Автоматихация производства ЭВА (1075779), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Аналогично вычисляем нижнюю строку матрицы (13.34), в которой при дифференцировании по y выражения (13.35) останется только коэффициент c_k:

Как и в предыдущем случае, значения для коэффициентов с получим по формулам: с₁ = X₄ – X₂ = 0; с₂ = X₁ – X₄= - ¼; и с₄ = X₂ – X₁= - ¼ с соблюдением того же порядка обхода узлов.

Таким образом, матрица градиентов для первого элемента примет вид:

В выражение (13.32) для матрицы жесткости элемента (МЖЭ) входит произведение: {В⁽¹⁾}^Т{В⁽¹⁾}. Для его вычисления вспомним правило перемножения двух матриц на примере:

Искомое произведение матриц примет вид:

Принимаем толщину элемента, равной единице, и выносим произведение матриц за знак интеграла (13.32). В результате dV становиться равным 1/32. Следовательно, МЖЭ для первого конечного элемента:

Для вычисления объемного интеграла (13.33) в матрице нагрузки воспользуемся интегральной формулой вычисления площади треугольника с применением системы L –координат. Последняя представляет собой совокупность трех относительных координат точки R внутри треугольника L₁, L₂ и L₃, каждая из которых является отношением расстояния от точки А до одной из сторон треугольника. Если A – площадь треугольника, то L – координата точки R относительно стороны (i, j) равна L₁=А₁/A. Можно показать, что переменные L₁, L₂ и L₃ представляют собой ФФ для треугольного симплекс – элемента. Это обстоятельство вкладывает дополнительный смысл в понятие ФФ треугольного элемента. Например, для рисунка 13.9 имеем: L₁= N_k.

Преимущество L – координат проявляется при необходимости вычисления интегралов вдоль сторон конечного элемента и по его площади. Так, если A, B, и С – целые числа, то справедлива следующая интегральная формула:

Чтобы воспользоваться формулой (13.38) необходимо подынтегральное выражение выразить через L – координаты. Вычислим в качестве примера следующий интеграл по площади А:

• N_i N_j dA =  (L₁¹ L₂¹ L₃⁰) dA = { 1!1!0!/(1+1+0+2)! }2A = 2A/4!=A/12.

В текущем примере надо вычислить интеграл (13.33). Вычислим вначале:

• N_i dA =  (L₁¹ L₂⁰ L₃⁰) dA = { 1!0!0!/(1+0+0+2)! }2A = 2A/3!=A/3.

Запишем интеграл (13.33) в развернутом виде для первого элемента:

Заменяя ФФ L – координатами: L₁=N₁ ⁽¹⁾,L₂=N₂ ⁽¹⁾, L₃=N₄ ⁽¹⁾, имеем:

Подставляя численные значения, имеем: f⁽¹⁾ = [29 29 0 29 0 0]^T

Таким образом, результирующая система уравнений для первого конечного элемента примет вид: [K⁽¹⁾] {Ф} = {f⁽¹⁾}

Системы уравнений для второго, третьего и четвертого элемента примут вид:

[K⁽²⁾] {Ф} = {f⁽²⁾}

[K⁽³⁾] {Ф} = {f⁽³⁾}

[K⁽⁴⁾] {Ф} = {f⁽⁴⁾}

Окончательная система уравнений примет вид: [K] {Ф} = {f}

Величины Ф₃, Ф₅ и Ф₆ равны нулю, так как соответствующие им узлы расположены на внешней границе. Преобразуя и решая систему, получим:

Характеристики

Список файлов книги