Автоматихация производства ЭВА (1075779), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий применение метода сопряженной аппроксимации.

Пример 15.1. Стальной конический стержень, показанный на рисунке 13.3-а, имеет длину 90 см и площадь поперечного сечения: у широкого закрепленного в стене основания S=12см², у свободного узкого торца 6 см². Стержень подвержен двум видам нагружения: а) в осевом направлении силой F=42 кН, приложенной с узкому торцу, и б) воздействию температуры t=40^oC, действующей равномерно по всей длине.

Требуется определить значение напряжений в основаниях стержня и в точках А и В, делящих стержень на 3 равные части, если Т_ОС=20⁰C, а температурный коэффициент расширения материала стержня равен: ТКС=710^–6 [⁰C]^–1

Решение.

Разбиваем стержень на три конечных элемента по L=30 см. Задачу решаем в два этапа: на первом вычисляем перемещения в узлах, а на втором – вычисляем напряжения в элементах и методом сопряженной аппроксимации находим значения напряжений в заданных точках.

I. Рассчитываем перемещения в узлах. С этой целью рассчитываем матрицы элементов. Поскольку стержень ориентирован только в направлении оси абсцисс, имеет место только одна компонента тензора напряжений _ХХ, связанная с компонентой тензора деформаций формулой:

_ХХ = Е(_ХХ – _ХХ0) = Е(_ХХ – ТКТ)

Здесь член _ХХ0 учитывает начальную деформацию, связанную с тепловым расширением стержня. Для одномерного симплекс – элемента функция перемещений имеет вид: u^(е) = N_i^(e)U_i+ N_j^(e)U_j = [N]{U}.

Выразим деформацию через функцию перемещений: _ХХ=du/dx и, вычислим матрицу градиентов [В⁽¹⁾], входящую в выражение для матрицы жесткости элемента:

Вспоминая формулу (12.23) и обозначая среднюю площадь элемента через Â= =(Ai+Aj)/2, записываем матрицу жесткости 1-го элемента, имеем:

Подставляя численные значения и, вычисляя среднее значение площади сечения 1-го элемента Â⁽¹⁾ = (12+10)/2 = 11 см², имеем:

Вектор нагрузки для первого конечного элемента связан только с вычислением интеграла, определяющего изменение объема от теплового расширения, который по определению равен: dV

f⁽¹⁾ = _V {B⁽¹⁾}^T E_ХХ0dV = [(EÂ⁽¹⁾ ТКТ)/L] [-1 1]^T_Ldx

Подставляя численные значения и учитывая, что интеграл равен L, имеем:

f⁽¹⁾ = 710^-66,710⁶11(40 – 20) [-1 1]^T = [-10318 10318]^T

Таким образом, получаем систему уравнений для первого элемента:

Система уравнений для 2-го и 3-го элемента получается аналогично:

К столбцу свободных членов последней системы необходимо добавить интеграл f⁽³⁾, суммирующий нагрузку по поверхности тонкого (свободного) торца стержня. Чтобы получить выражение для вычисления f⁽³⁾, запишем дифференциальное уравнение, описывающее перемещения стержня при его осевом нагружении: du/dx – F/AE = 0 или, что то же:

E(du/dx) – F/A = 0 (15.8)

Сравнивая выражения (15.8) и (13.28), можно по аналогии с (13.3) записать:

	f(3) =				(F/A) [N(3)]T dV =	F/A(3)				[0 1] T dS	(15.9)
V(3)				S(3)

Так как нагрузка приложена к правому узлу 3-го конечного элемента, где х=L, то выражение для N⁽³⁾принимает вид: [N⁽³⁾]=[(1-x/L) (x/L)]=[0 1]. Далее, площадь S⁽³⁾= A⁽³⁾, поэтому окончательно можно записать:

f⁽³⁾ = [ 0 42000]^T

Объединяя матрицы по методу прямой жесткости, приходим к следующей системе уравнений:

Преобразование (так как U₁=0) и решение системы дает следующий результат:

{ U }^T = [0 2,07 4,5 7,53]^T

{ U }^T_{теоретическое} = [0 2,10 4,6 7,80]^T

Данные приведены в мм. Теоретические значения получены интегрированием деформации по длине.

II. Рассчитываем напряжения в узлах по методу сопряженной аппроксимации.

1. По найденным узловым перемещениям находим деформацию элементов:

_ХХ⁽¹⁾ = (– U₁ + U₂)/L = (-0,0000 + 0,0207)/30 = 0,6910^-3

_ХХ⁽²⁾ = (– U₂ + U₃)/L = (-0,0207 + 0,0450)/30 = 0,8110^-3

_ХХ⁽³⁾ = (– U₃ + U₄)/L = (-0,0450 + 0,0753)/30 = 1,0110^-3

1. Напряжение в е-м элементе равно: _ХХ^(е) = Е(_ХХ^(е) – _ХХ0) = Е(_ХХ – ТКТ).

Подробно для 1-го элемента имеем:

_ХХ⁽¹⁾ = 6,710⁶ {0,6910^-3 – 710^-6(40-20)} = 3685 [H/см²]

Аналогично вычисляем напряжения в остальных конечных элементах:

_ХХ⁽²⁾ = 4480 [H/см²]; _ХХ⁽³⁾ = 5820 [H/см²]

3. Составляем уравнения сопряженной аппроксимации: [C] {} = {R}, для чего предварительно вычислим произведение матриц [N ^(e)]^T [N ^(e)]:

		L1	[L1 L2] =	L12	L1L2
		L2		L1L2	L22

Учитывая, что _L L₁² dx = 2!L/(2+1)! = L/3 и _L L₁L₂ dx = 1!1!L/(1+1+1)! = L/6, вычисляем левую часть искомой системы уравнений:

Составление матрицы {R} требует вычисления интеграла вида:

_LL₁ dx = 1!L/(1+1)! = L/2

Приходим к системе уравнений для 1-го конечного элемента:

Аналогичные вычисления для 2-го и 3-го элементов дают системы:

Объединение полученных матриц (по методу прямой жесткости) и решение системы дает следующий результат: {} ^T = [3558 3935 5222 6132]^T (Н/см²). Теоретическое значение вектора  получим делением величины приложенной нагрузки на площадь поперечного сечения в соответствующем узле. Данные сведем в таблицу:

16.1 Элементы высокого порядка

Основные причины, по которым прибегают к использованию элементов высокого порядка – комплекс- и мультиплекс- элементов:

• более высокая точность решения при таком же количестве элементов (или достижение той же точности при меньшем числе элементов);

• невозможность аппроксимации с помощью симплекс – элементов градиентов искомых величин кусочно-линейными функциями;

• при использовании элементов высокого порядка отпадает необходимость в применении теории сопряженной аппроксимации.

Определение квадратичного элемента. Рассмотрим порядок вычисления ФФ для одномерного квадратичного комплекс – элемента и методику его использования для решения конкретной задачи.

Одномерный квадратичный комплекс – элемент (второго порядка) представлен на рисунке 15.1. Его аппроксимирующий полином имеет вид:

 = ₁ +₂ x +₃ x² (16.1)

Число узлов квадратичного элемента равно трем (i, j, k). Коэффициенты ₁, ₂ и ₃ определяются из условий:  = Ф_ при x = X_ ( = i, j или k). Если поместить узел i в начало координат, указанные условия примут вид:

 = Ф_i при x = 0;  = Ф_j при x = L/2 ;  = Ф_k при x = L;

Характеристики

Список файлов книги