | ) | dx {U(1)} - | F | L | L-x | dx =0 | |
| L2 | x | S(1)EL | x |
| 1 | L | ( | (x-L) | (L-x) | ) | dx {U(1)} - | F | L | L-x | dx =0 (17.6) | |
| L2 | -х | х | S(1)EL | x |
Вычисляем промежуточные интегралы:
| L | L | ||||||||||
| | x dx | = | | (L-x) dx = Lx | L | - | x2 | L | = | L2 | |
| 0 | 2 | 0 | 2 | ||||||||
| 0 | 0 |
| L | L | ||||
| | -x dx | = | | (x-L) dx = - | L2 |
| 2 | |||||
| 0 | 0 |
Подставляем результат в (17.6):
| 1 | -1 | 1 | { | U1 | } - | F L | { | 1 | } | = 0 | |
| 2 | -1 | 1 | U2 | 2S(1)E | 1 |
Величина FL/2S(1)E согласно (13.5) равна: 1,25 мм, следовательно, искомая система уравнений для первого элемента такова:
| -1 | 1 | { | U1 | } | = | { | 1,25 | } | = 0 | |
| -1 | 1 | U2 | 1,25 |
Аналогичные вычисления для 2-го элемента приводят к системе:
| -1 | 1 | { | U2 | } | = | { | 0,625 | } | = 0 | |
| -1 | 1 | U3 | 0,625 |
Объединяя обе системы по методу прямой жесткости, приходим к системе:
| -1 | 1 | 0 | { | U1 | } | = | 1,25 |
| -1 | 0 | 1 | U2 | 1,875 | |||
| 0 | -1 | 1 | U3 | 0,625 |
Поскольку U1 = 0, из первого уравнения получаем: -U1 + U2 = 1,25. То есть U2 = 1,25 мм. Тогда из второго уравнения имеем: : -U1 + 0 U2 + U3 = 1,875. То есть U3 = 1,875 мм. Видим, что результат совпадает с перемещениями, полученными ранее в примере (13.1).
Изгиб консоли
Решим теперь дифференциальное уравнение второго порядка (13.47), описывающее упругую линию консоли, неподвижно закрепленной на одном конце и подверженной действию перпендикулярной к ее оси силы – на свободном конце. Исходные данные для этой задачи подробно описаны в разделе 13.6. Поэтому можно сразу приступить к ее решению методом Галеркина, приняв уравнение (13.47) в качестве исходного дифференциального уравнения. То есть, в соотношении (17.1) имеем:
| 2y | - | M | = (y); | y(0) = 0; | ||
| x2 | EJ |
-
Записываем уравнения метода в общем виде:
| ne=1 L [N(e)] T | ( | 2y | - | M | ) | dх = 0 | (17.7) |
| x2 | EJ |
Здесь n – число элементов; L – длина отдельного элемента.
Прежде, чем начинать вычисления, необходимо: (1) выбрать ФФ и (2) преобразовать полученный интеграл так, чтобы он содержал производные порядка не выше первого (!?только в этом случае мы получим систему линейных уравнений для решения ?!).
1. Чтобы иметь возможность сравнить результаты расчетов с результатами, полученными в разделе 13.6, выберем то же разбиение консоли на конечные симплекс – элементы, представленное на рисунке 13.15.
-
Запишем интерполяционную модель упругой линии:
y = Ni(e) Yi + Nj(e) Yj = [(1 –x/L) (x/L)] [Yi Yj]T = N (e) [Y]
3. Кривизна консоли =M/EJ - функция длины элемента. Аппроксимируем ее с помощью линейной модели:
= N (e) [i j] T (17.8)
4. Избавиться от производной второго порядка в уравнении (17.7) можно, взяв по частям интеграл:
| L [N(e)] T | ( | 2y | ) | dх | (17.9) |
| x2 |
Обозначим v=(dy/dx), u=[N(e)] T и по формуле интегрирования по частям:
| Xj | Xj | Xj | Xj | |||||||||||
| | u dv = uv - | | v du = | dy | [N(e)] T | - | | [B(e)] T | dy | dx | ||||
| dx | dx | |||||||||||||
| Xi | Xi | Xi | Xi | |||||||||||
В теории доказывается, что первое слагаемое здесь учитывается только в том случае, если на концах элемента определены производные. Во втором слагаемом с учетом интерполяционной формулы величина dy/dx равна: [B(e)] {Y}, следовательно искомый интеграл равен:
| Xj | Xj | |||||
| | [B(e)] T[B(e)] {Y} dx = | 1 | -1 | [-1 1] {Y} | | dx |
| L2 | 1 | |||||
| Xi | Xi |
Таким образом, первый интеграл в (17.7) взят.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
